Chứng minh rằng dãy xn được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn ∞ → n khi x lim n Giải Ta chứng minh xn được xác định với mọi n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp... 3 a x n
Trang 1Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi
Chuyên đề : DÃY SỐ
§1 Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
Bài toán : Cho dãy số (un) xác định bởi :
1
o
=
=
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) Phương pháp : Lập phương trình x2 – px – q = 0 (1)
(gọi là phương trình đặc trưng) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì số hạng tổng quát của dãy số có dạng : 1 2
n
u = Ax +Bx
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x0 thì số hạng tổng quát của dãy số có dạng :
u = A B n x+
Ví dụ1:
Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) biết rằng :
−
=
=
=
+
n 1 o
x 10 x
x
3 x
0 x
với mọi n∈N
Giải Phương trình đặc trưng :
n n n
2 1 2
5 B 2 A x Vậy
5 t
2 t
0 10 7t -t
+
=
=
=
⇔
= +
−
=
=
⇔
= +
= +
⇒
=
=
1 B
1 A 3 B 5 A 2
0 B A 3 x
0 x Với
1 0
Do đó số hạng tổng quát của dãy số là : n n
Ví dụ 2 : Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn)và (yn) biết rằng :
+
=
+
=
=
=
+
+
n n 1 n
n n 1 n
o o
y x y
y x x
0 y x
với mọi n∈N
Giải Từ hệ phương trình trên ta suy ra :
=
=
+
+
4 x
; 1 x
x 2 x x
1 0
n 1 n 2 n
Phương trình đặc trưng :
n n
n 2 1 2
) 3 1 ( B ) 3 1 ( A x Vậy
3 1 t
3 1 t
0 2 2t -t
− + +
=
−
=
+
=
⇔
=
−
Trang 2
−
=
+
=
⇔
=
− + +
= +
⇒
=
=
2
3 1 B
2
3 1 A 4 B ) 3 1 ( A ) 3 1 (
1 B A 4 x
1 x Với 1 0
Do đó số hạng tổng quát của dãy số (xn ) là :
1 n 1
n
2
1 ) 3 1 ( 2
1
2
1 ) 3 1 ( 2
1
6
3 )
3 1 ( 6
3
Ví dụ 3 :
Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) biết rằng :
+
=
=
=
+
+ +
1 n n
1 n n 2
n
2 1
x x 2
x x x
1 x x
với mọi n∈N
Giải Đặt
n
n y
1
x = và thế vào phương trình ta được :
=
=
+
+
1 y y
y y
y 2 1
n 1 n 2 n
Phương trình đặc trưng :
n n n
2 1 2
3 B ) 1 (
A y Vậy
3 t
1 t
0 3 -2t -t
+
−
=
=
−
=
⇔
=
=
−
=
⇔
= +
= +
−
⇒
=
=
6
1 B 2
1 A 1
B 9 A
1 B 3 A 1
y
1 y Với 2 1
Do đó số hạng tổng quát của dãy số (yn) là :
`
1 n 1
n n
n n n
) 1 ( 3
2 x
6
3 2
) 1 ( y
+
− + −
=
⇒
+
−
=
Ví dụ 4 :Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) biết rằng :
+ +
=
=
x
0 x
2 n n
1 n
o
với mọi n∈N Giải
Trang 3Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi
Tá có :
=
− +
−
=
− +
−
⇒
=
− +
−
⇔
+
= +
−
⇔
+
=
−
⇔
+ +
=
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
0 1 x x x x
0 1 x x x 6 x
0 1 x x x 6 x
1 x x x x 6 x
1 x x
x
1 x x
x
2 1 n 1 n 2 n
2 2 n
2 1 n n 1 n
2 n
2 n n 1 n
2 1 n
2 n
2 n n 1 n
2 1 n
2 n n
1 n
2 n n
1 n
Để ý thêm các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 2 đều dương và từ đó suy ra (xn) tăng
Vì vậy phương trình trên tương đương với : xn+2 +xn−6xn+1 =0 (1)
Phương trình đặc trưng của (1) là:
n n
n
2 1 2
) 2 2 3 (
B ) 2 2 3 (
A x Vậy
2 2 3 t t
0 1 6t -t
− + +
=
±
=
=
⇔
= +
−
=
=
⇔
=
− + +
= +
⇒
=
=
2 4
1 B
2 4
1 A 1 B )
2 2 3 ( A )
2 2 3 (
0 B A 1
x
0 x
Với
1 0
Do đó số hạng tổng quát của dãy số là :
n n
) 2 2 3 ( 2
4
) 2 2 3 (
Ví dụ 5 :
Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn) biết rằng :
+
=
=
=
=
−
+
− + +
1 n n
2 n 1 n 1 n
2 1 n 2 n 2 1 0
x x
x x 4 x x x
64 x
4 x
1 x
với mọi n≥1
Giải Từ điều kiện bài toán ta thấy xn >0,∀n∈N.Nên điều kiện bài toán có thể viết lại :
1 n
n n
1 n 1 n
2 n
x
x x
x x
x
−
+ +
Đặt
1 n
n
n x
x y
−
= ta được yn+2 = yn+1+4yn Phương trình đặc trưng của dãy (yn) :
n n
n 2 1 2
) 1 (
B 4 A y Vậy
1 t
4 t
0 4 -3t -t
− +
=
−
=
=
⇔
=
=
=
⇔
= +
=
−
⇒
=
=
=
=
0 B
1 A 16 B A 16
4 B A 4 16 x
x y
4 x
x y
Với
1
2 2 0
1 1
Do đó số hạng tổng quát của dãy số là :
Trang 4n n n
1
) 2 n ( 1 n ( n n
2 n 1 n n n
n n
2
2 x
4 x
4
4 4 4 x
4 y
+
+ +
− +
− +
−
−
=
⇔
=
⇔
=
⇒
=
§1 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy so á truy hồi
Cho hàm số f liên tục trên (a ; b) và thỏa f((a;b))⊂(a ; b)
Xét dãy số (un) xác định như sau :
1 1
( ; ) ( ) ( 1, 2,3, )
∈
Để khảo sát sự hội tụ của dãy số (un) và tìm giới của nó ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa
Giả sử dãy số có giới hạn L thì L là nghiệm của phương trình f(x) = x trong [a;b]
Xác định số thực q∈(0;1) sao cho : u n+1− ≤L q u n −L .
n n
u + − ≤L q − u −L
Do limqn =0 , nên lim un = L
Ví dụ 1 :
Cho số thực c >2 Dãy số (xn) , n =1,2,3,…được xây dựng theo cách sau :
x = c x + = c− c x+ với (n = 0,1 , 2, …) nếu các biểu thức dưới căn là không âm
Chứng minh rằng dãy (xn) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn
∞
→
n khi x
lim n
Giải
Ta chứng minh (xn) được xác định với mọi n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp
định
xác được x Vậy
0 x c c
c c 2 x c
c 2 c c x c 0 c Do
1 0 0
0
>
+
−
⇒
<
<
+
⇒
<
+
= +
⇒
>
Giả sử xk được xác định (k≥1) thì :
0 x c c
c c 2 x c
c 2 x c c c x 0
k k
k k
>
+
−
⇒
<
<
+
⇒
<
+
⇒
<
<
<
Vậy xk+1 được xác định
Theo nguyên lý quy nạp thì xn được xác định với mọi n∈N*
Giả sử tồn tại lim xn =a thì a= c− c+a
Đặt b= c+a thì a= c−b và ta được :
1 a b
1 b a
b a b a
a c b
b c a
2 2 2 2
+
=
⇒
−
=
−
⇒
−
−
=
−
⇒
+
=
−
=
Do đó ta được c+a=a+1⇒a2 −a+1−c=0
Trang 5Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi
Vậy a là nghiệm của phương trình :
x2 – x +1 - c = 0 (*) Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu , gọi a là nghiệm dương của (*)ta có :
c a 1 c
a x c a a a
a x
) x c 1 a ( a
x c ) 1 a ( a
x c 1 a
a x c c
a x c c a x c c a x
n 2
n
n n
2 n
n
2 n n
1 n
+
−
−
= + +
−
≤
+ + +
−
− +
= +
− +
≤
+ +
−
− +
−
=
− +
−
=
−
+
Đặt q c 11a c
+
−
=
Vì c−1+a c≥1+a c>1 nên 0 <q <1
Vậy
a c q a x 0
a x q a x
n n
n 1
n
−
≤
−
≤
⇒
−
≤
−
+
Do lim qn = 0 , nên suy ra : lim xn = a
Ví dụ 2 :
Dãy số ( )x được xác định như sau : n
1 3
; 3
2 1
1
− +
=
n
n n
x
x x
Chứng minh rằng dãy số (x có giới hạn hữu hạn khi n n) →+∞ và tìm giới hạn của nó.
Giải:
• Từ cách xác định dăy số, suy ra x n ≥ 3,∀n≥1
Giả sử dãy có giới hạn là a thì a là nghiệm của phương trình :
) 3 ( ) 1 ( 1
3
− +
x
x x
< <
=
2 0
1
x , phương trình (1) trở thành :sinα −cosα + 3sinα.cosα =0 Đặt : t =sinα−cosα ( t ≤ 2 ) , ta được phương trình : 3t2 −2t− 3 =0⇔t =± 3
Suy ra :
6
) 5 1 (
3 sin
1 3
1 sin sin
3
1 cos
±
−
=
⇒
=
+
⇒
−
=
− α
α α
α α
Vậy :
2
) 1 5 (
=
a
1 3
) (
− +
x
x x
2
'
1
1 )
(
−
−
=
x
x f
Aùp dụng định lí Lagrange :
x n+1−a = f(x n)− f(a) = f'(c).x−a với c nằmgiữa xn và a
Vì
2 1
1 )
( '
−
=
⇒
≥
c
c f
4 2 1
Trang 6Suy ra : x a x a
n
≤
−
≤
−
1
1 4
2
4
2
1
=
−
a x
n
Do đó :
2
) 1 5 (
3
a
x n
Phương pháp 2 : Sử dụng tính hội tụ của dãy đơn điệu và bị chặn
Định lý Weierstrass : Nếu dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì có giới
hạn hữu hạn
Định lý : Nếu hàm số f liên tục tại x0 và dãy số (un) hội tụ về x0 thì dãy số (f(un)) hội tụ về f(x0) Chú ý các kết quả sau :
Nếu hàm số f đồng biến trên (a;b) thì dãy số (un) tăng khi x1< x2 và giảm khi x1 >x2
Ví dụ 1 :
Cho số thực a∈(0;π) Dãy số (un) với n∈N được xác định bởi : 0
1
, cos
n N
=
∀ ∈
Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khi n→+∞ và tìm giới hạn đó.
Giải Xét hàm số f(x) = x +cos x với x∈(0;π) Ta có : f’(x) = 1 – sin x ≥ 0 với mọi x∈(0;π)
Nên hàm số f(x) đồng biến trên (0;π) Mà ((0)) 1 1⇒f((0;π))⊂(0;π)
− π
= π
=
Vì u1∈(0; )π .và ((0; )) (0; )f π ⊂ π , nên bằng phương pháp qui nạp ta được
(0; ),
n
u ∈ π ∀ ∈n N Vậy dãy (un) bị chặn.
Nếu a= 2π thì ,
2
n
u =π ∀ ∈n N
Nếu 0<a< 2π thì u1<u2 , nên (un) là dãy số tăng.
Nếu π <a<π
2 thì u1 >u2 , nên (un) là dãy số giảm.
Các kết quả trên cho thấy dãy (un) hoặc là dãy số hằng hoặc là dãy đơn điệu và do (un) bị chặn nên (un) hội tụ
Gọi L = lim un thì 0L LL cosL⇔L= 2π
π
≤
≤
+
=
Do đó (un) hội tụ và lim
2
n
u =π .
Ví dụ 2 :
Cho số thực a≥1 Dãy số ( )x được xác định như sau : n
x = a ; 0 x n+1 = x n +log2 x n ( n = 0, 1, 2, 3, ….)
Chứng minh rằng dãy số (x có giới hạn hữu hạn khi n n) →+∞ và tìm giới hạn của nó.
Giải :
Xét phương trình: x +log2 x= x ⇔ x+log2 x−x =0
Hàm số f(x) = x +log2x−x ( x≥1 ) có: f’(x) = 1
2 ln
1 2
x x
2 ln
1 4
1
2
x
Trang 7Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi
2 ln
1 2
1+ − > , lim '( )=−1
+∞
→ f x
x < 0 , nên phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x0∈(1;∞).
Bảng biến thiên:
Nhậnthấy f(1) = f(4) = 0, nên từ sự biến thiên của f(x), ta suy trên [1;+∞) phương trình f(x) = 0 cóù đúng hai nghiệm: x=1 ; x=4 (1 < x0 < 4 )
Đặt g(x) = x+log2 x thì hàm số g(x) đồng biến trên [1;+∞) vàdãy(xn)đượcviếtlại
=
=
+1 ( )
0
n
x
a x
Ta xét các trường hợp sau :
TH1: a = 1
Từ g(a) = a= 1 ta suy ra xn = 1 , ∀n∈N Do đó nlim→+∞x n =1
TH2: a= 4
Trong trường hợp này g(a) = a = 4 , nên : xn= 4 , ∀n∈N Do đó nlim→+∞x n =4(0,5điểm)
TH3: 1 < a < 4
°Từ bảng biến thiên của hàm số f(x), ta suy ra với 1 < a < 4 thì f(a) > 0 ,
nên g(a) > a và do hàm số g(x) đồng biến trên [1;+∞), nên dãy số (xn) tăng
°Ta chứngminh 1 < xn < 4 , ∀n∈N (*)
Với n=0 thì x0 = a∈(0;4) : (*) đúng
Giả sử 1 < xn < 4 ⇒ g(1) < g(xn) < g(4) ⇒ 1 < xn+1 < 4 Vậy (*) đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp 1 < xn < 4 , ∀n∈N
Dãy số (xn) tăng và bị chặn nên hội tụ Gọi:n x n =b
+∞
→
lim thì:1<x0<x1<…<xn<…<4 ⇒1< b≤4 Qua giới hạn hai vế của x n+1 = x n +log2 x n ta được: b=b+log2b ⇒ b= 4⇒ lim =4
+∞
TH4: a > 4
°Với a > 4 thì f(a) < 0 , nên g(a) < a và vì hàm số g(x) đồng biến trên [1;+∞), ta suy ra dãy số (xn) giảm
°Ta chứngminh: 4 < xn , ∀n∈N (*)
Với n = 0 thì x0 = a > 4 : (*) đúng
Giả sử 4 < xn ⇒ g(4) < g(xn) ⇒ 4 < xn+1 Vậy (*) đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp 4 < xn , ∀n∈N
Dãy (xn) giảm và bị chặn dưới, nên hội tụ Gọi:n x n =c
+∞
→
lim thì x0 > x1>…> xn >…>4 ⇒ c ≥4 Qua giới hạn hai vế của x n+1 = x n +log2 x n tađược: c= c+log2c ⇒ c = 4⇒ lim =4
+∞
Kết luận: Dãy số (xn) là dãy số hội tụ và nếu a=1 thì nlim→+∞x n =1, nếu a > 1 thì nlim→+∞x n =4
Ví dụ 3 :
Cho dãy số (xn) được xác định như sau :
x 1 x0 +∞
f’(x) + 0 - f(x)
0 -∞
Trang 8
+ +
=
=
1 n x ln x
1 x
n 1
n
1
(n = 1,2,3,…)
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n→+∞ và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta chứng minh xn ≥ 1 với mọi n∈N*
Bất đẳng thức trên đúng với n=1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k , tức là :
1 k
1 k x ln x
1
xk ≥ ⇒ k+1 = k + + >
