TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. GIẢI HỆ MẪU MỰC 1 Hệ đối xứng loại 1. a Dấu hiệu: Đổi chỗ x, y cho nhau thì từng phương trình của hệ không đổi. b Cách giải: Đặt , S x y P xy , đưa hệ đã cho về hệ theo , S P . Giải hệ này tìm , S P . Khi đó , x y là nghiệm của pt: 2 0 X SX P , ĐK: 2 4 0 S P . Lưu ý: 2 3 2 2 3 3 + 2 ; 3 . x y x y xy x y x y xy x y Có đôi khi phải đặt , u u x v v x và , S u v P uv . 2 Hệ đối xứng loại 2 a Dấu hiệu: Đổi chỗ , x y cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia của hệ. b Cách giải: Trừ vế với vế, đưa về pt chứa thừa số x y . Lưu ý: 2 2 3 3 2 2 ; . x y x y x y x y x y x xy y 3 Hệ đẳng cấp a Dấu hiệu: bậc các số hạng trong phương trình bằng nhau hoặc độ l ệch bậc 2 phương trình trong hệ bằng nhau. b Cách giải: Xét 0 x . Xét 0 x , đặt y kx . II. GIẢI HỆ KHÔNG MẪU MỰC a Biến đổi và đặt ẩn phụ: hệ có số hạng giống nhau (hoặc gần giống nhau thì làm cho giống luôn bằng HĐT, chia hoặc nhân 2 vế, …) rồi đặt ẩn phụ. b Cộng trừ các phương trình: Cộng hoặc trừ các phương trình (có thể hoặc chia với số khác 0 rồi mới cộng hoặc trừ) với nhau ta thu được một phương trình mới dễ giải hơn hoặc có lợi cho các bước sau. c Phương pháp thế: Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lai. Đôi khi ta thế cả một bi ểu thức chứa , x y từ phương trình này vào phương trình kia. d Phương pháp hàm số: Xét một phương trình của hệ đưa về dạng f u f v với f là hàm đơn điệu. III. BÀI TẬP Bài 1. Hệ đối xứng loại 1. 1 2 2 3 3 30 35 x y xy x y 19 2 2 3 3 3 280 x y x y x y TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 2 2 2 2 8 1 1 12 x y x y xy x y 3 2 2 2 9 4 6 x x x y x x y 4 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y 5 3 3 2 2 8 x y xy x y 6 3 3 19 8 2 x y x y xy 7 2 2 2 2 2 2 15 85 x y x y y x x y x y y x 8 2 2 2 2 2 2 1 18 1 208 x y xy xy x y x y x y 9 2 2 ( 1)( 1) 18 65 x y x y 10 13 6 5 x y y x x y 11 2 2 5 6 x y xy x y xy 12 3 3 3 3 17 5 x x y y x xy y 13 4 2 2 4 2 2 481 37 x x y y x xy y 14 2 2 4 4 ( ) 78 97 x y xy x y 20 2 2 4 4 2 2 7 21 x y xy x y x y 21 4 4 2 2 2 2 6 41 10 x y x y xy x y 22 2 2 12 1 1 36 x y x y x x y y 23 2 2 2 2 1 1 49 1 1 5 x y x y x y xy 24 3 2 2 12 6 x x y y xy xy 25 3 1 1 4 x y xy x y 26 2 2 2 8 2 4 x y xy x y 27 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 5 1 ( )(1 ) 9 x y xy x y x y 28 3 3 3 3 1 ( )(1 ) 4 1 ( )(1 ) 4 x y xy x y x y 29 2 2 8 ( 1)( 1) 12 x y x y xy x y 30 2 2 5 7 x y xy x y xy 31 2 2 2( ) 31 11 x xy y x y x xy y TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 3 15 4 4 2 2 17 3 x y x xy y 16 3 3 2 ( ) 2 x y x y xy 17 2 2 30 11 xy x y x xy y 18 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y 32 2 2 2 1 x y x y xy x y 33 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x x y y x x y y y 34 2 2 6 3 x xy y x y xy x y Bài 2. Hệ đối xứng loại 2 35 2 2 3x 2 3 2 x y y y x 36 2 2 2 2 2 2x 2 2 x y y y x y x 37 3 3 2x 2 x y y y x 38 3 3 2 2 x y x y x y 39 3 2010 3 3 2010 3 x y y y x x 40 2 2 2 3 2 3 x xy x y xy y 41 2 2 2 2 1 6 1 1 6 1 x y y x y x x y 42 3 3 2 2 7 7 2 x x y y x y x y 43 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x 46 1 3 2 1 3 2 x y x y x y 47 2 2 3 2 3 2 x y x y x y 48 2 2 2 2 2 3 2 3 x x y y y x 49 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x 50 3 4 3 4 y x y x x y x y 51 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 x x y y y x 52 2 2 2 2 x x y y y x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 4 44 3 3 3 8 3 8 x x y y y x 45 2 2 3 2 3 3 2 3 x x y y y x 53 3 3 1 2 1 2 x y y x 54 3 1 1 2 1 x y x y y x Bài 3. Hệ đẳng cấp 55 2 2 2 2 3x 1 3 x 3 13 x y y x y y 56 2 2 2 3x 4 4x 1 y y x y y 57 2 2 2 2 3 8x 4 0 5 7x 6 0 x y y x y y 58 3 3 2 2 7 2 3 16 x y x y xy 59 2 2 2 2 ( )( ) 9 ( )( ) 5 x y x y x y x y 60 2 2 2 2 ( )( ) 3 ( )( ) 15 x y x y x y x y 61 2 2 2 2 2 ( ) 3x ( ) 10 y x y x x y y 62 3 3 2 4 4 1 4 4 x y xy x y x y 63 2 2 2 2 3 15 x y x y x y x y 64 2 2 2 2 2 3 10 y x y x x x y y 65 2 2 2 2 3 1 2 2 1 x xy y x xy y 66 2 2 2 2 2 1 3 3 2 x x y y y x xy y x y 67 3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y 68 2 2 2 3 2 16 3 2 8 x xy x xy y 69 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0 x xy y x xy y 70 3 2 3 3 2 0 3 2 0 x x y y x y y 71 3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y 72 3 3 2 2 2 3 4 5 1 3 4 3 2 x y y x y x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 5 Bài 4. Cộng trừ các phương trình 73 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y 74 3 3 2 2 91 4 3 16 9 x y x y x y 75 3 2 2 2 3 49 8 8 17 x xy x xy y y x 76 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x y xy y x xy y x y 77 2 2 2 3 2 7 5 9 0 x xy y x xy x y 78 4 4 3 3 2 2 240 2 3 4 4 8 x y x y x y x y 79 2 2 2 1 5 57 4 3 3 1 25 x y x x y x 80 2 2 2 2 2 3 0 3 1 0 x xy y x xy y y 81 2 3 2 2 6 2 35 0 5 2 5 13 0 x y y x y xy x y 82 3 3 2 2 9 2 4 x y x y x y Bài 5. Biến đổi và đặt ẩn phụ 83 3 2 2 3 2 2 4 6 x xy x y y x y x xy y 84 2 4 2 2 2 3 0 3 5 0 x xy x y x x y x y 85 