Tập hợp các bài phương trình lượng giác hay và khó với những lời giản độc đáo, đơn giản. Đây sẽ là một tài liệu quý giã cho các em học sinh trung học phổ thông cũng như các em đang ôn đại học và sẽ là tài liệu Bồi dưỡng Học sinh giỏi quý giá cho các thầy cô
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 Giải phương trình: 1 + 3(sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
Phương trình đã cho tương đương với ( 3 sinx sin 2 )+ x + 3 cosx+ +(1 cos2 )x =0
⇔ ( 3 sinx 2sinx.cos ) ( 3 cos+ x + x+2 os ) 0c 2x =
⇔ sinx( 3 2cos ) cos ( 3 2cos ) 0+ x + x + x =
⇔ ( 3 2cos )(sinx cos ) 0+ x + x = ⇔ cos 23
sinx cos
x
x
= −
= −
5 5
6 6
4
2 2
,
t anx 1
k Z
π π
π
π π
π
= ± +
Vậy nghiệm của phương trình là: π 2π
6
5
k
x=± + và x=−π +kπ
4 với k∈Z
Bài 2 Giải phương trình 2sin 3 2 2sin 2 3
4cos 4 cos
x x
π
Với điều kiện : cosx≠0, Phương trình đã cho tương đương :
3 cos 2 sin 2 3
4cos 4 cos
x x
4cos 4 cos
x
3 cos sin 2cos 4
⇔ x+ x= x (vì cosx≠0)
6
π
(1)
Trang 2Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là:
2
k
x= −π + π
Bài 3 Giải phương trình: cos cos3 1 2 sin 2
4
x+ x= + x+π
⇔2 cos2x cosx 1 sin 2x cos2x= + +
⇔cos2x(2 cosx 1) 1 2sin x cosx− = +
⇔(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin x)2 − 2 − = + 2
(cosx sin x)(2 cosx 1) cosx sin x (2)
2 (2) 2 cosx(cosx sin x 1) 0
2 cos x 1
4
Vậy pt có nghiệm là x= − + ππ k
4 ,
π
= + π
2 , x k2= π
Bài 4 Giải phương trình: cos3 cos2 2 1 sin( )
sin cos
x
+
ĐK: sinx+cosx≠0
Khi đó PT ⇔ −(1 sin2x) (cosx− =1) 2 1 sin( + x) (sinx+cosx)
⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x+sinx+sin cosx x) =0
⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x) (1 sin+ x)=0
sin 1
cos 1
x
x
= −
⇔ = − (thoả mãn điều kiện)
Trang 32 2
2
= − +
⇔
= +
(k m, ∈Z)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2
2
x= − +π k π
và x= +π m2π (k m, ∈Z)
Bài 5 Giải phương trình 2sin cos2 x x+sin cos 2x x+ =1 cos 2x+sin 2x+sin x
TXĐ: D= R
(1)⇔ sin 2 sinx x−sin 2x+sin cos 2x x c− os2x - sin( x− =1) 0
⇔ sin 2x(sinx-1)+cos 2x(sinx-1) (− sinx− =1) 0
⇔(sinx - 1 2sin osx - 2sin) ( x c 2x) =0
⇔ 2sin (cosx x−sin ).(sinx x− =1) 0
( ) 4
2 2
sin 0
cos sin
0000000
0 0
0
0 0
s n 1
x k
x
x
π
Kết luận: ……
Bài 6 Giải phương trình 2 cos 2 3 sin 2 3 sin 3x cos3
3 cos sin
x
−
ĐK: x− x≠ ⇔ x≠ ⇔ x≠ π +kπ
3 3
tan 0
sin cos
2 24
; 4
3 3 cos 6
cos 3
cos 3 sin 3 6
cos
2
3 2
cos
2
2
π π π
π
π
π π
π
k x
k
x
x x
x x
x
x
+
= +
=
⇔
−
=
+
⇔ +
=
+
+
+
So sánh với đk ta được nghiệm
Bài 7 Giải phương trình:
1 cos
2 1
) 2 (cos 3 sin 3 5 3 sin sin 4
=
−
+ +
+
+
x
x x
x
Trang 4Điều kiện π 2π
3 2
1 cosx≠ ⇔x≠± +k Phương trình tương đương với
π π
π π
π π
π π
π π
π
π π
π
2
2
1 6
sin
; 2 6
sin 0
2 6 sin
5 6 sin
2
0 6 6 sin
10 6
sin 2 1
2
0 6 6 sin
10 3
2 cos
2
0 6 cos
sin 3 5 3 2 cos
2
0 5 cos 5 sin 3 5 3
2 cos 3
cos
2
1
4
cos 2 1 ) 2 (cos 3 sin 3 5 3 sin
sin
4
2
2
k x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
+
=
⇔
−
=
+
−
=
+
⇔
= +
+ +
+
⇔
= +
+ +
+
−
−
⇔
= +
+ +
−
⇔
= + +
+
−
⇔
= + +
+
−
⇔
−
= + +
+
+
Bài 8 Giải phương trình: (1 cos 2 sin 2 ) cos cos 2 cos
tan 1
x x
+
ĐK: cosx≠0 và tanx +1 ≠0 Khi đó phương trình tương đương với
0 ) 1 sin )(cos sin (cos 0
) sin (cos
2
cos
0 ) sin (cos 1 cos
2
) ( 0 cos
sin
0 1 sin cos cos
cos sin
sin cos cos
) cos
(sin
cos sin
sin cos
cos cos
sin sin
cos
2
2
2 2
2 2
2
= + +
−
⇔
=
− +
⇔
=
− +
−
= +
⇔
=
−
− +
+ +
− +
⇔
+
=
− +
+ +
−
x x x x x
x x
x x x
loai x
x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Bài 9 Giải phương trình (cos 1).(sin 2 sin cos 2) 1
sin (1 2cos )
−
*ĐK:
x sinx 0
( )
1
cosx
3 2
k
k Z k
π
≠
* Ta có: (1)⇔(cosx+1).(sin 2x−sinx−cosx− =2) sinx−sin 2 (2)x
Trang 5* Khi đó: (2)⇔(cosx+1).(sin 2x−sinx−cosx− −1) (cosx+ =1) sinx−sin 2 ).x
⇔(cosx+1).(sin 2x−sinx−cosx− +1) (sin 2x−sinx−cosx− =1) 0
⇔(cosx+2).(sin 2x−sinx−cosx− =1) 0
sin 2x sinx cosx 1 0
(sinx cosx 1)(sinx cosx 2) 0
sinx cosx 1 0
2 1
2
π
= +
= − +
¢
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 2 ( )
2
x= − +π k π k∈
¢
Bài 10 Giải phương trình: cosx + 3(sin2x +sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 02 =
cos 2cos 3 sinx(2cos 1) 4cos 2 osx-2(2cos 1) 0 osx(2cosx+1)+ 3 s inx(2cos 1) 2cos 2 (2cos 1) 0
2cos 1 cosx+ 3 sinx 2cos 2 0 2cos 1 0
cosx+ 3 sinx 2cos 2 0
x
x
+ =
,
3
x+ = ⇔ = ±x π +k π k Z∈
+ cosx+ 3 s inx 2cos 2− x=0
cosx+ 3 s inx=2cos 2
cosx+ s inx= cos 2
3
2 ; 3
2
;
x x
k
π
⇔
⇔
= − +
⇔
Trang 6Nghiệm của pt là:
2 2 ,
3
x= ± π +k π k Z∈
k
x= − +π k π x= +π π k Z∈
2017
4 cos cos sin 3 x sin tan 1
x
π
+
2
2017
4 cos cos sin 3 x sin tan 1
x
π
+
x≠ −π +kπ x≠ +π kπ
2
2
2017
tan 1
1 cos sin cos cos cos sin 3x sin
cos 2 1 sin 2 0
4
x
k x
π
+
= +
−
So sánh điều kiện phương trình có nghiệm là : , ( )
4
x= +π kπ k∈¢
Trang 7Bài 12 Giải phương trình: tan 2 tan 1(sin 4 sin 2 )
6
x
x x
x
cot 1 cos
3 cos sin
3
Đk:
2 0
2
x
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x
sin
cos sin
2 sin 2 1
4 sin sin
cos sin
cos sin
sin 3 cos cos
3
⇔
(sin cos )(2sin2 2cos2 3) 0 cos
sin sin
2
cos
(ptvn)
0 3 2 cos 2 2
sin
2
1 tan
=