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 Từ đó suy ra : xn ≥ 1 , với mọi n∈N* tức là dãy (xn) bị chặn dưới bởi 1
Chứng minh : xn+1 < xn với mọi n ≥ 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ≥ 2) , tức là :
1 k 2 k
k 1
k
k 1
k k
1 k k
1 k
x x
k
1 k x ln 1 k
2 k x ln
k
1 k x ln 1 k
2 k x ln x
ln x
ln x
x
+ + +
+ +
+
<
⇒
+ +
<
+
+ +
⇒
+ +
<
+
+ +
⇒
<
⇒
<
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2
Vậy với mọi n ≥ 2 thì (xn) giảm và bị chặn dưới nên (xn) hội tụ
Đặt α=limxn ⇒α≥1
Trong hệ thức
n
1 n x ln
xn+1 = n + + qua giới hạn 2 vế ta được :
0 1 ln 1
lnα+ ⇔α2 − α− =
=
Xét hàm số : g(x) = x2 –lnx – 1 với x ≥ 1
x
1 x ) x ('
Suy ra : g(x) đồng biến trên [1;+∞) và g(1) = 0 nên (*) có nghiệm duy nhất trên [1;+∞) là α=1
Vậy : lim xn = 1
Ví dụ 4 : Cho dãy số (xn) được xác định như sau :
π + π
=
=
=
+
n
2 1
x sin 5
2 x 5
2 x
1 x x
(n = 1,2,3,…)
Chứng minh rằng dãy số (xn) hội tụ và tìm giới hạn đó
Giải Trước hết ta chứng minh : xn 0;2,∀n≥1
π
∈
π
∈
=
=
2
; 0 1 x
2
; 0
π
∈
Khi đó :
Trang 9Tài liệu hổ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi
2 5
2 10 x
sin 5
2 x 5
2 x
0 5
2 x sin 5
2 0 2
x
0
10
x 5
2 0 2
x
0
1 k
2 k 1
k 1
k 1
k
2 k
π
=
<
⇒
π
<
π
<
⇒
π
<
<
π
<
π
<
⇒
π
<
<
− +
−
−
Theo nguyên lý quy nạp thì xn 0;2,∀n≥1
π
∈
Ta chứng minh : xn ≤xn+1,∀n≥1 (1)
Ta có : x1=x2 và x2 < x3 nên (1) đúng với n = 1 , n = 2
Giả sử (1) đúng với mọi n ≤ k (k ≥ 2)
Khi đó :
2 k k
2 1 k 1
k
2 k 1
5
2 x 5
2 x
sin 5
2 x 5
2
π
≤
π + π
=
Vậy (1) đúng với k+1
Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng ∀n≥1 Như vậy dãy số (xn) không giảm và bị chặn nên có giới hạn
Đặt a = lim xn thì 0<a≤ 2π
Từ công thức :
a sin 5
2 a 5
2 a
x sin 5
2 x 5
2 x
2
n
2 1 n 2
n
π + π
=
⇒
π + π
+
Vậy a là nghiệm thuộc
π
2
;
5
2 x 5
5
2 x 5
2 ) x
π
π
∈
2
; 0 x
Ta có :
π
∈
<
∈
>
= π
⇔
=
⇒
π
− π
=
−
π + π
=
) 2
; x ( x khi 0
) x (' 'f
) x
; 0 ( x khi 0 ) x (' 'f
x
2 arcsin 0
) 0 (' 'f
x sin 5
2 5
4 ) x (' 'f
1 x cos 5
2 x 5
4 ) x ('
f
0 0
0 2
Bảng biến thiên của f’(x) trên
π
2
;
0 như sau :
x 0 x0
2
π
f’’(x) + 0 -
1
5π − 3
5
−
Trang 10Từ bảng biến thiên của f’(x) ta suy ra tồn tại
π
∈
2
; 0
π
∈
<
∈
>
=
⇒
) 2
; x ( x khi 0 ) x (' f
) x
; 0 ( x khi 0
) x (' f
0 ) x (' f
1 1 1
Vậy ta có sự biến thiên của f(x) trên
π
2
;
0 như sau :
Suy ra trên
π
2
;
0 phương trình (*) có một nghiệm duy nhất
2
x= π
Như thế : limxn = π2
x 0 x1
2
π
f’(x) + 0 -f(x)
0 0
