BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 điểm)
Dãy số x n (n=1, 2,3, ) được xác định bằng công thức
2
n n n
x x
x =a x =b x = − + − n=
Tìm lim n
x x
→+∞
Câu 2: (2 điểm)
Giả sử f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ( ) ¡ và với ,x h bất kỳ ta có
đồng nhất thức ( ) ( ) '( )
2
h
f x+ −h f x ≡h f x+
Chứng minh rằng f x( )=a x 2+b x +c, trong đó a b và c là các hằng số ,
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y= f x( ), x∈¡ đối xứng với hai trục
thẳng đứng x=a và x=b (b>a) thì ( )f x tuần hoàn
Câu 4: (2 điểm)
Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính sau:
Câu 5: (2 điểm)
1 Tìm đa thức bậc bốn ( )f x biết rằng:
3
( ) ( 1)
f x − f x− =x
2 Tìm đa thức có bậc nhỏ nhất của vành R x sao cho nhận [ ] 1 2i+ là
nghiệm đơn và i là nghiệm kép
Hết _
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
CỤM SƯ PHẠM TRUNG BẮC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐÁP ÁN CHẤM THI OLYMPIC TOÁN HỌC
Câu 1
(2 điểm)
x −x − = − + − −x − = − − − −
x x b a
n
* Suy ra x n = +x1 (x2−x1)+(x3−x2) (+ + x n −x n−1)
2
2
n n
n n
a b a
b a b a b a b a
a b a
b a b a a
−
−
n
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2
(2 điểm)
* Lấy đạo hàm của ( ) ( ) '( ) (1)
2
h
f x+ −h f x ≡h f x+ theo h ta
f x+ ≡h f x+ + f x+
thay
2
h
x= − đồng nhất thức trên ta được:
'( ) ''(0) '(0) (2)
h h
f ≡ f + f
* Thay x=0 vào (1) ta nhận được đồng nhất thức:
0,5
0,5
Trang 3( ) '( ) (0) (3)
2
h
f h ≡h f + f
* Thay (2) vào (3) ta được
2 ''(0)
2
f
f h ≡h +h f + f h∈¡
* Kí hiệu ''(0)
2
f
h=x =a f =b f =c, ta được biểu diễn của f x( )=a x 2+b x +c Suy ra đpcm
0,5
0,5
Câu 3
(2 điểm)
* Theo giả thiết, ta có f a( − =t) f a( +t) (1),
f b( − =x) f b( +x) (2), t x, ∈¡
* Trong đẳng thức (2), ta đặt b− = −x a t Khi đó, (f a− =t) f t( +2b−a) (3)
* Từ (1) và (3) ta có f t( +2b− =a) f a( +t) (4)
* Giả sử a+ =t x Khi đó, từ (4) ta có f x( +2b−2 )a = f x( )
Từ đó suy ra đpcm, trong đó 2b−2a là chu kỳ
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(2 điểm)
* Ma trận bổ sung °
A
m
* Hệ đã cho tương đương với hệ phương trình:
4
1
mx
* m=0 : hệ vô nghiệm
0,5
0,5
0,5
Trang 4* m≠0: hệ có vô số nghiệm
0,5
1 (1 điểm)
* Giả sử f x có dạng ( ) f x( )=ax4 +bx3+cx2+dx+e
Ta có f x( − =1) a x( −1)4 +b x( −1)3+c x( −1)2+d x( − +1) e
suy ra
* Theo giả thiết, ta có:
4ax +(3b−6 )a x +(4a−3b+2 )c x+ − − + =b a c d x
suy ra:
1 4
1
2
1
0
a a
a b c
c
b a c d
d
=
=
=
=
Vậy 1 4 1 3 1 2
f x = x + x + x +e e tuỳ ý)
0,5
0,5
Câu 5
(2 điểm)
2 (1 điểm)
* Gọi đa thức cần tìm là ( )f x Vì f x( )∈R x[ ] và nhận
1 2i+ là nghiệm đơn, i là nghiệm kép nên ( ) f x chia hết cho các
x− + i x− − i =x − x+
(x−i x)( +i) =(x +1)
* Vì ( )f x có bậc nhỏ nhất nên ( ) f x có dạng:
f x =a x + x − x+ a∈¡
0,5
0,5