thi Olympic Toán sinh viên toàn qu c n m 2003
Môn gi i tích
Câu 1: Tìm t t c các hàm s f(x) xác đ nh và liên t c trên R tho mãn đi u ki n
R x x
f x
f( +2002)( ( )+ 2003)=−2004,∀ ∈
Câu 2: Xác đ nh t t c các hàm s f(x) liên t c trên [0,1], kh vi trên (0,1) và tho mãn các đi u ki n:
∈
∀
≥ +
=
=
) 1 , 0 ( , 2004 )
( 2004 )
(
'
2003
1 )
1
(
)
0
(
x x
f x
f
f
f
Câu 3: Cho hàm s f(x) kh vi trên [a,b] (a<b) và tho mãn các đi u ki n
0 ) 2 ( ), ( 2
1 ) ( ), (
2
1
)
(a = a−b f b = b−a f a+b ≠
f
Ch ng minh r ng luôn t n t i các s c1, c2, c3 phân bi t thu c (a,b) đ
1 ) ( ' )
(
'
)
(
' c1 f c2 f c3 =
Câu 4: Cho dãy s {xk}v i
)!
1 (
! 4
3
! 3
2
! 2
1
+ + + + +
=
k
k
x k Hãy tính gi i h n
n
x x
x
∞
→
Câu 5: Cho hàm s f(x) liên t c trên [0, /2] sao cho f(0)>0 và ∫ / 2 <
0π f(x)dx 1
Ch ng minh r ng ph ng trình f(x)=sinx có ít nh t m t nghi m trong kho ng (0, /2)
Câu 6: Cho hai hàm s f, g: [a,b] [a,b] (a<b) liên t c trên [a,b] và tho mãn các đi u
ki n f(g(x))=g(f(x)),∀x∈[ ]a,b và f(x) là hàm đ n đi u trên [a,b]
Ch ng minh r ng t n t i x0 thu c [a,b] sao cho f(x0) = g(x0) = x0
H t