2 2 2 2 3 x y xy x y x y 86 2 2 2 2 6 1 7 x x y x xy y 87 3 3 2 2 9 3 1 125 45 75 6 y x x y x y 88 3 3 2 2 3 1 1 1 1 4 1 4 x x y y x y x y xy y 101 2 2 1 4 1 2 x y x y y x x y y 102 2 1 3 3 2 1 8 x x y y xy y y 103 2 2 2 1 3 2 10 1 2 5 x y xy x y x x y 104 3 3 2 2 2 45 3 4 4 4 3 2 x y y x y xy x y xy 105 2 1 6 2 2 1 2 1 29 x y x x y x y y TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 6 89 3 2 3 55 64 3 3 12 51 x y xy y y x 90 3 3 2 3 1 2 3 x y x y 91 2 4 2 2 2 2 2 1 6 2 2 1 12 1 x y y x y x y y x y 92 3 6 6 2 6 1 2 3 1 4 5 y x y x x y x 93 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 2 7 xy x y x y x y xy 94 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y 95 2 2 2 2 2 3 0 1 2 3 1 0 21 x y y x y x y y y x 96 4 4 3 2 2 2 2 3 x x y y x y 97 2 2 2 2 3 2 4 2 7 2 2 3 6 x y y xy x y y xy 98 2 2 4 2 2 2 4 3 x y x y y x x y x y 99 4 2 2 2 2 4 6 9 0 2 22 0 x x y y x y x y 100 2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 xy x y x y x x y 106 2 4 2 2 2 3 0 3 5 0 x xy x y x x y x y 107 2 3 2 2 6 1 0 9 0 y x xy y y x y x y x 108 2 2 2 2 2 3 3 4 1 0 1 4 0 x x y y y xy x y x y 109 2 2 2 2 6 0 4 1 3 0 x y x y x y 110 2 2 2 1 4 2 1 x y xy y y x y x 111 2 2 2 2 2 19 7 x xy y x y x xy y x y 112 2 2 2 5 8 4 13 1 2 1 x y xy x y x x y 113 2 2 2 2 1 4 2 7 2 x y xy y y x y x y 114 3 3 3 2 2 9 6 y x x x y y x 115 3 3 2 2 1 1 2 1 1 2 x y x y x x y 116 2 3 2 4 2 5 4 5 1 2 4 x y x y xy xy x y xy x 117 2 2 3 6 1 2( ) 1 x y x y x y y TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 7 Bài 6. Phương pháp thế 118 2 2 2 1 7 2 4 1 7 3 x y x y x x y x x y 119 2 3 2 2 2 7 7 4 3 8 4 8 x y x y x y x x y y x 120 2 4 2 2 2 2 2 1 6 2 2 1 12 1 x y y x y x y y x y 121 2 2 2 1 0 2 2 1 0 y xy x y x y 122 2 2 2 7 1 10 1 xy x y x y y 123 2 2 2 16 4 32 x xy x y x y xy 124 2 2 2 2 1 6 1 4 20 2 1 2 x x y y x y 125 3 2 2 2 2 5 2 4 x xy x xy y x y 126 3 2 2 (2 ) (2 3 ) 5( 1) 3 1 3 14 14 x y x y x y y x x 127 (3 7 1) 2 ( 10 2 4 5 x x y y y x y x y 128 2 2 2 3 ( ) 1 (8 3 2) 3 4 2 3 ( 4) x x y y y xy x y y x 129 3 2 8 2 8 1 1 x y xy x y xy x y x y 130 3 2 2 2 2 0 2 2 0 xy x x x y x y xy y 131 2 2 3 2 2 2 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y 132 2 2 2 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y 133 2 2 2 13 3 1 4 1 5 4 y x y y x xy Bài 7. Phương pháp hàm số 134 2 2 6 5 7 3 2 0 ln 2 ln 2 3 x y xy x y x y x y 135 2 2 2 2 7 2 1 2 1 2 7 6 14 0 x y xy x y xy x y 144 2 2 2 2 2 2 2 4 9.3 4 9 .7 4 4 4 2 2 4 x y x y y x x x y x 145 3 2 3 2 2 1 log log 2012 1 2 y x x x y y x y x y x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 8 136 3 2 3 2 4 3 7 6 7 x xy y y x y 137 2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x 138 3 3 3 1 2 1 3 1 2 1 x x x y y y y x 139 2 2 1 2 1 1 3 2 x y y x x x y x y 140 2 2 4 2 2 4 3 3 2012 2 2 5 1 4024 x y y x x x y x x 141 3 2 2 2 2 2 4 1 2 1 6 2 2 4 1 1 x y x x x y y x x 142 3 3 2 log 8 2 1 1 1 1 0 x x x y y y x y 143 2 3 4 4 2 3 4 4 x y y x 146 2 2 2 1 1 1 6 2 1 4 6 1 x x y y x x x xy x 147 2 2 2 3 4 6 5 2 3 4 1 6 x y y x x y x y 148 2 2 2 2 log 4 log 4 2 4 10 2 2 1 x x y y xy x y x y 149 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 14 2 x y x y xy x y y x 150 2 2 2 2 121 2 27 9 3 4 4 0 x x x x y xy x y 151 2 2 2 2 2 5 3 4 3 3 1 0 x x x y y x y x y 152 2 1 2 1 2x 2 3 1 2x 2 3 1 y y x x x x Bài 8. Các bài toán có tham số 153 Tìm m để hệ sau có nghiệm 3 2 2 2 2 1 2 x y x xy m x x y m 154 Tìm m để hệ sau có nghiệm 1 1 3 x y x x y y m 155 Tìm m để hệ sau có nghiệm TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 9 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y
Trang 1Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I GIẢI HỆ MẪU MỰC
1/ Hệ đối xứng loại 1
a/ Dấu hiệu: Đổi chỗ x, y cho nhau thì từng phương trình của hệ không đổi
b/ Cách giải: Đặt S x y P, xy, đưa hệ đã cho về hệ theo S P Giải hệ này tìm ,, S P Khi đó
,
x y là nghiệm của pt: X2SX P , ĐK: 0 S2- 4 0P
+ x y xy 2xy x; y xy 3xy xy
Có đôi khi phải đặt uu x v , v x và S u v P, uv
2/ Hệ đối xứng loại 2
a/ Dấu hiệu: Đổi chỗ x y, cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia của hệ
b/ Cách giải: Trừ vế với vế, đưa về pt chứa thừa số xy
x y xy xy x y xy x xyy
3/ Hệ đẳng cấp
a/ Dấu hiệu: bậc các số hạng trong phương trình bằng nhau hoặc độ lệch bậc 2 phương trình trong hệ
bằng nhau
b/ Cách giải: Xét x 0 Xét x 0, đặt ykx
II GIẢI HỆ KHÔNG MẪU MỰC
a/ Biến đổi và đặt ẩn phụ: hệ có số hạng giống nhau (hoặc gần giống nhau thì làm cho giống luôn bằng HĐT, chia hoặc nhân 2 vế, …) rồi đặt ẩn phụ
b/ Cộng trừ các phương trình: Cộng hoặc trừ các phương trình (có thể hoặc chia với số khác 0 rồi
mới cộng hoặc trừ) với nhau ta thu được một phương trình mới dễ giải hơn hoặc có lợi cho các bước sau
c/ Phương pháp thế: Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lai Đôi khi ta thế cả một biểu thức chứa x y, từ phương trình này vào phương trình kia
d/ Phương pháp hàm số: Xét một phương trình của hệ đưa về dạng f u f v với f là hàm đơn
điệu
