Chuyên đề các bài toán về tam giác

Giới thiệu Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác giải tam giác.. Để làm tốt các b

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

A Giới thiệu

Trong bài giảng này, chúng tôi đề cập đến các bài toán liên quan đến việc xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác (giải tam giác) Để làm tốt các bài toán này, ta cần biết khai thác các tính chất của đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của tam giác Bài giảng này đề cập đến năm dạng toán sau:

 Dạng 1 Đường cao

 Dạng 2 Trung tuyến

 Dạng 3 Phân giác

 Dạng 4 Trung trực

 Dạng 5 Các bài toán tổng hợp

B Các dạng toán hay gặp

Dạng 1 Đường cao

 Nội dung phương pháp

Cho tam giác ABC Giả sử d là đường cao qua A và H là trực tâm tam giác Ta có vài nhận xét sau đây:

 d đi qua A và vuông góc với BC

 AH

, BH

, CH

là các véc-tơ pháp tuyến của các đường thẳng BC, CA, AB

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có đường cao qua A là đường thẳng d x: 2y  , cạnh 7 0 BC đi

qua điểm M  2;1 Hãy lập phương trình cạnh BC của tam giác

Giải

Ta thấy đường thẳng BC vuông góc với d nên nhận véc-tơ pháp

tuyến n1; 2 

làm véc-tơ chỉ phương BC còn đi qua M nên

  BC: 2x   y 3 0

d A

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A1; 2  Đường cao kẻ B, C có phương trình lần lượt là

d x y  , d2:x3y 7 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

Giải

Đường thẳng AB vuông góc với đường cao d2:x3y 7 0

nên đường thẳng này nhận véc-tơ pháp tuyến n21;3

của d 2

làm véc-tơ chỉ phương Đường thẳng AB còn đi qua điểm A

nên

AB     AB: 3x   y 5 0

d 2

d 1

A

Tương tự, AC là đường thẳng qua A và nhận n13; 5 

làm véc-tơ chỉ phương nên

:

  AC: 5x3y  1 0

B là giao điểm của AB và d nên tọa độ cuả 1 B là nghiệm của hệ

x y

x y







 B3; 4

C là giao điểm của C và d nên tọa độ 2 C là nghiệm của hệ

x y

x y







 C  2;3 Suy ra

:

   BC x: 5y17 0 Vậy AB: 3x   , y 5 0 AC: 5x3y  , 1 0 BC x: 5y17 0

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có đường cao qua A, B lần lượt là các đường thẳng

d xy  , d2: 2xy  và trọng tâm 9 0 G  2; 2 Hãy xác định tọa độ các đỉnh của

tam giác

Giải

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Các điểm A, B lần lượt thuộc các đường thẳng d , 1 d nên tọa 2

độ của chúng có dạng A a ; 4 a5, B b b  ; 2 9 G là trọng

tâm tam giác ABC nên

3 3

  





  



 C  a b 6; 4a2b2

 BC a 2b6; 4a4b7

, AC2a b 6;8a2b7

d 2

d 1 G C

Đường thẳng BC vuông góc với d nên BC1 

là một véc-tơ pháp tuyến của d Tương tự, AC1 

là một véc-tơ pháp tuyến của d Do đó 2









a b

a b







4

a b

 





 



Suy ra A  2;3, B  4;1

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có AB: 5x3y  và các đường cao đi qua 2 0 A, B có phương trình lần lượt là d1: 4x3y  và 1 0 d2: 7x2y220 Lập phương trình của hai cạnh còn

lại và đường cao còn lại của tam giác

Giải

A là giao điểm của AB và d nên tọa độ 1 A là nghiệm của hệ

5 3 2 0

x y

x y







d 1

C

B là giao điểm của AB và d nên tọa độ 2 B là nghiệm của hệ

x y

x y







 B2; 4 Đường thẳng AC qua A và nhận véc-tơ pháp tuyến n27; 2

của đường thẳng d làm véc-tơ 2

chỉ phương nên

:x y

AC     AC: 2x7y  5 0

Tương tự, BC qua B và nhận n14; 3 

làm véc-tơ chỉ phương nên

:

  BC: 3x4y22 0

C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ C là nghiệm của hệ

x y

x y







 C6;1 Đường cao qua C nhận véc-tơ pháp tuyến n35; 3 

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

là



  3x5y23 0 Vậy AC: 2x7y  , 5 0 BC: 3x4y22 , đường cao còn lại có phương trình 0

3x5y23 0

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là 5x2y  và 46 0 x7y21 0

Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác

Giải

Giả sử 5x2y  , 46 0 x7y21 0 lần lượt là phương trình

của các cạnh AB, BC

B là giao điểm của AB và BC nên tọa độ B là nghiệm của hệ

5 2 6 0

x y

x y







 B0;3

O A

Đường thẳng CO nhận véc-tơ pháp tuyến n5; 2 

của AB làm véc-tơ chỉ phương nên

:

5 2

  CO: 2x5y 0

C là giao điểm của của BC và CO nên tọa độ của C là nghiệm của hệ

x y

x y







2

C  

Đường thẳng CA đi qua 35; 7

2

C  

  và nhận OB0;3

làm véc-tơ pháp tuyến nên

 

: 3 7 0

CA y    CA y   : 7 0

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Bài 1 Cho tam giác ABC có chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC là H  1;1, các đường cao qua B, C lần lượt là d1: 5x3y  , 4 0 d2:x4y11 Hãy tìm tọa độ các đỉnh 0 của tam giác

Đáp số: A   3; 7, B  5; 2, C7; 1 

Bài 2 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B   4; 5 và phương trình hai đường cao là d1: 5x3y  và 4 0 d2: 3x8y130

Hướng dẫn: Trước hết ta nhận xét rằng B không thuộc cả d và 1 d Giả sử 2 d là đường cao đi 1

qua A và d là đường cao đi qua 2 C Phương trình các cạnh của tam giác là

AB x y  , BC: 3x5y13 , 0 CA: 5x2y  1 0

Bài 3 Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là 1 1;

2 2

M 

  và các đường cao qua A, Blần lượt là d1: 6xy21 , 0 d2:x4y  Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác.9 0

Đáp số: AB x: y , 0 BC x: 6y10 , 0 CA: 4x y 15 0

Bài 4 Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB, BC lần lượt là 9; 3

M  

1 1

;

2 2

N 

  và đường cao hạ từ A là 3x   Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác y 7 0

Đáp số: A   4; 5, B  5; 2, C4; 1 

Bài 5 Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết B  5; 2, C 1;1 và trực tâm là H  2; 4

Đáp số: 9 26;

5 5

A 

Dạng 2 Trung tuyến

 Nội dung phương pháp

Cho tam giác ABC Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện Giả sử biết d ax by:    là trung tuyến đi qua đỉnh c 0 A của tam giác, ta suy ra hai

sự kiện quan trọng sau đây:

 Điểm A thuộc đường thẳng d, tức là

0

ax by  c

 Trung điểm của đoạn thẳng BC thuộc đường thẳng d, tức là

0

Cho tam giác ABC

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A   1; 2, B4; 3  và C0;8 Hãy viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác

Giải

Nếu gọi G là trọng tâm của tam giác thì G 1;1 Gọi cac trung tuyến qua A, B, C lần lượt là

A

d , d , B d Ta thấy C d đi qua A A và G nên

:

A

d    , hay d A: 3x2y  1 0

Tương tự ta có

:

B

 , hay d B: 4x3y  ; 7 0 8

:

C

 , hay d C: 7xy  8 0

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có đỉnh B  3; 4, đỉnh C thuộc đường thẳng d1: 2xy 1 0 và trung tuyến đi qua A là d2: 7x5y21 Tìm tọa độ đỉnh 0 C

Giải

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Đỉnh C của thuộc đường thẳng d1: 2xy 1 0 nên tọa độ có dạng C c ; 2c 1 Trung điểm

này ta được c 2 Vậy C2;3

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có AB: 4x3y  , trung tuyến qua 7 0 A là d x: 4y  5 0

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt trục hoành tại điểm I có hoành độ bằng 3

2

 và

I là trung điểm của AC

Giải

Ta thấy A là giao điểm của đường thẳng AB và trung tuyến d nên tọa độ A là nghiệm của hệ

x y

x y







 A 1;1

I là điểm có hoành độ bằng 3

2

 thuộc trục hoành nên 3; 0

2

I 

  Từ I là trung điểm AC có

   





   



 C   4; 1

Điểm B thuộc đường thẳng AB nên tọa độ B có dạng ; 4 7

3

b

B b   

Gọi J là trung điểm BC, ta có

2 2

J

J

y y x

x x y















J    

2

b   , suy ra B  2;5

Vậy A 1;1 , B  2;5, C   4; 1

Ví dụ 4 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A1;3 và hai trung tuyến có phương trình là d1:x2y  và 1 0 d2:y   1 0

Giải

Dễ thấy cả hai trung tuyến đã cho đều không đi qua A Giả sử d là trung tuyến qua 1 B, d là 2

trung tuyến qua C

Điểm B thuộc trung tuyến d nên có tọa độ dạng 1 B2b1;b Tương tự, điểm C có tọa độ dạng C c ;1 Trung điểm của cạnh AB thuộc trung tuyến d và trung điểm của 2 AC thuộc trung tuyến d nên 1

3

2 1

2

b

c





 









Giải hệ trên ta được b  1, c 5 Suy ra B   3; 1, C5;1 Phương trình các cạnh tam giác là

:

  , hay AB x:    ; y 2 0

:

BC    , hay BC x: 4y  ; 1 0

:

 , hay CA x: 2y  7 0

Ví dụ 5 Hai cạnh của một tam giác có phương trình lần lượt là 2xy và 50 xy Một 0 trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình 3xy Cạnh thứ ba của tam giác 0

đó đi qua điểm M3;9 Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

Giải

Giả sử ABC là tam giác đang xét và AB: 2xy , 0 AC: 5xy Điểm 0 A là giao điểm của hai đường thẳng AB và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ

x y

x y







 A0; 0

Ta thấy d: 3xy là trung tuyến đi qua 0 A Hai điểm B và C lần lượt thuộc các cạnh AB

và AC nên tọa độ của hai điểm này có dạng B b b ; 2  và C c c ;5  Trung điểm của BC thuộc trung tuyến d nên

2 5

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Thế b2c vào tọa độ điểm B ta có B2 ; 4c c, suy ra BCc c; 

Véc-tơ BC

lại cùng phương với véc-tơ a1; 1 

Đường thẳng BC đi qua điểm M nên véc-tơ MB

và véc-tơ a

cùng phương, tức là

2 3 4 9



  c 2  B4;8, C2;10



 Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC, các đường thẳng AB và AC lần lượt có phương trình

3x2y  và 1 0 x   Đường trung tuyến ứng với cạnh y 1 0 AB có phương trình

2x   Viết phương trình đường thẳng y 1 0 BC

Đáp số: Phương trình đường thẳng BC là 5x3y  1 0

Bài 2 Cho tam giác ABC có A4; 1 , phương trình hai trung tuyến đi qua B và C lần lượt là

8x   và 14y 3 0 x13y  Tìm tọa độ các đỉnh 9 0 B, C

Đáp số: B1;5, C   4; 5

Bài 3 Một cạnh của tam giác có phương trình là x2y  , hai đường trung tuyến ứng với 7 0 hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt là xy  và 25 0 x y 11 0 Viết phương trình

hai cạnh còn lại

Đáp số: Phương trình hai cạnh còn lại là 3x2y  và 36 0 x8y12 0

Bài 4 Cho tam giác ABC có các trung tuyến từ A, B lần lượt là d1:xy  , 5 0

d x y  và trực tâm H   4; 1

Đáp số: A   6; 5, B3; 2 , C  5; 2

Dạng 3 Phân giác

 Nội dung phương pháp

Cho tam giác ABC Mỗi góc của tam giác hai đường phân giác là phân giác trong và phân giác ngoài Điểm đồng quy của ba đường phân giác trong là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Điểm đồng quy của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của góc còn lại là tâm đường tròn bàng tiếp của góc ứng góc với phân giác trong, chẳng hạn: điểm đồng quy của đường phân giác trong góc A và hai đường phân giác ngoài của hai đỉnh còn lại là tâm đường tròn bàng tiếp góc A

Xét phân giác (phân giác trong, phân giác ngoài) góc A Ta cần nắm được hai tính chất sau đây của phân giác góc A:

 Phân giác góc A là đường thẳng đi qua A

 Hai đường thẳng AB và AC đối xứng nhau qua phân giác góc A Cụ thể, nếu lấy M là một điểm thuộc đường thẳng và M' là điểm đối xứng với M qua phân giác góc A thì M '

thuộc đường thẳng AC

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC biết rằng các đường thẳng thẳng AB, AC lần lượt đi qua các điểm

4; 6

M  , N  7;1 và phân giác góc A là đường thẳng d x: 4y14 Lập phương trình 0 các cạnh AB, AC của tam giác

Giải

Gọi M' là điểm đối xứng với điểm M qua phân giác d Vì M thuộc đường thẳng AB nên

'

M thuộc đường thẳng AC Giả sử M'a b; , ta thấy trung điểm 4; 6

a b

I   

thẳng d và véc-tơ MM'a4;b6

cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n1; 4

của đường thẳng d, tức là









a b

a b





 



