Tiết 45 - Phương trình tích

?1: Hãy nhớ lại một số tính chất của phép nhân các số, phát biểu tiếp các khẳng định sau: + Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì.. + Ng ợc lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất có mộ

82

Ph©n tÝch ®a thøc :P(x)=( x – 1 ) +( x + 1)( x-2) thµnh nh©n tö

§¸p ¸n:

( ) ( 1)( 1) ( 1)( 2)

2

Muốn giải phương trình P(x) = 0 ,

Tức giải phương trình : ( x2 – 1) + ( x +1)( x – 2) = 0 (1)

ta có thể sử dụng kết quả phân tích :

= (2x – 3)(x + 1)

2

( ) ( 1) ( 1)( 2)

P x = x − + + x x −

để chuyển từ việc giải pt (1) thành giải pt:

(2x – 3)(x + 1) = 0 (2)

=> Phương trình (2) là một ví dụ về phương trình tích

(Trong bài này ta chỉ xét các pt mà 2 vế là 2 biểu thức hữu tỉ của ẩn

và không chứa ẩn ở mẫu)

?1: Hãy nhớ lại một số tính chất của phép nhân các số,

phát biểu tiếp các khẳng định sau:

+ Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì

+ Ng ợc lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất có một trong các thừa

số của tích .

tích bằng 0 bằng 0.

ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

Tính chất nêu trên ta có thể viết:

1 Ph ơng trình tích và cách giải:

Ví dụ 1:

Giải ph ơng trình: (2x – 3)(x + 1) = 0 (1)

⇔

⇔

⇔

2x – 3 = 0 (2) hoặc x + 1 = 0 (3) Giải ph ơng trình (2):

x = -1

x = 1,5

Tập nghiệm ph ơng trình (1) là: S = 1,5; -1

Ph ơng trình (1) có hai nghiệm: x = 1,5 và x = -1

Ph ơng trình (2x-3)(x+1) = 0 khi nào ?

Ph ơng trình (1) có mấy nghiệm ?

Từ ph ơng trình (1) nếu đặt (2x

- 3) = A(x) và (x + 1) = B(x) thì ph

ơng trình (1) có dạng nh thế nào ?

2x – 3 = 0 2x = 3

⇔

Giải ph ơng trình (3): x + 1 = 0 Có dạng: A(x).B(x) = 0

Ph ơng trình tích – Luyện tập

1 Ph ơng trình tích và cách giải:

A(x) B(x) = 0

Ph ơng trình tích có dạng:

Cách giải:

A(x) B(x) = 0 (1) ⇔ A(x) = 0 (2) hoặc B(x) = 0

(3) Giải A(x) = 0 (2)

Giải B(x) = 0 (3)

Kết luận: Nghiệm của ph ơng trình (1) là tất cả

các nghiệm của hai ph ơng trình (2) và (3).

2 áp dụng:

Ví dụ 2 Giải ph ơng trình:

(x + 1)(x + 4) = (2 - x)(2 + x)

Giải:

(x + 1)(x + 4) = (2 - x)(2 + x) ⇔ (x + 1)(x + 4) - (2 - x)(2 + x)= 0 ⇔ x 2 + x + 4x + 4 - (2 2 - x 2 ) = 0 ⇔ x 2 + x + 4x + 4 - 2 2 + x 2 = 0

⇔ 2x 2 + 5x = 0

⇔ x(2x + 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0 1) x = 0

2) 2x + 5 = 0 ⇔ 2x = - 5 ⇔ x = - 2,5

Vậy tập nghiệm của ph ơng trình

đã cho là S = { 0 ; - 2,5 }

(x + 1)(x + 4) = (2 - x)(2 + x)

⇔ (x + 1)(x + 4) - (2 - x)(2 + x)= 0

⇔ x 2 + x + 4x + 4 - (2 2 - x 2 ) = 0

⇔ x 2 + x + 4x + 4 - 2 2 + x 2 = 0

⇔ 2x 2 + 5x = 0

⇔ x(2x + 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

1) x = 0

2) 2x + 5 = 0 ⇔ 2x = - 5

⇔ x = - 2,5

Vậy tập nghiệm của ph ơng trình

đã cho là S = { 0 ; - 2,5 }

Ví dụ 2 Giải ph ơng trình:

Trong ví dụ 2 ta đã thực hiện những

b ớc giải nào?

B ớc 1: Đ a ph ơng trình đã cho về dạng

ph ơng trình tích

B ớc 2: Giải ph ơng trình tích rồi kết luận

Ph ơng trình tích – Luyện tập

1 Ph ơng trình tích và cách giải:

A(x) B(x) = 0

Ph ơng trình tích có dạng:

Cách giải:

A(x) B(x) = 0 (1) ⇔ A(x) = 0 (2) hoặc B(x) =

0(3) Giải A(x) = 0 (2)

Giải B(x) = 0 (3)

Kết luận: Nghiệm của ph ơng trình (1) là tất cả

các nghiệm của hai ph ơng trình (2) và (3).

2 áp dụng:

Ví dụ 3: Giải ph ơng trình 2x 3 = x 2 + 2x - 1

Giải: 2x3 = x2 + 2x – 1

⇔ 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0

⇔ (2x3 – 2x) – (x2 – 1) = 0

⇔ 2x(x2 – 1) – (x2 – 1) = 0

⇔ (x2 – 1)(2x – 1) = 0

⇔ (x + 1)(x – 1)(2x – 1) = 0 (*) trình (*) ? Em có nhận xét gì vế trái của ph ơng

(*) ⇔ x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

1) x + 1 = 0 ⇔ x = -1 2) x – 1 = 0 ⇔ x = 1 3) 2x – 1 = 0 ⇔ x = 0,5 Vậy tập nghiệm của ph ơng trình đã cho là: S = {-1 ; 1 ; 0,5 }

B1.

B2.

*L u ý: Tr êng hîp vÕ tr¸i lµ tÝch cña nhiÒu h¬n hai nh©n tö.

VD: Gi¶i ph ¬ng tr×nh A(x) B(x) C(x) = 0 (*)

⇔A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 hoÆc C(x) = 0

Gi¶i A(x) = 0 (2) Gi¶i B(x) = 0 (3) Gi¶i C(x) = 0 (4)

1 Ph ¬ng tr×nh tÝch vµ c¸ch gi¶i:

A(x) B(x) = 0

Ph ¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng:

C¸ch gi¶i:

A(x) B(x) = 0 (1) ⇔ A(x) = 0 (2) hoÆc B(x) =

0(3) Gi¶i A(x) = 0 (2)

Gi¶i B(x) = 0 (3)

KÕt luËn: NghiÖm cña ph ¬ng tr×nh (1) lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hai ph ¬ng tr×nh (2) vµ (3)

2 ¸p dông:

KÕt luËn: NghiÖm cña ph ¬ng tr×nh (*) lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ba ph ¬ng tr×nh (2) ; (3) vµ (4).

Ph ơng trình tích – Luyện tập

Bạn Hoa giải ph ơng trình x(x + 2) = x(3 – x) nh trên hình vẽ.

x(x + 2) = x(3 – x)

⇔ x + 2 = 3 – x

⇔ x + 2 – 3 + x = 0

⇔ 2x = 1

⇔ x = 0,5 Vậy tập nghiệm của

ph ơng trình là S = { 0,5 }

Theo em bạn Hoa giải đúng hay sai ?

Em sẽ giải ph ơng trình đó nh thế nào ?

- B ạ n Hoa gi i t ả hi u nghi m x = 0 ế ệ

-Hay taọp nghieọm S= { 0; 0,5}

Ruựt goùn x

x(x + 2) = x(3 – x)

x(x + 2) - x(3 – x) = 0

x(x + 2 – 3 + x) = 0

x(2x - 1) = 0

⇔

⇔

⇔

x = 0 hoặc 2x – 1 = 0

x = 0 hoặc x = 0,5

Giải:

* Chú ý: Khi giải ph ơng trình chúng ta không chia hai vế của ph ơng trình cho biểu thức chứa ẩn khi ch a biết chúng khác không hay ch a.

Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau

LuyÖn TËp

a) ( 4x + 2 )( x 2 + 1 ) = 0

⇔ 4x + 2 = 0 hoặc x 2 + 1 = 0

1) 4x + 2 = 0 ⇔ x = - 0,5

2) x 2 + 1 = 0 (vô nghiệm)

Phương trình có tập nghiệm S = { - 0,5 }

b) ( x 3 + x 2 ) +( x 2 + x ) = 0

⇔ x 2 ( x + 1) + x ( x + 1) = 0

⇔ ( x + 1)( x 2 + x) = 0

⇔ x( x + 1) 2 = 0

⇔ ( x + 1)( x + 1) x = 0

Ph ươ ng trình c ã t p nghi m S = {0 ;-1 ậ ệ }

⇔

1) x=0 2) (x+1)2=0 x=-1

Ph ¬ng tr×nh tÝch – LuyƯn tËp

*Chú ý: Khi giải phương trình, sau khi biến đổi :

- Nếu số mũ của ẩn x là 1 thì đưa phương trình về dạng ax + b = 0

- Nếu số mũ của ẩn x lớn hơn 1 thì đưa phương trình về dạng pt tích :

A(x)B(x)=0 ( Nếu vế trái là tích của nhiều hơn 2 nhân tử, cách giải tương tự )

1 Nắm vững khái niệm phương trình tích và các bước giải.

Chuẩn bị trước các bài tập ở phần luyện tập

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:

2 Về nhà làm các bài tập : bài 21, bài 22 trang 17

Xin cám ơn các thầy cô đã về dự giờ

thăm lớp Cám ơn các em đã nổ lực nhiều trong

tiết học hôm nay