Tiết 39: Phương trình tổng quát một mặt phẳng

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?a.. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng α đi qua điểm M0 và vuông góc với đ ờng thẳng d cho tr ớc.. Có vô số đ ờng thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng cho tr

Sở giáo dục và đào tạo hải phòng

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a Tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 và

vuông góc với đ ờng thẳng d cho tr ớc

b Có vô số đ ờng thẳng cùng vuông góc với một mặt

phẳng cho tr ớc

d Nếu [ AB, AC ] 0 thì A,B,C không thẳng hàng≠ 0 thì A,B,C không thẳng hàng .

c Nếu [ a, b ] = 0 thì a, b không cùng ph ơng

a §Þnh nghÜa: VÐct¬ n 0 ® îc gäi lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ≠ 0 th× A,B,C kh«ng th¼ng hµngph¼ng ( ) nÕu nã n»m trªn ® êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng α( ) α (Gäi t¾t lµ vÐct¬ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( ) ) α) ).

C©u hái : Mét mÆt ph¼ng cã bao nhiªu vÐct¬ ph¸p tuyÕn? V× sao?

α



n

Nhận xét 1 : Nếu là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) thì αvéctơ k (k ≠ 0) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).α



n

Tiết 39 : phươngưtrìnhưtổngưquátưcủaưmặtưphẳng

chỉ biết một véctơ pháp tuyến n của nó?

Nhận xét 2: Một mặt phẳng ( ) hoàn toàn đ ợc xác định khi biếtα

một điểm thuộc nó và một véctơ pháp tuyến của nó.n

α

M0

#

n

Tiết 39 : phươngưtrìnhưtổngưquátưcủaưmặtưphẳng

b Chú ý:

+ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không cùng ph ơng các đ ờng thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì cũng là một véctơ pháp tuyến α

trên mặt phẳng ( ) thì cũng là một véctơ pháp tuyến α

của mặt phẳng ( ), khi đó hai véctơ a và b đ ợc gọi là cặp véctơ chỉ ph α

của mặt phẳng ( ), khi đó hai véctơ a và b đ ợc gọi là cặp véctơ chỉ ph α

ơng của mặt phẳng ( ).α

ơng của mặt phẳng ( ).α

] b , a [





] b , a [

+ NÕu trong mÆt ph¼ng ( ) cho ba ®iÓm M α 1 , M 2 vµ M 3 kh«ng th¼ng hµng th× hai vÐct¬ M 1 M 2 vµ M 1 M 3 lµ cÆp vÐct¬ chØ ph ¬ng cña mÆt ph¼ng ( ) vµ = [M α 1 M 2 , M 1 M 3 ] lµ mét vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng ( ) α

VÝ dô: Trong kh«ng gian víi hÖ trôc

oxyz Cho c¸c vÐct¬ sau:

H·y chØ ra c¸c vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng Oxy

MÆt ph¼ng Oxy cã c¸c vÐct¬ ph¸p tuyÕn cÇn t×m lµ:

= (0 ; 0 ; 1) = (0 ; 0 ; 5)

i

Cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm Mα 0 = (xo; yo; zo) và có véctơ pháp tuyến

n = (A; B ; C) Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M = (x; y ; z) thuộc mặt phẳng ( ) α

 x + 3y + z = 0

VÝ dô: ViÕt ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (α) ®i qua ®iÓm

M(2; 1;-5) vµ song song víi mÆt ph¼ng (β): x + 3y + z - 5 = 0

Gi¶i

VËy ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (α) lµ

(α): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = 0) = 0

MÆt ph¼ng (β) : x +3y +z – 5 = 0 =>n =(1; 3; 1) lµ métVTPT cña (β)

a D = 0 thì ph ơng trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = 0

là ph ơng trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ

b Nếu A = 0, B 0, C 0 thì ph ơng trình mặt phẳng có dạng: ≠ 0 thì A,B,C không thẳng hàng ≠ 0 thì A,B,C không thẳng hàng

By + Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.

3 Các tr ờng hợp riêng của ph ơng trình tổng quát.

y

x

z

0i

jk

α

c NÕu A = 0, B = 0, C 0 th× ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cã d¹ng Cz ≠ 0 th× A,B,C kh«ng th¼ng hµng+ D = 0 lµ mÆt ph¼ng song song hoÆc trïng víi mÆt ph¼ng Oxy.

α

C

DB

DA

z b

y a

k

j i

α

z

y 0

x

#

#

#

Vi dô 1:

Trong kh«ng gian víi hÖ trôc 0xyz cho 3 ®iÓm A (1;2;3), B (-1; 0; 2),

C (3; 2; 5) LËp ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua 3 ®iÓm A, B, C

Gi¶i:

Ta cã AB = (-2;-2;-1)

AC = (2; 0; 2)[AB, AC] = (-4; 2; 4)VËy: MÆt ph¼ng (α) nhËn n = (-4; 2; 4) lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn:

=> ph ¬ng tr×nh (α):

4(x-1) – 2(y -2) – 4(z - 3) = 0

 2x – y – 2z + 6 = 0.

VÝ dô 2:

Trong kh«ng gian víi hÖ trôc 0xyz cho 2 ®iÓm M = (2;-1;1), N (4;3;1).

LËp ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc (α) cña ®o¹n th¼ng MN.

Gi¶i:

Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN => I = (3; 1; 1) ta cã mÆt ph¼ng (α)

®i qua ®iÓm I vµ nhËn vÐct¬

Tổng kết:

- Dựa vào cặp véctơ chỉ ph ơng a, b => n = [ a, b]

- Dựa vào mối liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc

1 Nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có véttơ pháp tuyến n = (A; B; C) thì có ph ơng trình là:

A (x- x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z –z 0 ) = 0

2.Cách xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Bài tập về nhà: 2, 3, 5) = 0, 8: (SGK/ 82-83).

C¸c thÇy c« gi¸o

vµ c¸c em häc sinh.