CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vnCHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn ñối tượng A1.. n2 cách chọn ñối tượng A2.
Trang 1CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP
I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n1 cách chọn ñối tượng A1
n2 cách chọn ñối tượng A2
A1 ∩ A2 = ∅
⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các ñối tượng A1, A2
2) Quy tắc nhân:
Có n1 cách chọn ñối tượng A1
Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn ñối tượng A2
⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy ñối tượng A1, A2
3) Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử
− Số hoán vị: Pn = n!
4) Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
− Số các chỉnh hợp: k
n
n!
A (n k)!
=
−
5) Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của
n phần tử
− Số các tổ hợp: k
n
n!
C k!(n k)!
=
−
− Hai tính chất k n k
C =C −
Ck 1n 1−− +Ckn 1− =Ckn
6) Nhị thức Newton
n
n
k 0
−
=
−
∑
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): k n k k
T+ = C a − b
− ðặc biệt: n 0 1 2 2 n n
(1 x) + = C + xC + x C + + x C
Trang 2CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
II / MỘT SỐ VÍ DỤ
1 Bài toán ñếm
1.1 ðếm các số tự nhiênñược thành lập
Ví dụ 1
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho
a) Các chứ số ñều khác nhau
b) Chữ số ñầu tiên là 3
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4
Giải
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau ñược thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ⇒ Có 5
7
A = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập là abcde
Chữ số ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn
b, c, d, e ñều có 7 cách chọn
⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số
c) Gọi số cần thiết lập là abcde
Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4)
a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số
Ví dụ 2.(ðH An ninh 97)
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập ñược bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau
Giải
Gói số cần thiết lập là abcde
Xét hai trường hợp
+ Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn
Khi ñó a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số
+ Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn
Khi ñó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
Trang 3CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số
Vậy có 360 + 900 = 1260 số
Ví dụ 3
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5
Giải
Cách 1:
Thành lập số có 3 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 5 ⇒ Có A = 120 số 36 Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí ñể xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và
có mặt chữ số 5
⇒ Có 120.4 = 480 số
Cách 2:
− Số cần tìm có 1 trong bốn dạng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5
− Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số
Ví dụ 4:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3
Giải
Xét các trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0
⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0
Chọn chữ số ñầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2
Chữ số còn lại có 2007 vị trí ñể ñặt, còn các vị trí khác ñặt số 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0
Chọn chữ số ñầu tiên là 1
Chọn 2 trong 2007 vị trí ñể ñặt chữ số 1 ⇒ có C22007 = 2007.1003 = 2013021
Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ðHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt ñúng hai lần, chữ
số ba có mặt ñúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần
Giải
+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt ñầu bằng 0) Khi ñó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí
Chọn 2 trong 7 vị trí ñể xếp chữ số 2: có C cách 27
Chọn 3 trong 5 vị trí còn lại ñể xếp chữ số 3: có C cách 35
Trang 4CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
Chọn 2 trong 8 chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ñể ñặt vào 2 vị trí còn lại có A cách 28
⇒ Có 2
7
C C 35 A = 11 760 cách 28
+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu Lập luận tương tự cho 6 vị trí ⇒ có
2
6
C C 34 A = 420 số 17
Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số
Ví dụ 6: (ðH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kì
b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ
c) Chọn 3 học sinh trong ñó có ít nhất 1 nam
Giải
a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập3 của 40 ⇒ Số cách chọn là: C340 =9880 cách b) Chọn 1 nam có C125 =25 cách
Chọn 2 nữ có C152 =105 cách
⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn
c) Chọn 3 học sinh bất kì có 9880 cách
Chọn 3 học sinh nữ có C153 =455 cách
⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam
Ví dụ 7: (ðHSP Quy Nhơn 97)
Cho hai ñường thẳng song song a và b Trên a lấy 17 ñiểm phân biệt, trên b lấy 20 ñiểm phân biệt Tính số tam giác có các ñỉnh là 3 trong số 37 ñiểm ñã chọn ở trên
Giải
Cách 1
Mỗi tam giác ñược hình thành bởi ba ñiểm không thẳng hàng
Số bộ ba ñiểm từ 37 ñiểm trên là: 3
37
C
Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên a là: 3
17
C
Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên b là: 3
20
C
Vậy số tam giác tạo thành là: 3
37
C − 3
17
C − 3
20
C = 11 340 tam giác
Cách 2:
Trang 5CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi một ñiểm trên ñường thẳng này và hai ñiểm trên
ñường thẳng kia Xét 2 trường hợp
+ TH1: Tam giác tạo thành bởi 1 ñiểm trên a và 2 ñiểm trên b: có 17.C 220
+ TH2: Tam giác tạo thành bởi 2 ñiểm trên a và 1 ñiểm trên b: có 20.C 172
⇒ Số tam giác là: 2
20
17.C + 20.C = 11 340 172
Ví dụ 8: (ðH Cảnh sát nhân dân)
Cho tam giác ABC Xét bộ gồm 4 ñường thẳng song song với AB, 5 ñường thẳng song song với BC và 6 ñường thẳng song song với CA trong ñó không có ba ñường thẳng nào ñồng quy Hỏi các ñường thẳng trên tạo ñược bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành)
Giải
a) Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi ba ñường thẳng thuộc ba nhóm khác nhau ⇒
Số tam giác là 4.5.6 = 120
b) Mỗi hình thang không phải hình bình hành ñược tạo thành bởi hai ñường thẳng thuộc nhóm này và một ñường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là
C C C +C C C +C C C =720 hình thang
2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ ñại số tổ hợp
Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99)
Tìm k thỏa mãn: kC Ck 2 2Ck 1
Giải
ðK k N
k 12
∈
≤
Phương trình tương ñương với
14! 14! 2.14!
k!(14 k)! + (k 2)!(12 k)! = (k 1)!(13 k)!
(14 k)(13 k) + (k 2)(k 1) = (k 1)(13 k)
⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k)
⇔ k2
− 12k + 32 = 0
⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8
Ví dụ 2: (ðH Hàng hải 99)
Trang 6CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
Giải bất phương trình:
n 3
n 1
−
− >
+
Giải
ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương
n 3
n 1
−
− >
+
⇔ 14.P C. n 3 A4
3 n 1− > n 1
n 1 ! 14.3! n 1 n n 1 n 2
n 3 !2!
−
− ⇔n2 + −n 42< ⇔0 (n−6 n) ( +7)< ⇔ −7 < n < 6 0
Kết hợp với ðk n≥ 3 ñược tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}
Ví dụ 3: (ðHBK HN2001)
Giải hệ phương trình:
2.Ax 5.Cx 90
5.Ax 2.Cx 80
−
=
Giải
ðK: x, y ∈ N*, y ≤ x
u = A , v = C ⇒ u, v ∈N* ta có hệ
u
2.u 5.v 90
5 2.v 80
u 20
v 10
=
=
Thay vào ta có
y
Ax 20 y
Cx 10
=
x!
(x y)!
x!
y!(x y)!
20
10
=
= ⇔
y! 2 x!
=
x!
=
− =
Kết hợp ñiều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm x 5
=
3) Xác ñịnh một số hạng của khai triển Newuton
Ví dụ 1: (ðH Kinh tế quốc dân, 1997)
Trang 7CHUYÊN đỀ: đẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của
12 1 x x
Giải
Số hạng tổng quát
k
1
x
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6
đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: C6 x0 12.11.10.9.8.7 924
12 = 1.2.3.4.5.6 =
Vắ dụ 2:(đH và Cđ, khối A, 2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x 3 x
biết rằng Cn 1 Cn 7 n 3( )
n 4+ −+ n 3+ = +
Giải
Ta có Cn 1 Cn 7 n 3( ) (n 4)! (n 3)! 7(n 3)
⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)+ + + − + + + = + ⇔
(n 4)(n 2) (n 2)(n 1)+ + − + + =42
⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12
Số hạng tổng quát
1
Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 8
2 − + = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8
đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: 8
12=