− +
−
=
⇔
x x
x
Z k ,
−
=
Bài 14 Giải phương trình: (tanx + 1)sin2x + cos2x + 2 = 3(cosx + sinx)sinx
Giải phương trình:
1 tan 2 tan (sin 4 sin 2 )(1)
6
:
cos 0
2
m x
x
x
≠ +
≠
2
(1) 6sin cos 2 cos (sin 4 sin 2 )
6sin cos cos 2 (4sin cos cos 2 2sin cos )
sin (4cos cos 2 2cos cos 2 6) 0
sin (2cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 cos 2 ) 6 0
sin (2cos 2 3cos 2 cos 2 6) 0
sin (cos 2 1)
(2 cos 2x+5cos 2x+ =6) 0
2
sin 0
2cos 2 5cos 2 6 0( )
x
π
Trang 8Bài 15 Giải phương trình lượng giác sau: )
4 ( 3 cos 3 6 cos 2 cos ) 4 sin(
Đặt t= −x
4
π Ta có pt: −2sintsin2t.sin6t =3cos3t
0 3 3 sin 2 sin sin 4
; 0 3 cos 0
3 cos 3 3 cos 3 sin 2
sin
sin
TH1:
3 3 0
3
cos t= ⇔ x=π +kπ
TH2: 4sintsin2tsin3t+3=0⇔ 2(cos2t−cos4t)sin2t+3=0⇔sin4t−sin6t+sin2t =−3
(1)
Vì sin4t≥−1,sin2t≥−1,−sin6t≥−1 do đó (1) tương đương với sin4t=sin2t=-sin6t=-1
Hệ này vô nghiệm Vậy pt có nghiệm
3 3
π
π k
x= +
Bài 16 Giải phương trình sin 3 4cos 6 3 0
sin 3 1
x
π
−
t= − ⇒x π x= +t π
Phương trình đã cho có dạng:
sin 3 4cos 3
sin 3 1
2
t
π π
+ −
cos3 4cos 3 0
cos3 1
t
−
PT⇔(t anx -1)sin2 x+3( osx-sinx) osx=0c c
(sinx – cosx)(2cos2x + 1) = 0
4 sin osx
2cos 2 1 3
3
x c
x
= +
=
= −
= − +
(k∈¢)
Trang 9Đk:
cos 1
cos
2
t t
t
≠
≠ ⇔ ≠ −
Phương trình đã cho tương đương với:
3
cos 1 3 cos3 4cos 3 0 4cos 7cos 3 0 cos
2 1 cos
2
t
t
= −
= −
6
t= − ⇔ = +t π k π ⇒ =x π +k π
KL: Phương trình có nghiệm 7 2
6
x= π +k π
Bài 17 Giải phương trình sau 1 2sin 2sin 2 2 cos os2 3 1 cos( )
2sin 1
x
1 2sin 2sin 2 2 cos
os2 3 1 cos 2sin 1
x
−
(1 2sin ) (1 2cos ) 2 ( )
2cos 1 3 1 cos 2sin 1
x
−
1 2cosx 2cos x 1 3 1 cosx
2
cos 1
cos
2
x
x
= −
⇔
2 2 6 2 6
= +
= +
= − +
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm
6
x= +π k π x= − +π k π
Bài 18 Giải phương trình: cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx-2cos22x+2 0 =
⇔cosx + 2cos2x + 3.sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0
⇔cosx(2cosx + 1)+ 3.sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0
Trang 10⇔(2cosx + 1)(cosx + 3.sinx –2.cos2x) = 0
Nếu: *) 2cosx + 1 = 0 ⇒ 2 2 ,
3
x = ± π + k π k Z ∈
**) cosx + 3.sinx –2.cos2x = 0 ⇔ 1cos 3sin cos 2
⇔ cos( ) cos2
3
k
x = − + π k π x = + π π k Z ∈
,
Nghiệm của pt là : 2 2 ,
3
x = ± π + k π k Z ∈
k
x = − + π k π x = + π π k Z ∈
Bài 19 Giải phương trình sin 3 cos3 4cos 2 3 1
2sin 1
x
ĐK: 2sin 1 0 sin 1
2
x+ ≠ ⇔ x≠ −
Phương trình
0 ) 2 cos )(sin
3 cos
4
(
0 ) cos 4 3 ( 2 ) cos 4 3 ( cos ) 3 cos
4
(
sin
0 ) cos 4 3 ( 2 ) cos 4 3 ( cos ) sin 4 1
(
sin
0 6 cos 8 cos 4 cos 3 sin 4
sin
0 2 sin 2 2 cos 4 3 cos 3
sin
2
2 2
2
2 2
2
2 3
3
=
−
−
−
⇔
=
− +
− +
−
⇔
=
− +
− +
−
⇔
= +
−
− +
−
⇔
= +
−
− +
⇔
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
(2 cos 2x 1 sin) ( x cosx 2) 0
♦ sinx – cosx – 2 = 0: phương trình vô nghiệm
♦ 2cos 2 1 0
6
hoặc x= − +π6 kπ
với k Z∈
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương: 2
6
x= +π k π hoặc 5
2 6
x= π +k π với
k Z∈
Bài 20 Giải phương trình: 2 3 sin 1 cos( ) 4 cos sin2 3
x
x
=
−
Trang 11Điều kiện: sin 1 6 , , (*)
5 2
6
≠ +
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3 0
2
x
2 3 sinx 2 3 sin cosx x 2cos 1 cosx x 3 0
2 3 sinx cosx 3sin x 2 3 sin cosx x cos x 0
3 sin cos 3 sin cos 2 0
3 sin cos 2
6
x− x= ⇔ x= ⇔ = +x π k k Zπ ∈
x− x= ⇔ x π − x π= ⇔ x−π =
2
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
x= π +k π x= π +k π k Z∈
Bài 21 Giải phương trình sin3x=cosx.cos2x(tan2x+tan2x)
2 4
2
k x
k x
+
≠
+
≠
π π
π π
Phương trình được viết lại: = + x
x x
x x
x x
2 cos
2 sin cos
sin 2 cos cos 3
2
Hay cosx.sin3x=sin2 x.cos2x+cos2 x.sin2x
0 ) cos 2 sin cos
sin 2 sin cos 4 cos
3
(
sin
2 sin cos ) 1 cos 2 ( sin ) sin 4 sin
3
(
cos
3 2
2
2 2
2 3
=
− +
−
−
+
−
=
−
x x
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x
Nên: sinx=0 (a)
Trang 12Hay:3cosx−4cosx.sin2x−2sinx.cos2x+sinx−2cos3 x=0 (b)
Giải (a) :sinx=0⇔x=kπ (thỏa mãn điều kiện (*)
Giải (b): Vì cosx≠0, chia hai vế cho cos3x, ta được phương trình
+
−
=
+
=
⇔
−
=
=
⇔
= +
−
−
π π
π π
n x
m x
x
x x
x
x
4
4 1
tan
1 tan 0
1 tan tan
tan3 2
lọai vì đk(*)
Kết luận : Phương trình có nghiệm :x=kπ
Bài 22 Giải phương trình: 3sinx−cosx+ −2 cos 2x−sin 2x=0.
Phương trình đã cho tương đương:
2 2
3sin 2sin cos cos 2 (1 2sin ) 0
2sin 3sin 1 cos (1 2sin ) 0
(sin 1)(2sin 1) cos (1 2sin ) 0
(2sin 1)(sin cos 1) 0
1
2 sin cos 1 0 (2)
x
⇔
2 6
7
2 6
k Z
= − +
4 2
( ) 3
2 2
x
x k
k Z
π
π
=
Kết luận: Các họ nghiệm của phương trình là:
x= − +π k π x= π +k π x k= π x= π +k π k Z∈
Trang 13Bài 23 Giải phương trình:2cos3x(2cos2x+1)=1 (1)
PT (1) ⇔ 2cos3x(3−4sin2 x)=1
Nhận xétx k= π(voi k Z∈ )không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
1 ) sin
4
3
(
3
cos
2 cos3 (3sinx x−4sin ) sinx = x
⇔ 2cos3xsin3x =sinx ⇔ sin6x sin= x
⇔ 66x x==πx+−m x2+πm2π ⇔
+
=
=
7
2 7
5 2
π π
π
m x
m x
với m∈Z
Xét khi =
5
2mπ
π
k ⇔2m = 5k ⇔m =5t, với t∈Z
Xét khi
7
2 7
π
π + m =kπ ⇔1+2m = 7k⇔k = 2(m-3k)+1
hay k = 2l+1 ⇒ m = 7l+3, l∈Z
Vậy phương trình có nghiệm:
5
2mπ
x= (với m 5≠ t);
7
2
7
π
x= + (với m≠7l+3) trong đó m t l Z, , ∈ .