HƯỚNG dẫn GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và đơn GIẢN

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSXBài 1... Giải các phương trình sau :a.. Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm.. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;... Tìm m

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1 Giải các phương trình sau :





261

22

6sinx 1

22

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a 4 sin 4 x c os4x 3 sin 4x2 b 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x c

c cos 2x 3 sin 2x 2 sinx+cosx  d 4 4

11 6 2   5 2 2   6 4 2 36 32 0  c2 a2b2 Phương trình vô nghiệm

c cos 2 3 sin 2 2 s inx+cosx  os2x- 3 sin 2 2sin

Bài 3 Giải các phương trình sau :

b 2sin 4x16sin osx 3cos 23x c  x5

Ta có : 16sin3xcosx 4cos x3sinx sin 3x6sin 2x 2.2sin 3 osxx c

=6sin2x-2 sin4x+sin2x 4sin 2x 2sin 4x

Cho nên (1) : 2sin 4x4sin 2x 2sin 4 +3cos2x=5x  4sin2x.+3cos2x=5

k x

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x b cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc 

c 3sin 3x 3 os9x=1+4sin 3c 3 x d 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

Giải

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x sin 8x 3 os8x= 3 sin 6c x c os6x

Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :

b cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc   cos7x+ 3 sin 7x 3 os5x+sin5xc

Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :

a 5 sinx+cos3x+sin3x 3 os2x

s inx+sin3x osx osx 1+2sin2x 

s inx+cosx+sin3x 2sin 2 osx+cosx

    Vi phạm điều kiện , cho nên loại

Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : 2

- Do : 4232 25 6 2 36 Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm

Bài 2 Giải các phương trình sau

a sin 32 x c os 42 xsin 52 x c os 62 x b sin2 tan2 os2 0

   

2 2

osx-sinx

1 osx

0sinx+cosx= t anx 1

Phương trình (c) cot 2cot 2 2 osx 2 os2x 2 2cos2 os2x 2

sinx sin 2 s inx.cosx

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện

d 5.sinx-2=3 1-sinx tan x  2 Điều kiện : cos 0  

26

( Thỏa mãn diều kiện )

Bài 3 Giải các phương trình sau :

os2x-cos4x-1 os4x+cos2x 1 os2x-2cos 2 os2x+2cos 2

osx 2sinx+3 2 2cos 1

1 sin 2 +3 2 osx 2cos 1 1 sin 2

x c

Bài 4 Giải các phương trình sau :

a cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx 

d Cho : ( ) sinx+ sin 31 2sin 5

b 3cot2x2 2 sin2x2 3 2 osx c Điều kiện : sinx 0 x k 

Chia hai vế phương trình cho : sin2 x 0 Khi đó phương trình có dạng :

sin

3

t c

22

osx=

32

0 4 1 os 2 3 1 os2x 9 3cos 2 0osx

21

Ta có : f x'  cosx+cos3x+2cos5x=0 cos5x+cosx  coss5x+cos3x 0

osx; t 12cos3 os2x 2cos 4 cos 0

k c

t  x t Khi đó phương trình trở thành : sin 5t 5cos 2 sin2 t t (2)

Nhan hai vế với 2cost ta được :

sin 2 cotx xtan 2x 4cos x

Điều kiện : sincos2t 0t0



 Khi đó phương trình trở thành :

 

2

2 os x=0

21

2cos 6t 1 3cost 2 cos12t=3cost 3cost-cos12t=2

tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung Có nghĩa là : 2  , 

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)

Bài 6 Giải các phương trình sau :

a

4sin 2 os 2

osx cosx-sinx 0

c x

Bài 7 Giải các phương trình sau :

a sin 2x2 tanx3 b cot t anx+4sin2x= 2

c 1 t anx 1 sin 2    x  1 t anx Điều kiện : cosx 0

Khi đó phương trình trở thành : 1 t anx 1 2 t anx2 1 t anx

Thỏa mãn điều kiện (*)

d sin 4x t anx Điều kiện : cosx 0 (*)

3 1os2x=

3 12cos 2x+2cos2x-1=0 cos2x=

( Như kết quả trên )

Bài 8 Giải các phương trình sau :

2sinx= 2 1

Đối chiếu với điều kiện (*) thì với sin 2 sin 2 1

2

u

c u

d 3tan2x-4tan3x=tan 3 tan 22 x x

Điều kiện : os2x 0 *

2 4 cos 3cos osx=0

  Vi phạm điều kiện , nên bị loại

x= arccos 2

8

x k

k Z k

sin 0

2 1 os2y 1 0 cos 24sin 1 0

2

y y

sin 2 11

4

os2x=01

Phương trình vô nghiệm

2cos5 os3x+cosx 0

cos3x=-cosx=cos -x 4 2

2

k x

(c) trở thành : 2 s inx+cosx  sinx cosx+ 1 2 s inx+cosx sinxcosx=1 

cosx sinx sinx.cosx

sinx+cosx t 2

t 1sinxcosx=

Thỏa mãn điều kiện

d 3 cot x c osx 5 t anx-sinx  2 Điều kiện : sinx 0  *

Khi đó : 3 cos sin x sinx- osx 2 2sin 1 1

b 2sin3 x sinx=2cos3x c osx+cos2x

c sinxsin2xsin3xsin4x c osx+cos2x c os3x c os4x

3 1+sinxsin

   

1

os2x=-32

24

b 2sin3x sinx=2cos3x c osx+cos2x 2 sin 3x c os3x sinx-cosx cos2x sin2x0

sinx-cosx 1 sinxcosx  os sin  0 sinx=cosx

t 1sinx+cosx; t 2 sinxcosx=

21

2

t t

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a tan2x1 sin 3xcos3x1 0 b 2sinxcotx2sin 2x1

c Cho phương trình : msinx+cosx+1  1 sin 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;

t 1t=sinx+cosx; t 2,sinxcosx=

2sin osx-sinxcosx=0

26

c Cho phương trình : msinx+cosx+1  1 sin 2x msinx+cosx  s inx+cosx2

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;

Bài 4 Cho phương trình : cos3xsin3x m sin cosx x

a Giải phương trình khi m= 2

a Giải phương trình với m=1/2

b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

sinx+cosx 1 1 sinx cosx+ + 1 1 0

2 cosx sinx sinx osx

- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a

- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) Cho nên ta xét hàm số

Bài 6 Cho f(x)=cos 22 x2 sinx+cosx 3 3sin 2x m

a Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3

Cho nên : cos 22 x2 s inx+cosx 3 cosx+sinx 2 cosx-sinx22 sinx+cosx  

cosx+sinx21 sin 2 x2 sinx+cosx 

0sinx+cosx; t 2,sin 2 1

Bài 7 Giải các phương trình :

a cos 2x 5 2 2  cosx sinx-cosx   b cos3xsin3x c os2x

c 3tan2x4 tanx4cotx3cot2x 2 0

d tanxcotxtan2xcot2xtan3xcot3x6

Giải

a cos 2x 5 2 2  cosx sinx-cosx    2 2  cosx sinx-cosx  sin2x c os2x 5 0

sinx-cosx 4 2 cos x sinx c xos  5 0 sinx-cosx 4 sinx c xos  5 0

b cos3xsin3x c os2x cosx+sinx 1 sinxcosx- cosx-sinx    0

2

2

t anx=-1osx+sinx=0

41-t

Đặt : t anx+cotx= 2 2 *  tan2 cot2 2 2

sin 2 3 1( )3

sin 2 3

t

x x

Vì : t anx+cotx3 tan3xcot3x3tan cotx xt anx+cotx  t3 tan3xcot3x3.1.t

Bài 8 Cho phương trình : cos3x sin3x m

a Giải phương trình với m=1

b Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn ;

a/ Nếu m=1 Phương trình là : 3 3 3    2  1

22

Qua bảng ta thấy : với - 2<m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm thuộc ;

2cos 2xsin xcosxsinxcos x m sinx+cosx

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

t anx=-1osx+sinx=0

44

1-tcosx-sinx+sinxcosx-2=0 t+ 2 0

b/ Từ (*) ta thấy : sinx+cosx=0 không có nghiệm x thuộc 0;

sin2x  t   x x t  Cho nên phương trình trở thành

2

-

Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi

3232

Bài 11 Giải các phương trình sau :

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin 2 2 sin 1

Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 12 Giải các phương trình sau :

a

3 3

  b 5 sinx+cosx sin 3x c os3x=2 2 2 sin 2  x

c sin2xcosx c os2x+sinx=cos sin2x x c osx

d 4sin3x1 3sin x 3 os3xc

Giải

a

3 3

2cos 1 sin 1 sinx 1 sinx 1 sinx 1 sinx+sin

sin2x=-2<-1(l) 4sin 2 1 0

a/ Với m=4 (2) trở thành : 2

2 10

23

2 10

23

sin x 3 osc xsinxcos x 3 sin xcosx

b sin2xt anx+1 3sinx c osx-sinx3

Bài 2 Giải các phương trình sau :

sinx c osx-4sin x0 Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0

Chia 2 vế phương trình cho 3

cos x 0, ta có phương trinh :

3

-4 0 t anx 1+tan 1 tan -4tan 0

cos x 4sin x 3cos sinx xs inx=0

Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 Chia 2 vế phương trình cho3

cos x 0, ta có phương trinh :

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a 3cos4x 4sin2xcos2xsin4 x0 b sin sin 2x xsin 3x6cos3x

sin sin osxsinx+cosx

1osx-sinx osx-sin 0

cosx cosx-sinx 0

c c

3sinx 4sin x 4cos x 3cosx 2cosx 0

3sinx 4sin x 4cos x cosx 0

     Chia hai vế phương trình cho cos3x 0 Ta được :

3

sinx sin osx

Bài 5 Cho phương trình :

4 6 msin3x3 2 m1 s inx+2 m-2 sin   2xcosx 4m 3 osx=0c

a Giải phương trình với m=2

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;

Phương trình : 4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2xcosx 4m 3 osx=0c

Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx=1, phương trình có dạng :

Bài 6 Giải các phương trình sau :

a cos3xsinx-3sin cos2x x0 b 1 t anx=2 2 sinx

1+t 1+t 3 0

t x

Bài 7 Giải các phương trình sau :

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin2x1 t anx  3sinx c osx-sinx3

c sin3x sin2xcosx 3sin cosx 2x3cos3x0

d 3tan2x4 tanx4cotx3cot2x 2 0

Bài 1 Giải các phương trình sau :

a 4sin2x 2 3 t anx+3tan2x 4sinx 2 0 b.tan2 xtan 22 xcot 32 x1

c.4cos2 x3tan2x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c d sin2 sin2 sin2  9

Bằng cách biểu diễn các nghiệm trên

đường tròn đơn vị ta thấy có nghiệm chung là : 5 2

6

x  k  thỏa mãn

b.tan2 xtan 22 xcot 32 x1

Do : cot 3 cot 2  1 t anxtan2x t anxcot3x+tan2xcot3x+tanxtan2x=1

c.4cos2x3 tan2 x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c  2cosx- 3 2 3 t anx+12 0

d 2 2 2  9 1 os2x 1 os2y 1 os2 x+y  9

sin sin sin

3sin cos cos sin sin 2 os2x= sin 4 sin 3

Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải

B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

1 Dạng 1.

Bài 1 Giải các phương trình sau :

a cos3x+ 2-cos 32 x 2 1 sin 2  2 x b sin3x c os3x 2 sin4 x

c 3 cosx cosx+1 2 d tan2 cot2 2sin5

2

os6x=1

os 3 1os3x= 2 os 3

os3x 2 os 3

sin2x=0sin 2 0

sin 2 0sin 2 0

6 2 3

2

2

k x

Ta có VT2  3 cosx cosx+12  1 1 3   cosx+cosx+1  4 VT 2

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a.cos13xsin14 x1 b cos2x 4cosx 2 sinx x x 2 3 0

x=k2sinx=0

x=k

k c

2 2 22

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a 4cosx 2 cos 2x c os4x=1 b tan 2 tan 3 1 0

x=

12 6

l c

l x

2

k x

Bài 4 Giải các phương trình sau "

a sinx c osx= 2 2 sin 3  x b tanx+tan2x=-sin3xcos2x

cosx os2x

x

x c c

cosxcos2x 1+cosx.cos 2 0

x x

- Trường hợp : 2 osx 1+cos4x  cos5x+cos3x

osx=-1

4 2 osx+cos5x+cos3x 0 cos5x=-1 os5x=-1 2

cos5x=-1cosx=-1 cosx=-1 3

Vậy phương trình có thêm nghiệm nữa là : x  l2 l Z 

c sin4xcos16x=1 sin 20 sin12 2 sin 20 1 40 10

sin12 1

24 6

k x

k x

2 4

Phương trình vô nghiệm

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

4

3 cos

sin

cos

x x x

x x

34

 

8

83

sin

cos

x x x

x x

     Nhưng lại vi phạm điều kiện

Vậy phương trình vô nghiệm

c) 1  sinx 1  sinx  2 cosx

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) sin cos 4 sin 2 2 4 sin 2 4 2 27

2

5 cos

2 tan

c) ( 4 6 ) sin 3 3 ( 2 1 ) sin 2 ( 2 ) sin 2 cos ( 4 3 ) cos 0

26

2 tan

Như vậy ta có biện luận sau :

- Nếu : 1<m<3 Phương trình có 1 nghiệm : tanx=1

t anx=m+ m 4 3

m m

Bài 3 Giải các phương trình sau

a) 1 tan 2 x 2 tanxtan 2x

k k

22

c) tanx 3 cotx 4 (sinx 3 cosx) d) sin 3x cos 3x cos 2x

k x

sin 3 cos sin 3 cos sin 3 1 os cos 2 0

Đối chiếu với điều kiện , thì các nghiệm thỏa mãn

c) tanx 3 cotx 4 (sinx 3 cosx) Điều kiện : sinx 0 *

t anx=- 3

t anx=- 3(sin 3 cos ) 0

2sin x- =sin

Bài 5 Giải các phương trình sau

a) sin 4x tanx b) sin 4x 4 sinx (cos 4x 4 cosx)  1

c) 3 (cotx cosx)  5 (tanx sinx)  2 d) cos 7x 3 sin 7x  2

2sinx 2cos3 os os2x =0

cos4x+2cos2x=0 2cos 2 2cos 2 1 0

b) sin 4x 4sinx (cos 4x 4cos ) 1x   sin 4x c os4x-14 osx-sinxc 0

2sin 2 cos 2x x 2cos 22 x 4 osx-sinxc  0 cos2x sin2x-cos2x  2 osx-sinxc  0

osx=sinxosx-sinx osx+sinx sin 2 os2x 2 0

Do điều kiện :cosx 0 Còn các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện

d) cos 7 3 sin 7 2 1cos 7 3sin 7 2 os 7x+ os3

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) tanx 2 2 sinx 1 b) 2 cos 3 x sin 3x

c)

x

x x

sin 1

cos 1

Vậy nghiệm phương trình là : 2  

4

x  k  k Zb) 2cos3xsin 3x 2cos3x 3sinx4sin3x0 Vì cosx=0 không là nghiệm , cho nên tachia cả hai vế của phương trình cho cos3x 0, suy ra :

x

x x

sin 1

cos 1

d) sin6 cos6 5(sin4 cos )4 1 3sin 22 5 1 1sin 22

4 cos 4

tan 4

tan

2 cos 2

tan 4

x x

4 cos 4

tan 4

tan

2 cos 2

Kiểm tra điều kiện (*)

n  x     x      

- Nếu k=2n+1 2 1 tan tan

không xác định cho nên với k lẻ thì loại

Tóm lại phương trình có nghiệm là :  

tan 4

x x

c) cos 2 sin 2 2 cos 1 0

1 4

sin 2

Vậy phương trình có nghiệm là : tanx 0 x k  k Z 

Suy ra : 2

2

osx 0sin 1

2

k x

k x

2 cos

x x

x

cos

1 cos

cos sin cos sin

k k

Bài 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cot 2 tan 2 2 tan 2  1



c) sin 2x 2 cos 2x 1  sinx 4 cosx d) sin 2x 2 tanx 3

log arctan -1+ 2arctan -1+ 2

arctan 1- 2 log arctan 1- 2arctan 1+ 2 log arctan 1+ 2

b)  2cosx 2 sin10x3 2 2cos 28 sin x x 2cosx 2cos 28 sinx x3 2 2 sin10x

- VT2 2cosx 2cos 28 sinx x2 4 4cos 28 2 x c  os2xsin2x  4 4cos 28 2 x   4 4 8Cho nên suy ra : VT  2

c) sin 2x2cos 2x 1 sinx 4cosxsin 2x2 1 2sin  2  1 sinx-4cosx

d) sin 2x 2 tanx 3 Điều kiện : cosx 0 *  Khi đó phương trình trở thành :

x c

Trên đây tạm trình bày 2 cách giải

- Trường hợp giải theo cách 1 :

