Cho O đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn C khác A, B và trung điểm cung AB.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB.. Đường tròn O1 đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn O2 đ
Trang 1Đề thi vào lớp 10,Khối THPT chuyên trường ĐHSP Hà Nội năm 2009
Vòng 2
Bài 1
Các số thực x, y thỏa mãn xy 2, 2 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Bài 2.
a) Cho phương trình x2 + bx + c = 0 , trong đó tham số b và c thỏa mãn đẳng thức b+c=4 Tìm các giá trị của b và c để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2
x x x
b) Giả sử (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình
Tính A=x+y+z
Bài 3
Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn các điều kiện sau
i) ap+1 chia hết cho q
ii) aq+1 chia hết cho p
Chứng minh
pq a
2 p q
Bài 4
Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B và trung điểm cung AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F
a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp
b) Gọi O3 là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O Chứng minh H, O3, Dthẳng hàng
c) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với (O)
Chứng minh KE vuông góc với KF
Bài 5
Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 được chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kì không có điểm chung trong) Ký hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này
a) Hãy chỉ ra một cách chia để P=2,02
b) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P