- Ba điểm không thẳng hàng khi hai vectơ không cùng phương.. - Hai đường thẳng song song ⇔2 vectơ cùng phương và không có điểm chung... Áp dụng: Viết phương trình đường cao, đường trung
Trang 1HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hệ trục tọa độ:
- Trục Ox là trục hoành: trên đó ri= (1;0) Nếu OM xi y juuuur= +r r thì tọa độ M(x;y)
- Trục Oy là trục tung: trên đó rj = (0;1)
- Điểm O là gốc tọa độ: O(0;0)
Các công thức tọa độ điểm và vectơ
1/ Tọa độ điểm:
a/ Tọa độ điểm đặc biệt trong mặt phẳng:
Điểm M nằm trên các trục tọa độ:
- Trục Ox thì tọa độ M(x;0)
- Trục Oy thì tọa độ M(0;y)
Điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ M(x;y)
b/ Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, tâm hình bình hành
*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: với A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 thì tọa độ trung điểm ( 1 2 ; 1 2 )
2 2
x x y y
*Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: với A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 3 3 thì tọa độ ( 1 2 3 ; 1 2 3 )
*Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD: với A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 3 3 D x y4 4 thì tọa độ tâm của nó là
1 3 1 3 2 4 2 4
( ; ) hay ( ; )
x x y y x x y y
c/ Công thức tính độ dài đoạn thẳng: cho 2 điểm A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 thì ta có: 2 2
2 1 2 1
AB= x −x + y −y
Chú ý: dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính khoàng cách từ 1 điểm đến 1 điểm, một đoạn thẳng,
chu vi một hình,
2/ Vectơ:
Cho hai điểm A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 ; khi đó, ta có công thức tính tọa độ vectơ uuuurAB là uuurAB = (x2 −x y1 ; 2 − y1 )
*Cho hai vectơ ar = ( ; ) và a a1 2 br = ( ; )b b1 2 ; khi đó, ta có các công thức sau:
CT1: (Tọa độ vectơ tổng và vectơ hiệu của 2 vectơ) ar± =br (a1 ±b a1 ; 2 ±b2 )
CT2: (Tọa độ của vectơ tích của một số thực với một vectơ) kar = (ka ka1; 2) (k là số thực bất kỳ)
CT3: (Tích vô hướng của 2 vectơ) a b a b r r = 1 1 + a b2. 2
CT4: (Hai vectơ cùng phương) 1 2
1 2
a b a kb
b b
r r r r
Chú ý: Vận dụng 2 vectơ cùng phương để chứng minh:
- Ba điểm thẳng hàng ⇔2 vectơ cùng phương và có điểm chung.
- Ba điểm không thẳng hàng khi hai vectơ không cùng phương.
- Hai đường thẳng song song ⇔2 vectơ cùng phương và không có điểm chung.
CT5: (Hai vectơ vuông góc) ar ⊥ ⇔br a burr = ⇔ 0 a b1 1 +a b2 2 = 0
Chú ý: Vận dụng 2 vectơ vuông góc để chứng minh:
- Tam giác vuông
- Hai đường vuông góc
CT6: (Hai vectơ bằng nhau) 1 2
a a
a b
b b
=
= ⇔ =
r r
Chú ý: Vận dụng 2 vectơ bằng nhau để:
Tìm tọa độ điểm khi biết tứ giác đó là một hình bình hành.
CT7: (Tính góc của 2 vectơ) 2 1 12 222 2
1 1 2 2
cos( ;)
a b a b
a b a
a b a b a b
+
urr r
r r
3/ Phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát ax by c+ + = 0 trong đó có vectơ pháp tuyến nr = ( ; )a b
O y
x
Trang 2Chú ý: phương trình trục Ox: y = 0 có vectơ pháp tuyến nr = (0;1);
phương trình trục Oy: x = 0 có vectơ pháp tuyến nr = (1;0);
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua M x y( ; ) 0 0 và có vectơ pháp tuyến nr = ( ; )a b có dạng :
a x x − + b y y − = (1)
Mối liên hệ giữa các vectơ đặc biệt trong đường thẳng:
+ Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến nr = ( ; )a b Viết phương trình tổng quát (1)
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ur = ( ; )a b suy ra vectơ pháp tuyến nr = − ( ; )b a hoặc nr = ( ;b a− )
+ Nếu d có hệ số góc k Suy ra vectơ pháp tuyến nr = − ( k;1) hoặc vectơ chỉ phương ur = (1; )k
4/ Phương trình phân giác của đường thẳng:
Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát: d: ax by c+ + =0và d’: a x b y c' + ' + =' 0
Phương trình phân giác có dạng: 2 2 ' 2 ' 2 '
ax by c a x b y c
+ + = ± + +
Các dạng phương trình đường thẳng:
Dạng 1: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A x y B x y( ; ); ( ; ) 1 1 2 2 có dạng : 1 1
− = −
− − ; biến đổi về
dạng tổng quát
Hay ta có đường thẳng đi qua A,B có vectơ chỉ phương uuurAB= (x2 −x y1 ; 2 − y1 )suy ra vectơ pháp tuyến
2 1 2 1 2 1 2 1
AB
n = y − y − x −x = − y − y x −x
uuur
, từ đó viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y( ; ) 0 0 và song song với đường thẳng có vectơ pháp tuyến ( ; )
n= a b
r
, thì áp dụng phương trình tổng quát (1) để viết
Áp dụng: Viết phương trình đường cao, đường trung trực trong tam giác,…
Dạng 3: Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng đã cho ax by c+ + = ' 0 có dạng ax by c+ + = 0
Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm c
Dạng 4: Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho ax by c+ + = ' 0 có dạng bx ay c− + = 0
Dạng 5: Phương trình đường thẳng biết hệ số góc k (hay song song với đường thẳng có hệ số góc k) có
dạng: y kx b= + Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm b
Dạng 6: Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k’ có dạng y kx b= + với điều kiện k k ' = − 1 Sau đó dùng tính chất điểm thuộc đường thẳng để tìm b
Bài tập:
1/ Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(-1,2); B(2,4); C(1;-4) Viết phương trình các đường thẳng
a/ Chứa trung trực của các cạnh AB, BC, CA
b/ Chứa các đường cao của tam giác ABC
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;2) và
a/ song song với đường thẳng có vectơ pháp tuyến nr = (3; 4)
b/ song song với đường thẳng (d) : 3x− 4y+ = 5 0
c/ song song với trục Ox
d/ Vuông góc Oy
e/ Có hệ số góc k = 2
f/ Vuông góc đường thẳng có hệ số góc k = -1
g/ Tạo với đường thẳng d: 3x− 4y+ = 5 0 một góc 600