Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số.
Trang 1Chuyên đề : bất đẳng thức đại số
Chứng minh bất đẳng thức
2) a2 b2 c2 a b c
b c c a a b 2
+ +
b c a c a b a b c+ + ≥
5) abc+ (1 a 1 b 1 c− ) ( − ) ( − <) 1; a, b, c∈( )0;1
6) b c c a a b
7)
3
b c a
9) a 2 b 2 c 2 3
2
10) a 2 b 2 c 2 d 2
11) a2 b2 c2 d2
a, b, c, d 0 4
+ + +
15) a 12 b 12 c 12
b 1 c 1 a 1
2
+ +
18)
4 a b c
+ +
19)
Trang 23; a, b, c 0
21) a3+b3+ ≥c3 a b c b c a c a b;+ + + + + a, b, c 0 : abc 2> =
a b c ab bc ca
23)
1 y z 1 z x 1 x y
25)
1; x, y, z 0
x x y x z +y y z y x +z z x z y ≤ >
26) 52a b+ +52b c+ +52c a 3 3;+ ≤ 5 a, b, c 0,a b c 3≥ + + =
27) ( )6 2 3
31) 3 1 3 12 12
+
32) 2 1 2 21 2 21 2 1 1 1 81
ab bc ca 2
33) 5(2a b a c a+ ) ( + ) +5(2b c b a b+ ) ( + ) +5(2c a c b c 3 6;+ ) ( + ) ≤ 5 a, b, c 0 : a b c 3> + + =
2abc c ab a bc b ac 2
35)
12
36) 3 3 3
ab bc ca
b c a
37) ( 3 3 3 3) 2 2 2 2 1
8
38) 2 2 2
b c d
39)
a +a b +b + b +b c +c + c +c a +a ≥a 2a +bc b 2b+ + +ac c 2c +ab; abc 0≥
40)
÷ ÷ ÷ ÷
Trang 341) a b c 3
2
44) a b b c c a a b c;3 + 3 + 3 ≥ + + a, b, c 0 : abc 1> =
45)
2
46) a b4 b c4 c a4
dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức
( )2
a b− ≥0 ; A2+B2+ + C2≥0 ; A2+B2+ + C2+ α >0 ,(α >0) ; Tích các số không âm
là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng hằng đẳng thức
Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
3
3 3
≥ ữ c) a2+b2≥2ab
c) a2+b2+b2≥ab bc ca+ + d)a2+b2+ + ≥c2 3 2 a b c( + + )
e) a2+b2+ +c2 d2+e2≥a b c d e( + + + ) f) a2+b2+ ≥1 ab a b+ +
a) a2+b2+c2≥2ab 2ac 2bc− + b)a2 b2 c2 ab ac 2bc
4 + + ≥ − +
c) a2+2b2−2ab 2a 4b 2 0+ − + ≥ d)a2+5b2−4ab 2a 6b 3 0+ − + >
e) x4+y4+z2+ ≥1 2x xy( 2− + +x x 1)
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh các BĐT sau:
a) ab bc ca+ + ≤ a2+b2+c2 ≤ 2 ab bc ca( + + )
b) abc≥ + −(a b c b c a c a b) ( + − ) ( + − ) c) 2 a b( 2 2+b c2 2+c a2 2)−a4−b4−c4 >0
a b c− +b c a− +c a b− +4abc a≥ +b +c
e) a b a b2 ( − +) b c b c2 ( − +) c a c a2 ( − ≥) 0
f) a3+b3+ +c3 abc ≥ a b( 2+c2) (+b a2+c2) (+c a2+b2) > a3+b3+ +c3 2abc
Bài 4 : Chứng minh: (x 1 x 3 x 4 x 6− ) ( − ) ( − ) ( − + >) 10 0 với mọi số thực x
Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x= 2+xy y+ 2−3x 3y 1998− +
Bài 6 : Cho abc=2 và a3>72 CMR: a2 b2 c2 ab bc ca
3 + + > + +
Trang 4Bµi 7 : CMR:
a) NÕu a2+b2≤2 th× a b 2+ ≤ b) Víi a ≠ b th× a3 ab2 a b b2 3 2
b
a b
−
c) NÕu x 1, y 1≥ ