Kết hợp với điều kiện f x trên đoạn 0, 2suy ra điều phải chứng minh... Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Trang 1HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Cho dãy số {xn} xác định như sau:
1
2004
n n
n
x
x x n
lim n
Câu 2 Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0, + ). Chứng minh rằng hàm số
0
0
( ) ( )
( )
x
x
tf t dt
F x
f t dt
đồng biến trên [0, + )
Câu 3 Cho 0 a b Tính tích phân
1
0 1 0
) lim ( )
Câu 4 Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
2004
x
¡
¡
Câu 5 Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P a( ) P b( ) 0 với a < b Đặt
( )
a x b
Chứng minh rằng
3
1
12
b
a
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Giải tích Câu 1 Cho dãy số {xn} xác định như sau:
1
2004
n n
n
x
x x n
lim n
Giải
Ta chứng minh công thức
1
( 1) (2004) 1
(2004) 2005
Thật vậy, đặt ( ) ,
(2004)
h n
x ta thu được
1
n
Suy ra
( ) ( 1) ( 1) (2004)n n
và
( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004)
Do x0 h(0)0 nên
1 1
n
i
Suy ra
2
2 2004
2005
n
Câu 2 Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0, + ) Chứng minh rằng hàm số
0
0
( ) ( )
( )
x
x
tf t dt
F x
f t dt
đồng biến trên [0, + )
Giải
Ta có
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x
xf x f t dt f x tf t dt
F x
f t dt
Vì
2
( )
0
x
f x
Trang 3và
x f t dt tf t dt x t f t dt với f t( ) 0, xt nên F x ( ) 0 khi x > 0
Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong 0,
Câu 3 Cho 0< a < b Tính tích phân
1
0 1 0
) lim ( )
Giải
a) Đặt bx a (1 x) t, ta có
1 0
1
(1 )
b
a b
a
t
b a
t
b) Từ a) suy ra
1
1
1
1
( 1)
I
b a
Suy ra
1 1
1 0
b b a a
b
a
Câu 4 Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
2004
x
¡
¡
Giải
Đặt 2004
( ) x ( ).
f x e g x Theo giả thiết (i) thì g x( ) 1 với mọi x ¡ Thế vào điều kiện (ii), ta thu được
200( ) 2004 2004
e g xy e g x e g y
hay
g xy g x g y x y ¡
Với x= y= 0 ta thu được
2 (0) (0)
(0) 1
(0) 1
g g
Suy ra
1 g(0) g x( ( x)) g x g( ) ( x) 1, x ¡
Do đó g x( ) 1 và 2004
( ) x.
f x e
Câu 5 Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P a( ) P b( ) 0, với a < b Đặt
( )
a x b
Chứng minh rằng
Trang 41
12
b
a
Giải
a) Ta chứng minh
P x x a b x dx P x dx
Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được
b) Từ (1) ta thu được
1
2
P x dx P x x a b x dx
Suy ra
1
2
P x dx P x x a b x dx
Vì a x b nên (x a b )( x) (x a b)( x) và
3
P x dx x a b x dx b a
-o0o -
Trang 5HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1 Cho dãy số {x n} (n 1, 2,3, )được xác định bởi công thức truy hồi sau:
2
1 2, 1 5.
x x x Tìm giới hạn
2 1
1 2
lim( )
n n
n
x
x x x
Câu 2 Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều
kiện
( ) 0
b
a
f x dx
Chứng minh rằng tồn tại c ( , )a b sao cho
( ) 2005 ( )
c
a
f c f x dx
Câu 3 Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho f x ( ) avới mọi x ¡ Biết rằng
2 0
0 f x( ) sinxdx a.
Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,
2
, phương trình f x( )0có duy nhất nghiệm
Câu 4 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện
1
2
x
x
f t dt x
Hãy chứng minh
2
f x dx xf x dx
Câu 5 Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều kiện (0) (1)
f f a Chứng minh rằng
x 0,1
max f ( )x 8(a b)
với
0,1
min ( )
x
Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn , ¡
-Hết -
Trang 6ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn: Giải tích
Câu1 Cho dãy số {x n} (n 1, 2,3, )được xác định bởi công thức truy hồi sau:
2
1 2, 1 5
x x x Tìm giới hạn
2 1
1 2
lim( )
n n
n
x
x x x
Giải
Theo giả thiết ta có
( 4) 21( )
Suy ra
2 1
2
4
n
x
Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!)
k
x k
Do vậy
2 1
1 2
n n
n
x
x x x
Câu 2 Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều
kiện
( ) 0
b
a
f x dx
Chứng minh rằng tồn tại c ( , )a b sao cho
( ) 2005 ( )
c
a
f c f x dx
Giải
Xét hàm số
2005
t t a
F t e f x dx
Khi đó F a( ) F b( ) 0và
t
a
F t e f x dx e f t
Theo Định lý Rolle, tồn tại c ( , )a b sao cho F c ( ) 0, nghĩa là
c
a
Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh:
( ) 2005 ( )
c
a
f c f x dx
Trang 72 0
0 f x( ) sinxdx a.
Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,
2
, phương trình f x( )0có duy nhất nghiệm
Giải
Ta có
2 0
Suy ra
2 0
Giả sử f( 2)0 Từ giả thiết f x ( ) a 0suy ra f x( )đồng biến trên đoạn 0, 2
Khi đó f x( ) 0 x 0, 2 Do vậyf x( )sinx 0 x 0, 2 , hay
2 0 ( ) sin 0.
f x xdx
Mâu thuẫn với giả thiết Vậy, f( 2)0 Kết hợp với điều kiện f x( )trên đoạn
0, 2suy ra điều phải chứng minh
Câu 4 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện
1
2
x
x
f t dt x
Hãy chứng minh
2
f x dx xf x dx
Giải
Ta có
2
1
3
Suy ra
2
1
3
f x dx xf x dx
Đặt
1 1 0
( )
x
A f t dt dx
Trang 8Ta có
x
x
A f t dt dx dx
Mặt khác
1
A f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx
Do đó
1 0
1
3
xf x dx
(2) Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh
Câu 5 Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ và thoả mãn điều
kiện f(0) f(1) a. Chứng minh rằng
x 0,1
max f ( )x 8(a b)
với min 0,1 ( )
x
Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn , ¡
Giải
Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại c (0,1)sao cho f c ( ) 0 Xét khai triển Taylor của hàm f x( )tại điểm c:
2 ( ( ))
2
f x f c f c x c x c
Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được
2
2
( (0)
2 ( (1) (1 ) 2
f
f
Hay
2
2
(1 )
a b f
c
a b f
c
Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được
2
2
(1 )
a b
(sử dụng bất đẳng thức 2 2 1
(1 )
16
c c với c [0,1])
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Mở rộng đối với đoạn , :
x ,
8( ) max {f (x)}
a b
Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm