Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB.. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.. Gọi E, F, G theo
Trang 1Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm)
1 Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) − 3 = 0
3
2 - 3
2 - 3
x =
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phơng trình:
ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b
(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là:
a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 3 (2,0 điểm)
1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn:
x = 2x x - y + 2y - x + 2
2 Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Biết rằng P(m) = P(n) (m ≠ n) Chứng minh: mn
≥ 4ac - b2 2
4a
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi I là điểm trên cung nhỏ
AB (I không trùng với A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng
BC, CA và AB
1 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
2 Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất
3 Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA
và AB Kẻ EQ vuông góc với GF Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC
Bài 5 (0,5 điểm)
Giải bất phơng trình:
2x 4x 4x 16x 12x 6x 3 4x 2x 2x 1
Hết
-Họ và tên thí sinh:……… ……… Số báo danh:……….
đề chính thức
Trang 2Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
Năm học 2010 - 2011
Đáp án - biểu điểm môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
(Đáp án gồm 05 trang)
Bài
1 1 Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) − 3 = 0
2.Tính giá trị của biểu thức A = (x 3 − 3x − 3) 2011 với 3 2 - 3+ 3 1
2 - 3
1)
(1.5đ
)
t x= + x+ = +x − ≥ −
⇔ + − = ⇔ ∈ − Vì 9
4
5 4 1
2
x + x+ = ⇔ =x − ±
Vậy PT đã cho có hai nghiệm 5 13
2
2)
(1.0đ
)
Đặt
3
3
1
1
1
b
ab
0.5
Ta có x3 = + (a b) 3 =a3 + +b3 3 (ab a b+ = + ) 4 3x
Bài
2 Cho hệ phơng trình:
ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b
(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là:
a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
(2.0đ)
Điều kiện cần : Giả sử HPT đã cho có nghiệm (x ; y) Khi đó
bx cy a cx ay b ax by c
a bx ab y ac x ca y b cx bc y
3
ab ax by ca cx ay bc bx cy abc cab bca abc
Trang 3Điều kiện đủ: Giả sử
3
a b c abc
a b c ab a b abc
+ + =
1
2
a b c a b c a b c ab a b c
a b c a b b c c a
a b c
a b b c c a
⇔ + + + − + + − + + =
⇔ + + − + − + − =
⇔ − + − + − = ⇔ = =
0.25
• a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1
• a=b=c , nhận thấy HPT có nghiệm : x = 0 ; y=1 (hoặc x = 1 ; y = 0) Vậy nếu a3 + + =b3 c3 3abc thì HPT đã cho có nghiệm 0.25
Bài
3 1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn:
x = 2x x - y + 2y - x + 2( )
2 Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
Biết rằng P(m) = P(n) (m ≠ n) Chứng minh: mn ≥ 4ac - b2 2
4a
(2.0đ)
1)
Vì x > 0 nên x = 2x x - y + 2y - x + 2( ) ⇔x2 =2x x - y + 2y - x + 2( )
0.25 ⇔ 2 (y x− = 1) x2 − +x 2 (1)
• x = 1 , (1) không đợc thoả mãn 0.25
• x≠ 1 , (1) 2 2
1
y x
x
⇔ = +
−
Vì x, y *
+
1 1; 2
2 (x 1) x
− ∈ ± ±
−
⇒ ⇒
M
{ }2;3
x
⇒ ∈ .Hai giá trị này của x thay vào (1) đều cho y = 2
Vậy các giá trị nguyên dơng x, y cần tìm là x y= = 2 và 3
2
x y
=
=
Do P(m) = P(n) nên am3 +bm2 +cm d an+ = 3 +bn2 +cn d+
0.5
a m n b m n c m n
2
(m n a m n) ( ) b m n( ) amn c 0
⇔ − + + + − + = ( Do m n≠ )
2
a m n b m n amn c
Trang 42
2
2 2
2 2
4
4
4
ac b
a
⇒ − = + + + + − + ữ = + + ữ ≥
−
Bài
4
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi I là
điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB.
1 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2 Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
3 Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB Kẻ EQ vuông góc với GF Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC.
3.0
1)
Từ giả thiết có IPA INAã + ã =180o ⇒Tứ giác IPAN nội tiếp
IPN IAN
Lại do ⇒ãIPB IMB= ã = 90 o ⇒ Bốn điểm I , P , M , B nằm trên đờng tròn đ-ờng kính BI
MPI IBM
Vì I∈( )O ⇒CAI IBMã + ã =180 (3)o
Từ (2) và (3) ⇒MPI CAIã = ã (4)
0.25
N
M
P
O
A I
Trang 5Từ (4) và (1) ⇒MPI IPN CAI IANã +ã = ã +ã = 180 o
2)
Theo chứng minh trên ta có
IBA IMN= (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đờng tròn qua 4 điểm
I , B , M , P)
I , N , A , P)
0.25
BA IB IA
0.25
N A
≡
⇔ ≡ ⇔ = = o ⇔
là đờng kính của ( )O
3 )
Gọi B' , C' lần lợt là hình chiếu của B và C trên GF
Chứng minh đợc ãB GB C FC' = ã ' (7) , suy ra ∆BB G' : ∆CC F g g' ( )
'
(8) '
BB BG
CC CF
'
BG BE B Q
CF =CE = QC
BB B Q
Từ (7) và (10) ⇒ ∆BB Q' : ∆CC Q c g c' ( ) ⇒BQBã ' =CQCã ' ⇒BQE CQEã = ã
Vậy QE là phân giác của góc BQC
0.25
C'
B'
Q
A
G
F
E
Trang 6Giải bất phơng trình:
2x + 4x + 4x− 16x + 12x + 6x− ≥ 3 4x + 2x − 2x− 1 0.5
ĐKXĐ: 2x3+4x2+4x=x(x2+(x+2)2)≥0⇔x≥0
3
2x+ 1 + 2x − − 1 2x+ + 1 2x+ − 1 2x+ 1 + 4 2x − ≥ 1 2x − 1 2x+ 1
Đặt A = 2x3 + 4x2 + 4x + 2x+ 1
3
2x+ 1 + 2x+ 1 16x + 12x + 6x− + 3 16x + 12x + 6x− 3
Với x≥0, ta có A≥1,B > 0.Vì vậy
x x
−
0.25
A B
−
⇔ − − − ữ≥
−
≥ ⇒ ≤ > ⇒ − − < Do đó 1 A 4 2x 0
− − − < Thành
3
1
2
⇔ − ≤ ⇔ ≤
2
x
≤ ≤
0.25
Chú ý :
+) Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết
+) Khi chấm yêu cầu bám sát biểu điểm
+) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo thang điểm
+) Điểm toàn bài không làm tròn ( lấy đến 0.25
