III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1... III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1.[r]
Trang 1Chuyên đề 2: HÀM SỚ MŨ VÀ HÀM SỚ LƠGARIT PHẦN I: MỢT SỚ KIẾN THỨC CƠ BẢN
I/-LŨY THƯA VÀ CĂN THỨC
n
n
a a.a a
thừa số
(n, n 1, a ) a am n am n
a1 aa a0 a 01
m
m n n
a a a
n
n
1
a
a
(n , n 1, a \ 0 )
(a )m n (a )n m am.n
m
n m
n
a a (a 0; m, n , n 2) (a.b)n a bn n
m
n
n
a
a a
n
II/-HÀM SỚ MŨ VÀ HÀM SỚ LOGARIT
1) Hàm số mũ: y = a x ( a > 0, a ≠ 1 )
Tập xác định : D
Tập giá trị : T ( Vì: ax 0, x )
Tính đơn điệu:
+ a > 1 : Hàm số đồng biến: x1x2 ax1 ax2 + 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: x1x2 ax1 ax2
2) Hàm số lơgarít: y = log a x
a) lơgarít
ÐN
M a
log N=MÛ a =N (0 a 1, N< ¹ >0) log N cĩ nghĩa khi a
a 0
a 1
N 0
b) Các tính chất :
log 1 0a log a 1a
log aa M M alog Na N
log (N N ) log Na 1 2 a 1log Na 2
1
2
N
N
log Na log Na
Đặc biệt: log Na 2 2.log Na
c) Cơng thức đổi cơ số :
log N log b.log Na a b
a b
a
log N log N
log b
Hệ quả:
Trang 2 a b
1 log b
log a
log Na log Na
d) Hàm số lôgarít: y = logax ( a > 0, a ≠ 1 )
Tập xác định: D
Tập giá trị T
Tính đơn điệu:
+ a > 1 : hàm số y log x a đồng biến: x1x2 0 log xa 1log xa 2
+ 0 < a < 1 : hàm số y log x a nghịch biến x1x2 0 log xa 1log xa 2
Một số điểm cần lưu ý:
0 a 1 aM aN M N 0 a 1 ; M, N 0 log M log Na a M N
a 1 aM aN M N a 1 log M log Na a M N
0 a 1 aM aN M N 0 a 1 log M log Na a M N
e) Đạo hàm số mũ, lôgarít
(x )' .x 1 2
(u )' .u 1.u
x 1
2 x
n
n n 1
1 x
n x
u u
2 u
n
n n 1
u u
n u
(e )' ex x (a )' a ln ax x (e )' u eu u (a )' u a ln au x
ln x 1 (x 0)
x
a 1
log x ' (x 0)
x.ln a
ln u u (u 0)
u
a u
u.ln a
1
(ln x) (x 0)
x
a
1 (log x) (x 0)
x ln a
u (ln u) (u 0)
u
a
u (log u) (u 0)
u.ln a
III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a) Phương trình mũ cơ bản:
Với: a>0,a¹ 1, b> ta có: 0 ax =bÛ x = ab
b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
Với: a>0,a¹ : 1 af (x) =ag(x)Û f (x) = g(x)
Phương pháp 2: Lôgarit hoá:
a>0,a¹ 1, b> : 0 af (x) =bg(x) Û f (x)=g(x) log b( a )
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt ẩn phụ t=af (x), nhớ điều kiện t> 0
2) PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
a) Phương trình lôgarit cơ bản:
a>0,a¹ 1: log xa = Ûb x=ab
f (x) 0
a 0,a 1: log f (x) b
f (x) a
ì >
ïï
= ïî
Trang 3b) Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
f (x) g(x)
a 0,a 1: log f (x) log g(x)
f (x) 0 hay : g(x) 0
ïï
ïî
(Thông thường chọn hàm số đơn giản hơn để đặt điều kiện dương)
Phương pháp 2: Phương pháp mũ hóa:
f (x) 0
a 0,a 1: log f (x) g(x)
f (x) a
ì >
ïï
= ïî
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt t=log f (x)a
Nếu f(x) xác định thì không cần đặt điều kiện cho t ( t Î )
III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) Bất phương trình mũ cơ bản:
x
a > b b > 0 : x > log b a x
a > b b > 0 : x < log b a
b £ 0 : BPT có nghiệm " xÎ b £ 0 : BPT có nghiệm " xÎ
x
a < b b > 0 : x < log b a x
a < b b > 0 : x > log b a
2) Bất phương trình logarit:
( )
a
log f x > b f x( )> a b log f x a ( )> b ( )
( )
ìïïï íï ïïî
b
<
>
( )
a
log f x < b ( )
( )
ìïïï íï ïïî
b
<
f x > a
3) Một số phép biến đổi cần thiết:
a) Bất phương trình mũ: a f x( )< a g x( )
Nếu a > 1 : a f x( )< a g x( )Û f x( )< g x( )
Nếu 0 < a < 1 : a f x( )< a g x( )Û f x( )> g x( )
b) Bất phương trình lôgarit: log f x a ( )< log g x a ( )
Nếu a > 1 :
( )
ìïï íï ïî
f x g x log f x log g x
<
<
>
Û
Nếu 0 < a < 1 :
( )
ìïï íï ïî
f x g x log f x log g x
>
<
>
Û
PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BÀI 1 Giải phương trình 2x+2x 1+ +2x 2+ =5x+2.5x 1- .
