2 Viết phơng trình của các tiếp tuyến chung của hai Elip.. 2 Chứng minh rằng tiếp tuyến từ M bất kỳ thuộc đồ thị ở C luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi... Hãy
Trang 1Đề số 116
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = − 3 +3mx2 −2
m
x với m ≠ 0
1) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng 2) Tìm tất cả những điểm nằm trên đờng thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m = 1
Câu2: (2 điểm)
1) Tìm m để phơng trình: ( +4 )+ (2 −2 −1) =
3 1
2
3 x mx log x m
có nghiệm duy nhất
2) Giải bất phơng trình: 5x+1− 4x−1≤3 x
Câu3: (2 điểm)
1) Giải phơng trình: cos x−π+cos x+π+4sinx=2+ 2(1−sinx)
4
2 4
2
2) Cho x, y ∈ −π4;π4 Chứng minh bất đẳng thức: 1 <1
−
−
tgy tgx
tgy tgx
Câu4: (2 điểm)
1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập đợc bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần
2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 ngời sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Câu5: (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy Cho 2 Elip có phơng trình:
1
2
3
2
2
=
3 2
2 2
=
x
1) Viết phơng trình của đờng tròn đi qua giao điểm của hai Elip
Trang 22) Viết phơng trình của các tiếp tuyến chung của hai Elip
Đề số 117
Câu1: (2,5 điểm)
Cho hàm số: y =
2
3 2
2
+
− +
+
x
m mx
x (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến từ M bất kỳ thuộc đồ thị ở (C) luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi
3) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (d): x + 2y + 8 = 0
Câu2: (1,75 điểm)
1) Tìm m để bất phơng trình: (3m +1)12x +(2−m)6x +3x <0 đúng với ∀x > 0 2) Giải phơng trình: ( 7+4 3) (sinx + 7−4 3)sinx =4
Câu3: (1,5 điểm)
Cho phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 1) Giải phơng trình với m =
2
3
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ∈ π 2π
3
2;
Câu4: (2,5 điểm)
1) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345?
2) Tính tích phân sau: I = ∫3 −
2
2 1dx x
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y = x2, y =
8
2
x và y =
x
27
Câu5: (1,75 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c
1) Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c
Trang 32) Giả sử M và N lần lợt là trung điểm của AB và BC Hãy tính thể tích tứ diện DD'MN theo a, b, c
Đề số 118
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = ( 3 ) 8( 2 1) 1
3
2x3 + cosa − sina x2 − cos a + x+ (a là tham số)
1) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu
2) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 Chứng minh rằng x12 +x22 ≤ 18 ∀a
Câu2: (2 điểm)
Cho hệ phơng trình:
=
− +
=
− +
0
0
2 2
a ay x
x y x
1) Giải hệ phơng trình khi a = 1
2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng:
(x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 ≤1
Câu3: (1 điểm)
Giải phơng trình lợng giác: sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx
Câu4: (2 điểm)
1) Tính tích phân: I = ∫2 − − +
1
0 2 3 2
1 4
dx x
x x
2) Tính giới hạn:
x x
x x
lim
+
−
−
1
0
Câu5: ( 3 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz xét ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng (ABC )
2) Xác định các toạ độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC) Tính độ dài OH
Trang 43) Tính diện tích ∆ABC.
4) Giả sử a, b, c thay đổi nhng vẫn thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = k2 với k >
0 cho trớc Khi nào thì ∆ABC có diện tích lớn nhất? Chứng minh rằng khi đó đoạn OH cũng có độ dài lớn nhất
Đề số 119
Câu1: (2,5 điểm)
Cho hàm số: y = ( )
m x
m x
m x
+
−
+ +
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (0; +∞)
3) Chứng minh rằng với ∀m ≠ 1, các đờng cong (1) đều tiếp xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định
Câu2: (2 điểm)
1) Tìm m để hệ sau có nghiệm:
=
− +
−
=
− +
4 4
5
1 xy )
y x (
m xy
y x
2) Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( )
−
= +
− +
− +
+
= +
− +
1 4
2 2 4
1
3 1
2
4
2 4 4
4 4
2 2 4
y
x log x
y y
log xy
log
y x log x
log y
x log
Câu3: (1 điểm)
Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó
có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi
dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Câu4: (2 điểm)
Cho tích phân: In = ∫
π 2
0
xdx cosn n ∈ N*
1) Tính I3 và I4
2) Thiết lập hệ thức giữa In và In - 2 với n > 2 Từ đó tính I11 và I12
Câu5: (2,5 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a trên AB lấy điểm M, trên CC' lấy điểm N, trên D'A' lấy điểm P sao cho AM = CN = D'P = x (0 ≤ x ≤ a)
Trang 51) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều Tính diện tích ∆MNP theo
a và x Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhất
2) Khi x =
2
a hãy tính thể tích khối tứ diện B'MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ấy
Đề số 120
Câu1: (2,5 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
2
5
2
−
−
+
x
x
x (C)
2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ ∈ (C) đến các tiệm cận là 1 hằng số
3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
Câu2: (1,75 điểm)
Cho hệ phơng trình: ( )
−
= +
−
= +
1
1
2
2
x m y xy
y m x xy
1) Giải hệ phơng trình với m = -1
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Câu3: (2 điểm)
1) Giải phơng trình: 3cotg2x+2 2sin2x=(2+3 2)cosx
2) Tam giác ABC có AB = AC = b, BC = a Biết đờng tròn nội tiếp tam giác đi qua trung điểm E của đờng cao AH Chứng minh: 3a = 2b; Tính bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác theo a
Câu4: (1,75 điểm)
1) Tính tích phân: I = ∫1 −
0
3
5 1 x dx x
2) Chứng minh rằng: C1n3n−1 +2.C2n3n−2 +3.C3n3n−3 + +n.Cnn =n.4n−1
Câu5: (2 điểm)
1) Lập phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh trên ba đờng thẳng sau: 5y = x - 2; y = x + 2; y = 8 - x
Trang 62) Lập phơng trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -1) cắt đờng thẳng:
(d):
=
− +
−
= + +
−
0 8 4
3
0 20 3
4 5
z y x
z y x
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16