Ta có nghiệm phương trình là : tan 1  

Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm

* Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao đối

với sinx và cosx , cho nên ta chia 2 vế của phương trình cho cos3x 0

2 2

1

1 cot

) sin (cos 2 2

cot tan

1 cos cos sin 2

c     k Z Là một nghiệm của phương trình

- Trường hợp : 1 cos x cosx sin 2x

Ta có : VT2  1 cos x cosx2  1 1 1   cosx+cosx   2 2 VT  2

) sin (cos 2 2

sinx cos 2 cos sinxsin2x+cosxcos2x cos sinx

1cosx sin 2 s inx

osx.sin2x 2(cos sin )sinx

chia 2 vế phương trình cho sinx : 2cos 2 osx= 2 2

Bài 13 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 3x sin 3x sin 2x sinx cosx

* Chú ý :

Đây là phw[ng trình đối xứng đối với sinx,cosx

Ta có thể đặt : tsinx+cosx; t  2;sin 2x t 2 1 Biến đổi phương trình theo t

b) 3 4cos 2 xsin (2sinx x1) 3 4 1 sin   2 x s inx 2sinx+1 

2

4sin x 1 sinx 2sinx+1 0 2sinx+1 2sinx 1 sinx 0

tan cot 2 1 tanx 1 t anx+tan2x tan 3

tan cot 2 1 tanx 1 t anx-tan2x tan

Thay vào (**) ta được :

33

3

32

Bài 16 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2x 3 cosx 2  0 b) 3 cos 4 2 cos 2 3 1

2cosx=-

32

1 214

c c

x c

2

3 2 cos 2 sin

1sin 2

2

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 os2x

d) 2 2(sinxcos ) cosx x 3 cos 2x 2 2 sinxcosx+2 2 osc 2x 3 cos 2x

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 18 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

8

9 ) 4 ( sin ) 4 ( sin

sin 1

2 sin





x x

c) cos 3 sin 3 sin 2 cos 0

sin 4x 4 x   4 x  ( Bài này đã giải rồi )

sin 2 sin

22

sin sin cos

Bài 19 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3  cosx 1  cosx  2 b) sinxcosx 2 sinx 2 cosx 2

c) cosxcos 2xcos 4xcos 8x161 d) sin 2x sin 2 3x cos 2 2x cos 2 4x







Giải

a) 3 cos x 1 cos x  2 2 2 3   cosx 1  cosx  4 3 cosx 1  cosx 1

Vậy :  cosx=1- 3c os  x=+k2 k Z;cos =1- 3  

b) sin cosx x2sinx2cosx 2 sin cosx x2 sin xcosx 2

d) 2 2 2 2 1 os2x 1 os6x 1 os4x 1 os8x

sin sin 3 cos 2 cos 4

Bài 20 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 3x(cosx 2 sin 3x)  cos 3x( 1  sinx 2 cos 3x)  0

2 4 cos 8 cos

) sin 1 ( 3 tan

tan

2 3

) sin 1 ( 3 tan

tan

2 3

c) cos 2x cos 2x 1 tanx

Ta có :  2  2 1

2

2 3 2 2 3 2

3 22

2 3 2 8 2.3 3 2 2

2 3 2 2 3 2

22

2 2 2 cos 2

x x

c) 2 cos 2x sin 2 xcosx sinxcos 2x 2 (sinx cosx)

Giải

cos

1 cos

2 2 2 cos 2

x x

16sin 8sin 1 0 4sinx+1 0

24

Bài 23 Giải các phương trình sau:

a) tan sin 2 2 sin 2 3 (cos 2 sin cos )

x x x x

x

cos 4 ) 2 tan (cot

1

x

e) cos 3 cos 2 2 sin 2 0

sin

os

c c

d) 6 6 3 2 3 1 os4x 5 3cos 4sin cos cos 4 1 sin 2 os4x cos4x=1-

2

e) cos3xcos2x2sinx 2 0  cos2x c osx-12 sinx-1  0

1 sin2x c  osx-1 2 sinx-1  0 1 sinx 1 sinx cosx-1 2 0

    { Vì : Phương trình : s inx+cosx+5=0 vô nghiệm )

Bài 24 Giải các phương trình sau:

a) cos 3x 2  cos 2 3x  2 ( 1  sin 2 2x) b) sinx sin 2x sin 3x 0

c) cotx tanx sinx cosx d) sin 3x cos 2x 1  2 sinxcos 2x

2

1os6x=-1

os 3 1

sin2x=0sin 2 0

2

k x

c

l x