Chuyên đề hàm số tổng hợp

Bài toán 1 : Lập phơng trình tiếp tuyến với dồ thị của hàm sốDạng 1: Lập phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm Mx 0 ;y 0 thuộc đồ thị C.. Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục h

Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

& vẽ đồ thị của hàm số -@@@@ - Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số

1) PT (*) có hai nghiệm trái dấu x1< 0 < x2  P0

2) PT (*) có hai ngiệm cùng dấu

g g g

S P

có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn  x1x2

g g g

S P

x mx y

x



 đồng biến trên khoảng 1;Gợi ý: TXĐ : D \ 1 

g(t) = t2 – Toán Tin – Tr m có hai nghiệm không dơng.

 Chọ hàm số f(x) thích hợp (thông thờng đặt bằng hiệu hai vế)

 Xét tính đơn điệu của f(x) để suy ra BĐT phải chứng minh

Đặt f(x) = x – Toán Tin – Tr sinx với x > 0 (vì cos x≤1 )

Suy ra hàm số đồng biến khi x > 0

Do đó : sinx + tanx – Toán Tin – Tr 2x > 0 với

Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải ph ơng trình, bất phơng trình

Ví dụ 1: Giải phơng trình : √ 4 x−1+ √ 4 x2−1=1 (1)

(HVNH_ĐHQG Khối D 2001)

 Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ của nó

 Căn cứ vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) trên TXĐ để suy racác giá trị của m cần tìm

Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

Do đó, dấu của đạo hàm f x

chỉ phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất 7 – Toán Tin – Tr 2x

Ta có BBT:

x -1

7 2 8

  f x + 0

-  f x

9 3 2 2 3 3

Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là 9 3 3 2 2 m   

-Chủ đề ii : cực trị của hàm số Soạn : 15/09/09

Dạng 1: Tìm các cực trị của các hàm số Phơng pháp :  Quy tắc 1: Tìm f '(x)  Tìm các điểm xi(i = 1, 2, 3….) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc ) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng không có đạo hàm  Xét dấu f '(x) Nếu f '(x) đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hsố đạt cực trị tại xi  Quy tắc 2:  Tìm f '(x)  Tìm các nghiệm xi(i = 1, 2, 3….) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc ) của phơng trình f '(x )=0  Với mỗi xi , tính f ' ' (x i) Nếu f ' ' (x i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi Nếu f ' ' (x i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = - x3 + 3x2 – Toán Tin – Tr 1 ; b) y = x4 2 −x 2+3 c) y= x−3 2−x ; d) y= x2−x−1 x−2 Gợi ý: Dùng quy tắc I a) y = - x3 + 3x2 – Toán Tin – Tr 1

x −∞ 0 2 +∞

y ' 0 + 0

+∞ 3

y 1 −∞

-1

Vậy hàm số đạt yCT=−1 , tại x = 0 và yCĐ = 3 tại x = 2.

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 hay đạt cực trị bằng y 0 1 Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 Phơng pháp:  Giải phơng trình f ' (x0)=0 để định m.  Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II 2 Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y 0 Phơng pháp:  ĐK { f ' ( x 0 ) =0 ¿¿¿¿ (x0 cha biết để định m)  Thử lại đk đủ nh phần 1 Ví dụ 1: Định m để hàm số : y = f(x) = 1 3 x3 – Toán Tin – Tr (m - 1)x2 + (m2 – Toán Tin – Tr 3m +2)x +5 đạt cực đại tại x = 0 Gợi ý: y = f(x) = 1 3 x3 – Toán Tin – Tr (m - 1)x2 + (m2 – Toán Tin – Tr 3m +2)x +5 D = R y '=f '(x ) =x2 – Toán Tin – Tr 2(m - 1)x + m2 – Toán Tin – Tr 3m +2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên : f'(0)=0⇔ m2−3m+2=0⇔ ¿ [ m=1 [ m=2 [ ¿ Thử lại : + Dùng dấu hiệu I:  m = 1: y'= x2; y'=0⇔ x=0 BBT : x 0 +∞

y ' + 0 +

+∞

y −∞

Nh thế hàm số không đạt cực đại tại x = 0 Nên loại m = 1  m = 2: y'= x2− 2x ; y'=0⇔ ¿ [ x=0 [ x=2 [ ¿ BBT : x −∞ 0 2 +∞

y ' + 0 - 0 +

+∞

CĐ

y

−∞ CT

Nh thế hàm số đạt cực đại tại x = 0 Nên nhận m = 2

Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại và cực tiểu.

