Tìm a để hệ có nghiệm với tích xy nhỏ nhất.. C/m phương trình vô nghiệm.. Trên đoạn MN lấy điểm D sao cho ND = 3MD.. Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM; AN theo thứ tự tại K và E.. Gọ
Trang 1Đề thi chuyên tin lam sơn - Thanh Hóa (20-6-2010)
Thời gian 150’
Câu 1: (2.5)
1 Cho 3
m = 3 2 2 + − 3 2 2 1 − − ; 3
n = 17 12 2 + − 17 12 2 2 − +
Tính giá trị biểu thức: T = 2(20m+6n)2- 38
2
+ − + + =
Câu 2: (2.5)
( )
x y 2a 1 1
1 GPT với a = 1
2 Tìm a để hệ có nghiệm với tích xy nhỏ nhất
Câu 3: (1.0)
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆
C/m phương trình vô nghiệm
Câu 4: (3.0)
Cho ∆ABC cân tại A có ∠BAC = 150o Dựng các ∆AMB và ∆ANC sao cho các tia AM, AN nằm trong góc BAC và ∠ABM = ∠CAN = 90o; ∠NAC = 60o và
∠MAB = 30o Trên đoạn MN lấy điểm D sao cho ND = 3MD Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM; AN theo thứ tự tại K và E Gọi F là giao điểm của BC với
AN Cmr:
1 ∆NEC cân
2 KF // CD
Câu 5: (1.0)
Giải pt trên tâp số nguyên
(2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1)
Hết
Trang 2Hướng dẫn giải Câu 1: (2.5)
1,
3
m = 3 2 2 + − 3 2 2 1 − −
3
3
n = 17 12 2 + − 17 12 2 2 − +
3 3
T = 2(20m+6n)2- 38= 2(20.1 + 6.2)2 - 38 = 2010
2
+ − + + =
2
⇒pt: 2(t2 - 2) - 7t + 9 = 0⇔ 2t2 - 7t +5 = 0 ⇔ x1= 1 (loại) ; x2 = 5/2 (t/m)
x2 = 5/2 ⇒ 2
Câu 2: (2.5)
( )
x y 2a 1 1
1, Thay a =1 ta có hệ: ( )
( )
2 2
x y 3 1
x y 5 2'
+ =
Bình phương (1) ⇒ x2 + y2 + 2xy = 9 kết hợp với (2’) ⇒ xy = 2
Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X2 - 3X + 2 = 0 ⇒ X1 = 1 ; X2 = 2
(x ;y) = (1 ;2) hoặc (2 ;1)
2, Tìm a để hệ có nghiệm với x.y nhỏ nhất
Tương tự như trên ta có : ( )
( )
2
x y 2a 1 1
xy a +1 2'
=
Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X2 - (2a + 1)X + a2 + 1 = 0
∆ = (2a + 1)2 - 4(a2 + 1) = … = 4a - 3 ≥ 0 ⇔ a ≥ ¾
⇒ xy = a2 + 1 ≥ 9/16 + 1 = 25/16 Dấu bằng ⇔ x = y = 5/4
KL : với a = ¾ thì hệ pt có nghiệm t/m x.y đạt giá trị nhỏ nhất Câu 3: (1.0)
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆
∆ = (a + b + c)2 - 4ab - 4bc - 4ca = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca
Ta có a, b, c là ba cạnh của ∆⇒
2
2
2 2 2
< + ⇒ < +
< + ⇒ < + ⇒ + + ≤ + +
< + ⇒ < +
Vậy pt vô nghiệm.
Trang 3Câu 4: (3.0)
30 a
1
a 3
a 3
1
1 1
K
A'
O
E
D M
F
N
A
gt:
kl: a, ∆CNE cân
b, KF// DC
C/M
a, Đặt AB = AC = a
∆CAN vuông tại C⇒ NC a 3 = (1)
( )
AE / /BA '
a 3
3
⊥ ⇒
Từ (1) và (2) ⇒ NC = NE ⇒
∆CNE cân đỉnh N
b,
* Tứ giác ABA’C nt, tg BACE nt (vì ∠B1 = 15o = ∠E1) Gọi tâm đ.tròn đi qua 5 điểm B,A,C,E,A’
là O
* ∆BOC cân có ∠B=60o⇒ ∆BOC đều
O là tđ của BE, BD = ¼ BE ⇒ D là tđ của BO
⇒ CD là đương cao của ∆BOC ⇒ CD ⊥ BO (3)
* ∠A’BE = ∠A’CE = 15o ⇒ ∆ABK cân tại A ⇒ AK = AB = AC
… ⇒ ∆AFK = ∆AFC (cgc) ⇒ ∠K1= ∠C1 = 15o Mà ∠B1= ∠C1⇒ tg ABKF nt
⇒ … ⇒ ∠BKF = 1v ⇒ KF ⊥ BO (4)
Kết hợp (3), (4) ⇒ KF // CD (hq)
Câu 5: (1.0)
Giải pt trên tâp số nguyên
C 1 (2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1) ⇔ [2x - 1 - (y + 1)]2 = 7[x - (y + 1)2]
⇔ [2x - 1 - m]2 = 7[x - m2] ⇔4x2 + 1 +m2 - 4x + 2m - 4mx = 7x - 7m2
⇔4x2 - (11+4m)x + 8m2 + 2m + 1 = 0
Tính ∆m ≥ 0 ⇒ … ≤ m ≤ … = … ⇒ -7/4 ≤ y ≤ ¼ ⇒ y = - 1;0
⇒ y = - 1 ⇒x = … (loại); y = 0 ⇒ x = 1 (t/m)
KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0)
C 2 (2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1)
⇔ 4x2 - (15+4y)x + 8y2 + 18y + 11 = 0
∆x = (15+4y)2 - 4.4(8y2 + 18y + 11) = -112y2 - 168y + 49
∆x ≥ 0 ⇔ -112y2 - 168y + 49 ≥ 0 ⇔ 16y2 + 24y - 7 ≤ 0
∆’y = … = 256 ⇒ y1= -7/4 ; y2 = ¼
∆’y ≥0 ⇔-7/4 ≤ y ≤ ¼ mà y nguyên ⇒ y = 0 ; 1 ⇒ x = … (∉Z) ; 1 ∈Z
KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0)