Đờng tròn đờng kính OM cắt đờng tròn O;R tại hai điểm E, F.. 1 Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn O;R là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.. Đoạn thẳng OA cắt đ
Trang 1Sở Gd - đt Hà Nội
===***===
Vòng 2
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 - Toán- tin
trờng Chuyên.Amsterdam và Chu văn an
Năm 2010-2011
Thời gian 150 phút Ngày 23-6-2010
===***===
Bài I (2 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Bài II (2 điểm)
Cho phơng trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho
1) Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Bài III (2 điểm)
1) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010
a + 2010
> 2
a + 2009
2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình:
y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Bài IV( 3 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn Đờng tròn đờng kính OM cắt
đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF
2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính OM (A khác E và F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B Chứng minh OA OB = R2 3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn (O; R) (N khác E và F) Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt
đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F) Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại
điểm Q Chứng minh rằng:
PN PK + QN QK 3 2
≤
Bài V (1 điểm)
Giải phơng trình: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
===***===
Trang 2Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010
Bài I (2 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
1) A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 suy ra điều phải chứng minh
2) B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)
n2 – n – 1 < n2 + n – 1 để B là số nguyên tố thì n2 – n – 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn
Bài II (2 điểm)
Cho phơng trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho
1) Tìm các giá trị của m để : x1 + x2 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Gợi ý :
1) dễ có phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Theo vi et :
+ +
−
=
+ +
+
−
= +
2 2 1
2 2
2 2
2 2 1
2
2 2 1
m m x x
m m
m m x
x
thay vào , tìm đợc m
2) S =
2 2
2 2 2
2
+ +
+
−
m m
m
Sau đó xét hiệu S – (3 − 2 2) và hiệu S – (3 + 2 2) ta tìm đợc max, min
Hoặc dùng phơng pháp đenta
Bài III (2 điểm)
1) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010
2010
2 2009
a a
+
2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình:
y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Gợi ý :
1) a2010 + 2010 = (a2010 + 2009 ) + 1 ≥ 2 a2010 + 2009 Suy ra điều phảI chứng minh
Dấu bằng không xẩy ra
2 Đặt (x - 1)2 = t ≥ 0 phơng trình có dạng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1 giải theo ớc số
Bài IV( 3 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn Đ ường tròn đờng kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F
Trang 31) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF
2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính OM (A khác E và F) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B Chứng minh OA OB = R2 3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn (O; R) (N khác E và F) Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng EN tại điểm P, d cắt
đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F) Hai đờng thẳng FN và KE cắt nhau tại
điểm Q Chứng minh rằng:
PN PK + QN QK
2 3
2 R
≤
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
1) Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đờng tròn (O), từ đó dễ chứng minh đợc cung EI = cung
FI của đờng tròn (O) Dễ dàng chứng minh đợc EI, FI, MI là các đờng phân giác của tam giác MEF
2) Gọi EF cắt OM tại H Dễ chứng minh đợc : OA.OB = OH.OM = OE2
3) Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ΔMEF và ΔMEF đều có cạnh bằng R 3
Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ ⊥EK
Ta có PN PK + QN.QK = 2.SKPNQ ≤ KN.QP dấu bằng khi KN ⊥ PQ (*)
Mà N là trực tâm ΔEKF, nên KN = 2 IH = R (1)
Ta có ΔKPQ đồng dạng với ΔKEF , nên = = 21
KE
KP EF
PQ
⇒PQ =R23 (2) Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh
dấu bằng khi KN ⊥ PQ hay N, I trùng nhau
Bài V (1 điểm)
Giải phơng trình: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
Gợi ý :
Nếu x ≥ 1Thì VT = (x8 – x7) + (x5 – x4) + (x3 – x) + 1 ≥ 1 không có nghiệm
Nếu 1> x > 0Thì VT = (x5 – x7) + (x3 – x4) + (1 – x) + x8> 0 không có nghiệm
Nếu x ≤ 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt vô nghiệm