PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN Nguyễn Lái GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
Nguyễn Lái
GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH
Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ
Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN số 367 tháng 1/2008.
Xét phương trình : cos23α = a (0 ≤ a ≤1) (1)
Ứng với một giá trị a∈[0;1], giả sử α = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là
cos23x = a ( đúng ) ⇒α = (
3
π
- x) và α = (
3
π +x) cũng là nghiệm phương trình (1) ,
vì cos23(
3
π
- x) = cos23x = a ; cos23(
3
π + x) = cos23x = a
Phương trình (1) viết lại : (4cos3α - 3cosα)2 = a ⇔ 16cos6α - 24cos4α + 9cos2α - a = 0
Đặt t = cos2α, t∈[ 0; 1] Phương trình trở thành: 16t3 – 24t2 + 9t – a = 0 (2)
Nhận xét : Nếu α = x là nghiệm phương trình (1) thì :
t 1 = cos 2 x ;t 2 = cos 2 (
3
π
- x ) ; t 3 = cos 2 (
3
π
+ x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại
• Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có:
t1+t2+t3 = 2
3
; t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 16
9 ; t1.t2.t3 = 16
a
Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau:
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x ,
1 S 1 = cos 2 x+cos 2 (
3
π
- x) +cos 2 (
3
π
+ x).
2 S 2 = cos 2 x.cos 2 (
3
π
- x) + cos 2 (
3
π
- x) cos 2 (
3
π
+ x) + cos 2 (
3
π
+ x).cos 2 x.
3 S 3 = cos 4 x + cos 4 (
3
π
- x) +cos 4 (
3
π
+ x)
Lời giải :Ta có S1 = cos2x+cos2(
3
π
- x) +cos2(
3
π + x) = t1+t2+t3 = 2
3
S2= cos2x.cos2(
3
π
- x)+cos2(
3
π
- x).cos2(
3
π + x)+cos2(
3
π + x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 = 16
9
S3= cos4x+cos4(
3
π
- x)+cos4(
3
π +x)= t12+t22+t32 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) =
8
9
Ví dụ 2:Chứng minh rằng : 6 6 5 6 7 63
Lời giải :Ta có cos6x + cos6(
3
π
- x) + cos6(
3
π +x) = t13 + t23 + t33 =
=(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 =
16
3 32
27 + a (*)
Cho 18
π
=
x từ phương trình (1) ta có :
4
3 )
18 3 ( cos2 π =a⇒a=
64
63 4
3 16
3 32
27 18
7 cos 18
5 cos 18
Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Trang 2
y
+ + ÷+ − ÷
=
+ + ÷+ − ÷
.
Lời giải :Như trên,ta có :cos4x + cos4(
3
π + x) +cos4(
3
π
- x) =
8
9 cos6x + cos6(
3
π + x) + cos6(
3
π
- x) =
16
3 32
27 + a.
4 3 8 9 32 27
8 9 16
3 32 27
3
cos 3
cos cos
3
cos 3
cos cos
4 4
4
6 6
6
=
≥
+
=
− +
+ +
− +
+
x x
x
x x
x
π π
π π
Đẳng thức xảy ra khi và ch? khi a = 0 ⇔ cos23x = 0 ⇔x =
6
π +k 3
π ( k∈ Z )
12
11 8
916
3 32 27 8
916
3 32 27 3
cos 3
cos cos
3
cos 3
cos cos
4 4
4
6 6
6
=
+
≤
+
=
− +
+ +
− +
+
x x
x
x x
x
π π
π π
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1 ⇔ cos23x = 1⇔x = k
3
π ( k∈ Z ) Vậy : GTNN : y =
4
3 khi x =
6
π +k 3
π
; GTLN: y =
12
11 khi x = k
3
π ( k∈ Z )
Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau đây có nghiệm:
6
m
x+ π +x+ π −x =
.
Lời giải :Điều kiện : t1 = cos2x≠ 0 t2 = cos2(
3
π + x) ≠ 0 ; t3 = cos2(
3
π
- x) ≠ 0
Từ phương trình (2) ⇒ a ≠ 0 và phương trình viết lại 3 − 92 + 24−16=0
t t t
a
( 0 < a ≤ 1 ) hay : aX3 - 9 X2 + 24X - 16 = 0 ( với X =
t
1 ) (3)
Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái của phương trình đã cho là:
3 2 1
3 3
3 2
3 1 3 3
3 2
3 1 6
6
6
1 1 1 3
cos
1 3
cos
1 cos
1
X X X X
X X t t t x x
−
+
+
+
π
a a a a a a a
X X X X
X X X X X X
X
3 3
2 1 1
3 3 2 2 1 3 2
= +
+ +
+
đó phương trình trở thành : m
a a
729
2
Đặt f(a) =
a a a
48 648 729
2
3 − + là hàm số ẩn a xác định trong ( 0 ; 1 ]
Ta có đạo hàm: f’(a)= 48 2 12964 2187
a
a
−
Lập bảng biến thiên ta sẽ có :f’(a)< 0 ; ∀a∈ (0;1]⇒ f(a) nghịch biến trong (0 ; 1 ]
⇒ f(a) ≥ f(1) = 129
Trang 3Mặt khác : + =+∞
lim
0 f x a
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m∈ [ 129 ; +∝)
Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau:
Bài 1: (Được đăng trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)
Cho 3 số thực liên tiếp: a,b,c lập thành một cấp số cộng có công sai bằng
3
π
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 16 16 16
cos cos cos
S
Bài 2: Cho một dãy cấp số cộng có 2007 số hạng đầu tiên x 1 , x 2 , x 3 , x 2007 Cấp số cộng đó
có công sai bằng
3
π
và thoả mãn điều kiện
2007 6 1
10035
16
i i
x
=
=
∑
Tính số hạng x 2007 của dãy,biết rằng số hạng đầu tiên x 1 là một số dương nhỏ nhất.
Bài 3 : Giải hệ phương trình :
1
2009 1
64.8 96.4 3 36.2 9 3.27 0.
x y
x y
−
+