LTĐH Chuyên đề: Hình Học Không Gian

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  chứa đường thẳng : 1... Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.. Trong không gian với

CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Không gian Oxyz gồm 3 trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc tại O, O là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy , ,

là trục tung và Oz là trục cao Ba véc tơ đơn vị , ,  i j k

của Ox Oy Oz , ,2/ Nếu aa i1a j2a k3

thì tọa độ của véc tơ a

là aa a a1, 2, 3

3/ Cho aa a a1, 2, 3

b/ Khoảng cách giữa 2 điểm , A B : AB x Bx A2y By A2z Bz A2

c/ Tọa độ trung điểm: M là trung điểm của

222

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

d/ Tọa độ trọng tâm : G là trọng tâm của tam giác

333

Bài 1 Cho các điểm A1, 2, 3 , B2, 2, 3 ,  C0, 4, 6  Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành Tìm

giao điểm của 2 đường chéo

Bài 2 Chứng minh rằng các điểm A3, 1, 2 ,  B1, 2, 1 ,  C1,1, 3  và D3, 5, 3  tạo thành một hình

thang

Bài 3 Cho tứ diện ABCD với A3, 1, 6 ,  B1, 7, 2 ,  C1, 3, 2  và D5,1, 6 Hãy tìm tọa độ trọng tâm

của tứ diện

Bài 4 Tìm M trên Oy biết rằng M cách đều hai điểm A1, 2, 1  và B  2, 0, 5

Bài 5 Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB với A0,1, 2 ,  B2,1, 3

Bài 6 Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD với A1, 0, 0 , B0,1, 0 , C0, 0,1 và

 2,1, 1

D  

BÀI 2 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

6/ Khoảng cách giữa 2 mạt phẳng song song

Là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên mp này đến mp kia

II BÀI TẬP

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của các đoạn thẳng

AB với A2,1, 3 , B  1, 0,1 Tìm giao điểm của (P) với các trục tọa độ

Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua các điểm

1, 0, 2 ,  2, 3,1

M N  và song song với trục Oz

Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 4;1 ,  B–1;1;3 và mặt phẳng

 P : – 3x y2 – 5z 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

(P)

Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

(2;1; 3), (1; 2;1)

A B  và song song với đường thẳng d:x  1 t y, 2 ,t z  3 2t

Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( )d và 1 (d2)có phương trình:

Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng

Bài 16 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2

– 2 4 2 – 3 0

x y z x y z  Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r  3

Bài 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1

Bài 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d lần lượt có phương trình 1, 2

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

d , sao cho khoảng cách từ d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ 1 d đến (P) 2

Bài 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm (0; 1; 2) A  , (1;0;3)

(x1) (y2) (z1)  2

Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2; 1;1) A  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

Bài 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình:

Bài 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

x  2 t y;  2 ;t z 2 2t Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Viết phương trình của mặt phẳng chứa  và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất

Bài 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

d     và điểm (2;5;3)A Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất

Bài 33 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1; 2) và N ( 1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểmK(0; 0; 2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất

Bài 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng (): 1

Bài 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; 2; 3), (2; 1; 6)  B   và mặt phẳng ( ) :P x2y   Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc  thoả z 3 0

với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc  450

Bài 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 1: 1 1 1

 

Bài 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và tạo

với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 45 , 30 0 0

Bài 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x2y   và đường thẳng z 5 0

x y    Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất z

Bài 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 t y,   2 t z, 2t Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất

Bài 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2

 và 2

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất

Bài 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 x    và điểm y z 2 0 A(1;1; 1)

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất

Bài 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P)

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

Bài 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM

cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng:

2

bc

b c  Từ đó, tìm

b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất

Bài 48 Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm , A(2; 2; 4) và mặt phẳng ( ) :P x    Viết y z 4 0phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ,

ABC có diện tích bằng 6

Bài 49 Trong không gian toạ độ Oxyz cho các điểm (3; 0; 0), (1; 2;1), A B Viết phương trình mặt phẳng (P)

qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9

2

Bài 50 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1), cắt

các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

Bài 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3), cắt

các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức 12 12 12

OA OB OC có giá trị nhỏ nhất

Bài 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5; 3), cắt

các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC  có giá trị nhỏ nhất

BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

Cho 2 đường thẳng d có vtcp a

và đường thẳng   có vtcp là b

Khi đó góc tạo bởi d và  được tính

bởi công thức : cos ,  .