Phơng pháp:

 Tìm TXĐ D

Chứng tỏ phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số đã cho có mọtt cực đại , cực tiểu

yCĐ = y(x1) = 2(m - 1) – Toán Tin – Tr m(m + 1) = - m2 + m – Toán Tin – Tr 2

yCT = y(x2) = 2(m + 1) – Toán Tin – Tr m(m + 1) = - m2 + m + 2

Điều kiện đề bài ⇔ yCĐ yCT < 0

 Tính y '=f ( x )

 Định m để phơng trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức cho trớc:

o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét

o Nếu thoả mãn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số α với các nghiệm

ĐS : m = 2 , m =-6/7

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm các cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – Toán Tin – Tr 36x – Toán Tin – Tr 10 b) y = x4 + 2x2 – Toán Tin – Tr 3

Do Δ'= a2+ 72>0 ∀ a nên y luôn có 2 điểm cực trị với mọi a.

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của pt y’ = 0

Hai điểm cực trị cách đều trục tung

Yêu cầu bài toán ⇔y '=0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ g ( x ) =2 mx2+ m2−9=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Bài 8: Cho hàm số : y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c có đồ thị (C) Định a, b, c biết rằng (C)

có một điểm cực trị (- 2 ; 0) và đi qua điểm A(1 ; 0)

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau đây:

a) f(x) = x3 – Toán Tin – Tr 3x2 - 9x +5 trên các đoạn [-4; 4]; [0; 5]

b) f(x) = sin2x – Toán Tin – Tr x trên [−π

a) * f(x) = x3 – Toán Tin – Tr 3x2 - 9x +5 trên đoạn [-4; 4]

Hàm số liên tục trên [-4 ; 4] nên đạt GTLN, GTNN trên đoạn ấy Ta có:

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−π

π

2 ; Min f(x) =

-π

2 [−π

2 √ 2

3 ; Min f(x) = 0 [0; π ] [0; π ]

 Chú ý : Trên đoạn [a ; b]

 Hàm số tăng thì Min y = f(a) ; Max y = f(b)

 Hàm số giảm thì Min y = f(b) ; Max y = f(a)

 Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực đại thì:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào đó kết luận.

Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)

y=x +1

x trên ( 0;+∞ )

b) y = 4x3 – Toán Tin – Tr 3x4

c)

y= x

2+1

x2+x+1

Gîi ý:

a)

y=x +1

x trªn ( 0;+∞ )

y '=1−4

x2

y '=0 ⇔1−4

x2=0 ⇔ x=2 , (x> 0)

+ BBT:

x 0 2 +∞

y ' - 0 +

+∞

+∞

y 2

VËy : Min y = 2 t¹i x = 2, kh«ng cã GTLN ( 0;+∞ )

b) y = 4x3 – To¸n Tin – Tr 3x4 + D = R + y'=12x2−12x3=12x2( 1−x ) ; y'=0⇔12x2( 1−x ) =0 ⇔ ¿ [ x=0 [ x=1 [ ¿ + BBT: x −∞ 0 1 +∞

y ' + 0 + 0 -

y −∞ −∞

VËy : Max y = 1, kh«ng cã GTNN

c)

2+1

x2+ x+ 1

+ D = R

+

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞

x2(1+ 1

x2)

x2(1+1

x+

1

x2)

= lim

x →+∞

(1+ 1

x2) (1+1

x+

1

x2)

=1

⇔ Δ'= y2−4 ( y −1 )2≥0

⇔−3 y2+8 y−4≥0 ⇔ 2

3 ≤ y≤2 ( b )Với (a) và (b) cho

2

3≤y≤2 Miền giá trị của hàm số là T=[2/3; 2]

Vậy : Maxy = 2, Min y =2/3 (có thể tính đợc x là nghiệm kép của PT (2) ứng với y = 2;

(nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

Đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Ví dụ 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Vậy tiệm cận xiên là :

y=−x+4

3

Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m

Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số:

+ y=−x +m+1− m

2

x+m có đờng tiệm cận xiên nếu m≠0

Phơng trình đờng tiệm cận xiên là d: y = - x + m +1( m≠0 )

d đi qua A(2; 0) ⇔0=−2+m+1⇔ m=1

ĐS : m = 1

Ví dụ 2: Cho hàm số :

y= x2−x−1 x−2 có đồ thị (C).