GIẢI:
Trang 4Ta có: 2x+2x 1+ +2x 2+ =5x+2.5x 1
2 2 2 2 2 5 2.5
5
5 2
Û + + = +çç ÷÷ Û = Û çç ÷÷= Û =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là
5 2
x=log 5
BÀI 2 Giải phương trình
x x 2 1 3
9
æöç ÷
= ÷ç ÷çè ø
GIẢI:
Ta có
x x 2 1
3
9
æöç ÷
= ÷ç ÷çè ø x2 x 2 ( )2 x 2
3 - - 3-
-Û = Û 3x 2- -x 2=3- 2x 4+ 2
2
x 2
é = ê Û
ê
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2, x=- 3
BÀI 3 Giải phương trình 25x- 30.5x+125= 0
GIẢI:
Phương trình đã cho tương đương:
5 - 30.5 +125=0
Đặt t=5x, điều kiện t> 0
Khi đó phương trình trở thành:
2
t - 30t 125+ =0
t 5
t 25
é = ê Û
ê =
ë (nhận) + Với t= Û5 5x = Û5 x= 1
+ Với t=25Û 5x =25Û 5x=52Û x= 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=1, x= 2
BÀI 4 Giải phương trình 3x 2+ +3- x=10.
GIẢI:
Ta có 3x 2+ +3- x=10
x x
1
3
Đặt t=3x, điều kiện t> 0
Khi đó phương trình trở thành:
1
t
9t 10t 1 0
t 1 1 t 9
é = ê
Û ê
ê =
ê (nhận)
Với t= Û1 3x = Û1 x= 0
Với
1
9
=- Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0, x=- 2
Trang 5BÀI 5 Giải phương trình 3.9x+7.6x- 6.4x = 0
GIẢI:
Phương trình đã cho tương đương:
ỉư÷ ỉư÷
ç ÷ + ç ÷- =
Đặt
x
3
t
2
ỉư÷
ç
= ÷ç ÷çè ø , điều kiện t 0>
Khi đĩ phương trình trở thành: 3t2+ -7t 6=0 ( )
2 t 3
t 3 loại
é
ê = ê
Û ê
ê =-ë
Với
-ỉư÷ ỉư÷ ỉư÷
= Û çç ÷÷= Û çç ÷÷=çç ÷÷ Û
Vậy phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm là x=- 1
BÀI 6 Giải phương trình 5x2- 4=7x 2+ .
GIẢI:
Ta cĩ:
5 - =7 + Û log 5 - =log 7 +
2
5
x 2 x 2 log 7 0
x 2 log 7
é =-ê
Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là x=- 2, x= +2 log 75 .
BÀI 7 Giải phương trình 3x = -11 x.
GIẢI:
Ta cĩ x= là nghiệm của phương trình cho 2
Mặt khác, hàm số y=3x luơn đồng biến trên , hàm số y 11 x= - luơn nghịch biến trên nên x= là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.2
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất là x= 2
BÀI 8 Giải phương trình 1 x (3x 11 ) 1 x 3x 10 0
GIẢI:
Đặt
x
1
t
2
ỉư÷
ç
= ÷ç ÷çè ø , điều kiện t 0>
Khi đĩ phương trình đã cho trở thành:
2
t - 3x 11 t 3x 10+ + + =0
t 1
t 3x 10
é = ê Û
ê = + ë
Với
x 1
2
ỉư÷ ç
= Û ç ÷çè ø÷= Û =
Với
x 1
2
ỉư÷ ç
= + Û ç ÷çè ø÷= +
(*)
Trang 6Ta có x=- thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*).2
Mà hàm số
x 1 y
2
æö÷ ç
= ÷ç ÷çè ø luôn nghịch biến trên , hàm số y 3x 10= + luôn đồng biến trên Do
đó x=- là nghiệm duy nhất của phương trình (*).2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0, x=- 2
BÀI TẬP CÓ ĐÁP SỐ
BÀI 1: Giải phương trình:
a)
x 6x 2 1
25
5
+
- + æöç ÷
= ÷ç ÷çè ø
ĐS:
1
x 5;x
2
b) 5x 1- =10 2 5x - x x 1+ ĐS: x=- 2
BÀI 2: Giải bất phương trình:
a) 22x 1+ - 17.2x+ £8 0 ĐS: S= -[ 1;3]
4+ 15 + -4 15 >8
ĐS: S= - ¥ -( ; 1) ( 1;+¥ )
BÀI 4: Giải các phương trình sau:
a) 5x 1+ +6.5x- 3.5x 1- =52 b) 3x 1+ +3x 2+ +3x 3+ =9.5x+5x 1+ +5x 2+
c) 3 2x x 1+ =72 d) 4x2- 3x 2+ +4x2+ +6x 5=42x2+ +3x 7+1
BÀI 2: Giải phương trình:
a) ln x 3( - )+ln x 1( - )=ln 3x 7( - ) ĐS: x=5
b) log log x4( 2 )+log log x2( 4 )=2 ĐS: x=16
BÀI 3: Giải bất phương trình và hệ phương trình sau:
a)
3
2log x+ +2 log 2x 19+ £ 0
ĐS: S= -( 2;3]
b)
8 8
8
log (xy) 3log x.log y
log x x
4log
y log y
ïï
ïïí
2
æ ö÷
BÀI TẬP:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 3x+3x 1+ +3x 2+ =351 2) 2x 1+ +2x 2+ =3x 2- +3x 3
-3) 7.5x- 2.5x 1- = 11 4) 14.7x+4.32x =19.32x- 7x
Bài 2 Giải các phương trình sau:
1) (0, 2)x x- 2 =56x 10- 2)
2
x x 5 2x 3
3 2 2+ - = -3 2 2 +
4) ( )x2 x x 1
9 3 - =81
-Bài 3 Giải các phương trình sau:
1) 92x- 32x- 6=0 2) 2x- 4x 1- =1
3) 25x- 5x- 12=0 4) 32x 8+ - 4.3x 5+ +27=0
Trang 7Bài 4 Giải các phương trình sau:
1) 10.25x- 29.10x+10.4x=0 2) 5.36x =3.16x+2.81x
3) 25x+3.15x+2.9x=0 4) 4.9x+12x=3.16x
Bài 5 Giải các phương trình sau:
1) 5x 1- +5- +x 3=26 2)
x 1 2 x 7
2
- - - =
3) 3x 1+ +32 x- =28 4) 7- 2x2+ +x 1+72x2- x- =8 0
Bài 6 Giải các phương trình sau:
1) 4x2+ -2x 8=5x 2- 2)
x 1
x 1 x
3) 2 3x 9 x- 2 =8 4) 4.9x 1- =3 22x 1+
Bài 7 Giải các phương trình sau:
1) 8x- 2.4x- 2x+ =2 0 2) 2x2- x- 22 x x+ - 2 =3
3) 3.8x+4.12x- 18x- 2.27x =0 4) 2x2+x- 4.2x2- x- 22x + =4 0
Bài 8 Giải các phương trình sau:
1) log x2 +log x3 +log x4 =log x20
2)
(x 3)
1
log + 2
2
log
log x +3x+ +2 log x +7x 12+ = +3 log 3
Bài 9 Giải các phương trình sau:
1)
8 2
log 4x log x
log 2x =log 8x
1 log 3 log x log 3 log x
2
log 4 + +4 log 4 + =1 3
4)
3
4
1 log x
-Bài 10 Giải các bất phương trình sau:
1) 2 - 2+3x<4
2)
2
-³
æö÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
5) 22x 1- +22x 2- +22x 3- ³ 448 6) 2x +2- x- <3 0
7) ( )0, 4 x ( )2, 5 x 1+ 1, 5
Bài 11 Giải các bất phương trình sau:
1)
1
3
3x 1
x 2
- >
+
2) log (x 7)4 + >log (1 x)4
-3) log (x 5)2 + £ log (3 2x) 42 - - 4) log (x2 2- 4x 5)- <4
Trang 85) log (26 3 )5 - x >2 6) log (13 4 )3 - x >2
3) log0,2x - log5(x - 2)< log0,23
4) log x 5log x32 - 3 + =6 0
5)
1
1 log x+log x >