10

a b











 M' 8;10 

Ta thấy đường thẳng AC đi qua các điểm N  7;1 và M' 8;10  nên

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

:

15 9

AC     AC: 3x5y26 0

A là giao điểm của AC và phân giác d của góc A nên tọa độ A là nghiệm của hệ

x y

x y







4

x y

 









 A  2; 4 Đường thẳng AB đi qua các điểm A và M nên

:

6 10

  AB: 5x3y  2 0 Vậy phương trình các cạnh AB, AC của tam giác là AB: 5x3y  và 2 0

AC x y 

Ví dụ 2 [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B  4;1, trọng tâm G 1;1 và đường thẳng

dchứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x   Tìm tọa độ các đỉnh y 1 0 A

và C

Giải

Gọi M m n ;  là trung điểm của AC, từ đẳng thức BG2GM

, ta có

 

 

m n









7 2 1

m n









 



2

M 

Gọi B a b' ;  là điểm đối xứng với B qua d thì B' thuộc AC Ta thấy trung điểm I của BB'

thuộc đường thẳng d và véc-tơ BB'

cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n1; 1 

của đường thẳng d Do đó







3

a b

a b

 





  



5

a b







 



 B' 2; 5  

Đường thẳng AC đi qua hai điểm B' và M nên

:

2 2

AC   





 AC: 4x y 13 0

A là giao điểm của AC và d nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

12 5 49 0

x y

x y







x y

x y







3

x y









  A4;3

C đối xứng với A qua M nên





   



 C3; 1 

Ký hiệu F x y ;  là vế trái của phương trình tổng quát của phân giác trong góc A Ta có

    6 3 18 0

F B F C       Suy ra B, C nằm về hai phía d Do đó tọa độ các điểm tìm được thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A2; 1  và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt

là d1:x2y  và 1 0 d2:xy 3 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

Giải

Gọi A , 1 A là các điểm đối xứng với điểm 2 A qua các phân giác d , 1 d Từ tính chất của đường 2

phân giác suy ra A , 1 A là các điểm thuộc đường thẳng 2 BC

 

A a b đối xứng với A qua d khi và chỉ khi trung điểm 1 1 2; 1

a a

I    

đường thẳng d và véc-tơ 1 AA a1 2;b1

cùng phương với véc-tơ pháp tuyến n11; 2 

của d , 1

tức là







a b

a b





 



3

a b









  A10;3

Tương tự, giả sử A m n2 ; , ta có









3

m n

m n







5

m n

 





 



 A  2 2; 5

Do đó

:

   BC: 4x   y 3 0

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

AB còn đi qua A2; 1  nên thay tọa độ A vào phương trình AB ta có 12m5n0 Nếu chọn

5

m  thì n  12 Do đó

   2 1

Tương tự, phương trình AC có dạng AC m: 4xy3n x y30 với m , n thỏa mãn

3mn0 Chọ m 1 thì n  3 Do đó

 3  3

AC xy  xy   AC x: 4y  6 0

Vậy phương trình các cạnh của tam giác là BC: 4x   , y 3 0 AB: 8x19y  , 3 0

 Bài tập

Bài 1 Cho tam giác ABC có A4; 1  và các đường phân giác các góc B, C lần lượt là

d x   , d2:xy 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh B, C

Đáp số: B1;5, C   4; 5

Dạng 4 Trung trực

 Nội dung phương pháp

 Cho tam giác ABC Giả sử d ax by:    là trung trực của c 0 BC Khi đó, trung điểm

I của đoạn thẳng BC thuộc d và BC

cũng là một véc-tơ pháp tuyến của d, tức là

0

x x y y









Chú ý Hệ điều kiện nói trên áp dụng cho trường hợp cả a và b đều khác 0 Trong trường hợp

0

a  điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành x Bx C  Tương tự, trong trường hợp 0 b 0

điều kiện thứ hai của hệ điều kiện trở thành y B y C  0

 Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

đó

 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A2; 1  và các đường trung trực của các cạnh AB, CA lần lượt là d1: 6x4y 5 0, d2: 2xy  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 6 0

Giải

Giả sử B a b ;  Ta có trung điểm của AB thuộc d và 1 AB

là một véc-tơ pháp tuyến của d , tức 1

là









a b

a b







3

a b

 





 



 B   1; 3

Tương tự, giả sử C c d ; , ta có hệ

c d







c d

c d







5

c d







 



 C3; 5 

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có đường trung trực của cạnh BC là d x: 2y  và 7 0 B1; 1 