Tìm điểm A trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ A đến 2 đờng tiệm cận của (C) là nhỏ nhất

*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc

phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta sử dụng các cách sau

Chú ý: Khi đó điểm A (α ;0) là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số.

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

Có 2 nghiệm pb x1,x2

x2

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax3 + bx2 + cx + d

- Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( −∞;+∞) hoặc trên khoảng

(o;+∞) hoặc trên khoảng (−∞;0) ) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3.

- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số

Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ x1,x2, x3 cách đều

nhau.(Lập thành cấp số cộng)

Cách1 (PP đại số)

*ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*)

Giả sử pt(*) có 3 nghiêm x1,x2, x3 cách đều nhau ,khi đó ta có { x 1 + x 3 =2x 2 ¿¿¿¿

Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn thuộc trục

hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị)

3 a )=0 => Giá trị của tham số

8 Với Đờng thẳng (d) đi qua điểm I( x1; y1) và có hệ số góc m tiếp xúc với

Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm

số Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán “viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua

điểm I( x1; y1) cho trớc.

9 Đồ thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=kx+m

Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: { ax 3 + bx 2 + cx+d=kx+m ¿¿¿¿

Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong 2 cách sau

Cách1 Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm :

{ y=0 ¿¿¿¿ ( Vì phơng trình của trục hoành là y=0)

Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax3 + bx2 + cx + d =0

11 Đồ thị hàm số có cựcđại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi

y’=0 có hai nghiệm x1,x2 trái dấu <=> P<0

12 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi

có hai nghiệm x1,x2

phân biệt

13 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía đối với trục hoành khi và chỉ khi

có hai nghiệm x1,x2 phân biệt

14 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía đối với trục tung khi và chỉ khi

y’=0 có hai nghiệm x1,x2 cùng dấu <= > { Δ>0¿¿¿¿

15 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dơng khi và chỉ khi pt y’=0 có hai

Dạng 3: Giao điểm của hàm bậc 4 trùng phơng với trục hoành

Soạn:27/10/20009

Giảng: 3/11/2009

a) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

b) Cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Gợi ý: TXĐ : D = R.

+

y'=3 x2+ x+; y'=0⇔ ¿ [ x1=−1

[ x2=−3 [ ¿

+ y(x1) = y(- 3) = m; y(x2) = y(- 1) = m – Toán Tin – Tr 4

+ (Cm) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

Ví dụ 2: Cho hàm sồ f(x) = mx4 – Toán Tin – Tr 2(m – Toán Tin – Tr 1) x2 + m -1 (1) Xác định m để (Cm) :

a) Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

b) Cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

a) Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm

⇔ g ( t ) =0 có nghiệm t1 < 0 < t2

⇔ ag ( t ) <0 ⇔m ( m−1 ) <0 ⇔0<m<1

Với 0<m<1 đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

b) Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔ f(x) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt

0 < t1 < t2

Bài toán 1 : Lập phơng trình tiếp tuyến với dồ thị của hàm số

Dạng 1: Lập phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị (C).

Bài 1: Cho hàm số y=x3 3x2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(1;0) 2

Bài 2: Cho hàm số y= x42x2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(2;-8)

Bài 3: Cho hàm số y=

1

x x



 Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(2;1)

Bài 4: Cho hàm số y=

11

x x

  Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M(1;1)

Chỳ ý : Cỏc trường hợp đặc biệt

1 Tiếp tuyến tại điểm M cú hoành độ x = x0

2 Tiếp tuyến tại điểm M cú tung độ y = y0

3 Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

4 Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung

D¹ng 2: Tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x = x 0

x x



 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y =

1

D¹ng 4: Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

Chú ý : Điểm M nằm trên trục hoành sẽ có tung độ y0 =0 , tức là M(x 0 ;0)

x x



 Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm

số và trục hoành

D¹ng 5: Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung

Chú ý : Điểm M nằm trên trục tung sẽ có hoành độ x0=0 , tức là M(0;y0)

x x

a/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-3;-4)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x = 2

c/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y =- 4

d/ Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành e/ Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung

Bài 2: Cho hàm số y= x42x2 1

a/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-2;-9)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x = 2

c/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M có tung độ y= -1

d/ Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành e/ Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung

Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) đi qua điểm M(x 1 ; y 1 )

Ta tính k rồi thay vào (1)

 Cách 2: ( Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

 Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0, y0) là:

Ví dụ 1: Cho parabol y = x2 – Toán Tin – Tr 4x + 3 Viết các phơng trình tiếp tuyến với parabol qua

+ Với x = 0 suy ra k = -4 , tiếp tuyến là : y = -4x+3

+ Với x = 3 suy ra k = 2, tiếp tuyến là : y = 2x – Toán Tin – Tr 6

Ví dụ 2: Cho (C) : y = 4x3 – Toán Tin – Tr 3x Viết các phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(2; -1)

Ví dụ 3: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị hàm số : y=( x−1)2( x−4 ) mà qua đó ta chỉ

kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị

Ví dụ 4: Hãy tìm trên đờng thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó kẻ đến đồ thị (C) :

y = x3 – Toán Tin – Tr 3x2 + 2 hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Gợi ý:

Gọi A ( m ; -2) thuộc đờng thẳng y = -2

Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M0( x0 ; y0) thuộc (C): y− y0=f '(x0)(x−x0)

[ ¿

Hai tiếp tuyến của (C) không song song với Oy, nên hai tiếp tuyến vuông góc ứng tiếp

điểm là nghiệm của phơng trình:

k1.k2 = -1

⇔y1' y2'=−1

⇔(3 x12−6 x1)(3 x22−6 x2)=0

⇔(x1x2)2−18 x1x2(x1+x2)+36 x1x2+1=0 (**)Với

x1+x2=3 m−1

2 , x1x2=1(**)

 Giải phơng trình : f '(x )=k để tìm hoành độ tiếp điểm x0.

 Thế x0 vào phơng trình y = f(x) để tìm tung độ tiếp điểm y0, phơng trình tiếp tuyến là: y = k (x – Toán Tin – Tr x0) +y0

Dạng 8 :Lập phơng trình tiếp tuyến (d) tiếp xúc với (C) tại 2 điểm.

Phơng pháp:

 Phơng trình của (d) : y = ax + b

 Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : f(x) = ax + b (1)

 Từ (1) phải có hai nghiệm số kép x1, x2 , từ đó tìm đợc a và b suy ra phơng trình tiếp tuyến

Ví dụ: Hãy xác định a và b để đờng thẳng (d) : y = ax + b tiếp xúc với đờng cong

(C) : y = x4 – Toán Tin – Tr 4x3 +4x tại hai điểm phân biệt

Gợi ý:

Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :

y = m cú đồ thị là một đường thẳng d song song với trục hoành

 Số nghiệm của phương trỡnh f(x) = m bằng với số giao điểm của đồ thị (C) và

đường thẳng d

 Dựa vào đồ thị hàm số ,ta suy ra số nghiệm phương trỡnh f(x) = m

2 Dạng 2:

 Các đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M(x0; y0) khi và

chỉ khi (x0; y0) là một nghiệm của hệ phơng trình : { y=f ( x ) ¿¿¿¿

Nh vậy hoành độgiao điểm là nghiệm của phơng trình : f(x) = g(x)

Chỳ ý :

 Ta dựa vào cực đại và cực tiểu để suy ra số nghiệm

 Bài toỏn cú thể thay m bằng biểu thức chứa m VD: g(m)= am+b

 Nhiều bài toỏn vế trỏi khụng phải hàm số f(x) mà nú cú dạng h(x)=m , do

đú ta phải thực hiện cỏc phộp biến đổi như cộng , trừ ,nhõn ,chia hai vế

để đưa về dạng f(x)=am+b

Bài tập ỏp dụng Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số : y = x2 – Toán Tin – Tr 2x +2

Dùng đồ thị biện luận theo m, số nghiệm của phơng trình : x2 – Toán Tin – Tr 2x + m = 0

Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : y = x4 – Toán Tin – Tr 3x2 + 2

Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình: x4 – Toán Tin – Tr 3x2 + 2m -1 = 0

Bài 3: Với giá trị nào của m , đờng thẳng y = m cắt đờng cong y = x4 – Toán Tin – Tr 2x2 -3 tại bốn

điểm phân biệt ?

Bài toán 3: Sự tiếp xúc của hai đờng cong.

Phơng pháp: