Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I.. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1.. Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng A1BM.. Theo c
Trang 1Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I(2.0 điểm) Cho hàm số y x= 4−5x2+4, cĩ đồ thị (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm m để phương trình 4 2
2
|x −5x + =4 | log m cĩ 6 nghiệm
Câu II (2.0 điểm).
1 Giải phương trình: sin 2x sin x 1 1 2cot 2x
2sin x sin 2x
2 Tìm m để phương trình: m( x2−2x 2 1+ + +) x(2 x) 0 (2)− ≤ cĩ nghiệm x ∈0; 1+ 3
Câu III (1.0 điểm) Tính
4 0
2x 1
1 2x 1
+
=
∫
Câu IV (1.0 điểm)
Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cĩ AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và BAC∧ = 120 o Gọi M là
trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
Câu V (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số dương Chứng minh :
3x+2y+4z≥ xy+3 yz+5 zx
II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
1 Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a (2.0 điểm).
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( 1; 3; 0), (1; 3; 0) à M(0; 0; a)B − C v với
a > 0 Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (MBC)
1 Cho a= 3 Tìm gĩc giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC)
2 Tìm a để thể tích của khối chĩp BCMN nhỏ nhất
Câu VII.a (1.0 điểm).
Giải hệ phương trình:
( , )
y
x
x y
−
−
2 Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2.0 điểm)
Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuơng gĩc với mp (P)
2 Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất
Câu VII b (1.0 điểm)
(log 8 log x )log+ 2x 0≥ ……… Hết………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………số báo danh:………
Trang 2Câu I:
9
4 4
12
9
4
Câu II:
1 Giải phương trình : sin 2x sin x 1 1 2cot g2x
2sin x sin 2x
(1) ⇔− cos22x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0
⇔ cos2x 0 v2 cos x cosx 1 0(VN)= 2 + + =
⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x= + π ⇔ = +π k x π kπ
2 Đặt t= x2−2x 2+ ⇔ t2− 2 = x2− 2x
+
2
t 2
m (1 t 2),do x [0;1 3]
t 1 Khảo sát g(t) t2 2
t 1
−
= + với 1 ≤ t ≤ 2 g'(t)
2
2
t 2t 2 0
(t 1)
+ +
+ Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt ⇔bpt m t2 2
t 1
−
≤ + có nghiệm t ∈ [1,2]
⇔
[ ]
∈
t 1;2
2
m max g(t) g(2)
3
Câu III Đặt t= 2x 1+ ⇒t2=2x 1+ ⇔2tdt 2dx= ⇔dx tdt= ; Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1
Vậy
1 2x 1
3 2
1
t t ln t 1 2 ln 2 2
Câu IV (Bạn đọc tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Axyz sao cho: A ≡ 0, C 2a,0,0 , (− ) A (0,0,2a 5)1
a a 3 A(0;0;0),B ; ;0
2 2 và M( 2a,0,a 5)−
1
BM a ; ; 5 , MA a(2;0; 5)
Ta có: uuuur uuuuurBM.MA1=a ( 5 5) 02 − + = ⇒BM MA⊥ 1 Ta có thể tích khối tứ diện AA1BM là :
∆
= 1 uuuuur uuur uuuur1 =a 153 BMA1 =1 uuur uuuuur1 = 2
Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA1) bằng d=3V a 5=
Cách khác:
+ Ta có A M1 2 =A C1 12+C M1 2=9a ; 2 BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cos1200=7a 2
BM2=BC2+CM2=12a ; 2 A B1 2=A A1 2+AB2=21a2=A M1 2+MB2
⇒MB vuông góc với MA1
+ Hình chóp MABA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau
Trang 3⇒ =V VMABA1 =VCABA1 = AA S1 ABC= a 15
3 3 ⇒d(A,(MBA ))1 =SMBA1 =MB.MA1 = 3
Câu V Theo BĐT Cauchy
2 x y+ ≥ xy 2 y z+ ≥ xy 2 z x+ ≥ xy Cộng vế điều phải chứng minh
Câu VI.b.
1 Ta có AB ( 2,4, 16)uuur= − − cùng phương với a ( 1,2, 8)r= − −
mp(P) có PVT uurn (2, 1,1)= −
Ta có [ n ,a] = (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)uur r
Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là :
2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0
⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0
2 Tìm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất
Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với
Mp (P) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; Pt AA' : x 1 y 3 z 2
−
AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của ;
− + + =
2x y z 1 0
H(1,2, 1)
x 1 y 3 z 2
Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
2y y y A'(3,1,0)
Ta có A'B ( 6,6, 18)uuuur= − − (cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B : − = − =
−
x 3 y 1 z
Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
− + + =
2x y z 1 0
M(2,2, 3)
x 3 y 1 z
Câu VII.b.
1 Điều kiện x > 0 , x ≠ 1
1 2 log x 1log 2x 0
2
1 log x log x 1 0
1 log x
3
2
log x 1 log x 1
1 log x 1v log x 0 0 x v x 1
2
