VECTO TRONG KHÔNG GIAN.

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:a Định nghĩa: Vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn như vectơ trong mặt phẳng.. b Tính chất và các phép toán: Các tính chất và các phép toán của vectơ t

1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

a) Định nghĩa:

Vectơ trong không gian được định

nghĩa hoàn toàn như vectơ trong mặt phẳng

b) Tính chất và các phép toán:

Các tính chất và các phép toán

của vectơ trong không gian

tương tự như trong mặt phẳng

Hoạt động 1: SGK trang 84

GT

KL

CMR ACuuuur uuur uuur uuur= AB AD AA+ +

b AB B Cuuur uuuuur uuuuur uuur uuuuur uuuur uuuur+ + D D AD D C= + + B B = A C

' ' ' '

ABCD A B C D

Hình hộp a) Chỉ ra các vectơ bằng nhau khác vectơ không

' ' ' ' ' ' ' '

AB DC A B D C

AD BC A D B C

AA BB CC DD

= = =

= = =

= = =

uuur uuur uuuuur uuuuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuuur

a) Các vectơ bằng nhau khác vectơ không:

VP AC AA= uuur uuur uuur uuuur uuuur+ = AC CC+ = AC = VT

Ta có:

AC = AB AD AA + +

uuuur uuur uuur uuurDo đó:

(Đpcm) Công thức (1) được gọi là công thức hình hộp.

KL uuur uuur uuurAB AC AD+ + = 4uuurAG

ABCD

Cho tứ diện

G là trọng tâm

M, N, H, K, I, J lần lượt

là trung điểm của các

cạnh AB, CD, BC, AD,

AC,BD.

Hoạt động 2: SGK trang 85

2 (1)

2 (2)

AB AC AH

AD AK

=

uuur uuur uuur uuur uuur

Ta có:

2

AH AK+ = AG

uuur uuur uuur

nên ta có:

4

AB AC AD+ + = AG

uuur uuur uuur uuur Vậy

Giải:

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:

2

uuur uuur uuur uuur uuur

Ví dụ 1:

GT

KL

lần lượt là trung điểm

ABCD

,

M N

Tứ diện

,

AB CD

1)

MN = AC BD+ = AD BC+

uuuur uuur uuur uuur uuur

0

1 4

uuur uuur uuur uuur uuur

2) G là trọng tâm tứ diện khi và chỉ khi:

hoặc

1) Theo quy tắc 3 điểm,

(4)

uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

2MN MA MB AD

BC DN CN

uuuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

0,

MA MB+ =

uuur uuur r

0

CNuuur uuur+ DN = r

Vì

2

MN = AD BC+

uuuur uuur uuur

Chứng minh tương tự, ta được:

1 2

MN = AC BD+

uuuur uuur uuur

Từ (3) và (4) ta có:

2 (5),

2 (6)

GA GB GM

GC GD GN

+ = + =

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

GM GNuuuur uuur r+ = hay GM GNuuuur uuur+ = r

G là trọng tâm của tứ diện

ABCD khi và chỉ khi:

Điều này tương đương với

0

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + = (đpcm)

2) a) Ta có:

Cộng (5) và (6) vế

theo vế, ta được:

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + = GM GNuuuur uuur+

G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và

chỉ khi:

0

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =

Khi đó, với điểm P bất kì, ta có:

0 1

4

PA PG PB PG PC PG PD PG

− + − + − + − =

⇔ = + + +

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

uuur uuur uuur uuur uuur

2) b)

Ví dụ 2:

GT

KL

AB c CD c AC b

BD b BC a AD a

:

ABCD

Tứ diện

( BC DAuuur uuur, ) = ?

Giải:

,

.

BC DA cos BC DA

BC DA

=

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

Ta có:

Mặt khác, ta lại có:

BC DA BC DC CA= + = CB CD CB CA−

uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur

Theo định lý cosin, ta có:

CB CD CB CD cos CB CD

CB CA CB CA cos CB CA

=

=

uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur

BD CB CD CB CD cos CB CD

AB CB CA CB CA cos CB CA

= + −

= + −

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Trong đó:

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

1

2 1

2

uuuruuur uuuruuur

1

2

BC DA = AB + CD − BD − CA

uuur uuur

,

cos BC DA

aa

=

uuur uuur

Vậy:

được xác định bởi:

Từ đó góc ( BC DAuuur uuur , )

1)Phép cộng vectơ:

AB BC+ =

uuur uuur

?

AC

uuur b) Quy tắc hình bình hành:

AB AD+ =

uuur uuur

?

AC

uuur a) Quy tắc 3 điểm:

2) Phép trừ vectơ:

uuur uuur

?

CBuuur

4) Tính chất trọng tâm của tam giác:

Cho G là trọng tâm tam giác ABC

GA GB GC uuur uuur uuur + + = ?0r

3) Tính chất trung điểm của đoạn thẳng:

Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

MA MB + =

uuur uuur

?0 r