III BÀI TẬP
Bài 1 Hệ đối xứng loại 1
1/
3 3
30 35
x y xy
x y
19/
2 2 3 3
3
280
x y
Trang 2Trang 2
2/
2 2
8
x y x y
xy x y
2
x x y
4/
2 2
4
4
x y
x y
x y
x y
8
6/
3 3
19
x y
x y xy
7/
2 2
15
85
x y
x y
y x
x y
x y
y x
9/
2 2
( 1)( 1) 18
65
10/
13 6 5
x y
y x
x y
6
12/
3 3 3 3
17 5
13/
4 2 2 4
481 37
x x y y
x xy y
14/
2 2
4 4
97
x y xy
x y
20/
2 2
4 4 2 2
7 21
x y xy
x y x y
21/
2 2
10
22/
2 2
12
x y x y
x x y y
23/
2 2
2 2
1
1
x y
x y
x y
xy
24/
2
12
6
xy xy
26/
2 2
4
x y
27/
2 2
2 2
1
1
x y
xy
x y
x y
28/
3 3
3 3
1
1
x y
xy
x y
x y
29/
2 2
8 ( 1)( 1) 12
7
31/
11
Trang 3Trang 3
15/
4 4
17 3
x y
x xy y
16/
3 3
2
17/
2 2
30 11
18/
2 2
1 2
x y x y
32/
2 2
2 1
33/
4
34/
6 3
Bài 2 Hệ đối xứng loại 2
35/
2
2
3x 2
36/
37/
3
3
2x 2
38/
3
3
2 2
39/
3 2010 3
3 2010 3
40/
2 2
x xy x
y xy y
42/
2 2
2
x y x y
43/
46/
2
2
x
y x y
x y
47/
2 2
3 2
3 2
x
y
48/
2 2 2 2
2 3
2 3
x x y y y x
49/
x x y
50/
y
x x
y
51/
52/
2 2
2 2
Trang 4Trang 4
44/
3
3
45/
2 2
53/
3 3
1 2
1 2
54/
3
Bài 3 Hệ đẳng cấp
55/
56/
2
57/
58/
3 3
7
x y
x y xy
59/
2 2
2 2
x y x y
x y x y
60/
2 2
2 2
x y x y
x y x y
61/
2 2
2 2
y x y
62/
4 4
1
x y xy
2 2
2 2
3 15
x y x y
x y x y
2 2
2 2
10
65/
x xy y
x xy y
67/
68/
2
x xy
x xy y
69/
x xy y
70/
3
x x y y
71/
72/
Trang 5Trang 5
Bài 4 Cộng trừ các phương trình
73/
3 3
35
x y
74/
3 3
91
x y
75/
x xy
76/
77/
2
3
x xy y
78/
4 4
240
79/
2 2 2
1 5 57
25
x y
80/
2
xy y y
81/
2 2
82/
3 3
9
x y
Bài 5 Biến đổi và đặt ẩn phụ
83/
4 6
84/
2
x xy x y
x x y x y
85/
2 2
2 2
3
x y xy x y
x y
86/
2
7
x xy y
87/ 3 3
1 1
1 4
y y
x y x y xy y
2 2
102/
2
1
3 3
y
103/
2 2
2
1
1
x
2
45
4
105/
2
1 6
x y
Trang 6Trang 6
3
2
3
3
x y
2
6 2 6
3
7
xy
x y
x y
94/
2 2
2 2
12 12
y x y
95/
2 2 2
1
21
x y y x y
x y
y y x
96/
3
2 2
3
x y
97/
x y x y y
99/
x y x y
100/
2 2
2
3
1
x
106/
2
x xy x y
107/
2
y x xy y
y x y x y x
109/
2 2
2
2
6 0
4
x y
x y
x y
110/
2
2
1
y
x y
x
2
19 7
112/
2 2
2
5
1
x
113/
2 2
1 4
9 6
2
2
116/
4 2
5 4 5
1 2
4
x y x y xy xy
117/
2 2
x y x y
x y y
Trang 7Trang 7
Bài 6 Phương pháp thế
2
2 2
2
121/
2
2 2
1 0
y xy
123/
2
x xy x y
x y xy
2 2
125/
x xy
x xy y x y
126/
2
128/
129/
2
x y
x y
2
2 2
2
132/
2
xy x y x y
133/
2
Bài 7 Phương pháp hàm số
134/
2 2
3
x y
2 2
7
2
x y xy x y
x
145/
x
Trang 8Trang 8
136/
y x y
2 2
138/
3 3
142/
2
x
y
2
147/
2 2
149/
150/
2 2
121
9
x
x y xy x y
151/
2 2
152/
y y
x x
x x
Bài 8 Các bài toán có tham số
153/ Tìm m để hệ sau có nghiệm
2
1 2
154/ Tìm m để hệ sau có nghiệm
1
1 3
155/ Tìm m để hệ sau có nghiệm
Trang 9Trang 9
5