a b d

Khi đó góc tạo bởi d và   được

tính bởi công thức : sind,  u n.

u n

 

 

 

7/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M có vtcp a

và điểm A Khi đó khoảng cách từ A đến d được tính bởi công

8/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau d đi qua M có vtcp a

,  đi qua N có vtcp b

Khi đó khoảng cách giữa d

và  được tính bởi công thức :  ,  ,

 P :x y  z 1 0 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng ( )P và

vuông góc với đường thẳng d

Bài 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x  ;t y  1 2t; 2

z  và mặt phẳng (P): t 2x y 2z  Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trên (P), 3 0

là trung điểm của đoạn thẳng MN

Bài 56 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng : 1 3

Bài 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng : 1 1



Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với 

Bài 58 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm

A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên

(P)

Bài 59 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng

 P : 6x2y3z   với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp 6 0

tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P)

Bài 60 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 2; 1), (2;1;1); (0;1; 2) B C và đường thẳng

 Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt

phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d

Bài 61 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình

 Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường

thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d

Bài 62 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 1

Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới  là nhỏ nhất

Bài 63 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

x y z

 và hai điểm (1; 2; 1),A (3; 1; 5)

B   Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất

Bài 64 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng

x y z

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng  tại điểm C sao cho

diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất

Bài 65 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 2

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( ) đồng thời  đi qua giao điểm của AB với ( )  và  vuông góc với AB

Bài 67 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có

phương trình: ( ) : 2 0, ( ) : 3 3 1 0, ( ) : 1 1

P x y z Q x y z  d     Lập phương trình đường

thẳng  nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d)

Bài 68 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 2; 1), (2;1;1), (0;1; 2) B C và đường thẳng

 Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong

mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d)

Bài 69 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y   , đường thẳng z 5 0

:

d      và điểm A ( 2;3; 4) Viết phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đi qua giao điểm

của d và (P), đồng thời vuông góc với d Tìm điểm M trên  sao cho khoảng cách AM ngắn nhất

Bài 70 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1) , đường thẳng : 2

  Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng () và cắt

(); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 6

đường thẳng d đi qua giao điểm của  với (1 ) đồng thời cắt  và vuông góc với trục Oy 2

Bài 75 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1:x 1 t y,  1 2 ,t z 1 2t, đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2 2 –x y– 1 0 và (Q): 2xy2 – 5z  Gọi I là giao điểm 0của d d Viết phương trình đường thẳng 1, 2 d qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng 3 d d lần 1, 2

lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I

Bài 76 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 – 3 x y11z và hai đường thẳng d10 :

x 

= 1

phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2)

Bài 78 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 – x y2 – 3z  và hai đường thẳng 0

thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt( ), (d1 d2) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Bài 81 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) :1 8 6 10

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682

(d 1 ), (d 2 )

Bài 83 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0)

Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt

phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD

Bài 84 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

d   Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Viết phương trình

đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2

Bài 85 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 (d1) : xt y,  4 t z,  6 2t và

(d2) : xt y', 3 ' 6,t  zt' 1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

Bài 86 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với:

 Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng

(P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d')

Bài 88 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x    và hai đường thẳng (d1y z 1 0 ):

Bài 89 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có

phương trình: 3x8y7z  Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d 1 0

vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P) ĐS: d: 2 1

(P): xy   z 1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng ( ) :1 1 1

 Gọi 2 là giao tuyến của (P) và (Q) Viết phương

trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng  , 1  2

Bài 93 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình

d      Viết phương trình đường thẳng

, biết  cắt ba đường thẳng d1, d2, d lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB3 BC

Bài 94 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x 2 4 ,t y 3 2 ,t z   và mặt 3 t

phẳng (P):  x y2z  Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách 5 0

  Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng  nằm trong (P),

vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến  bằng 3 2

Bài 96 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2xy2z 9  và đường thẳng 0

B Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất)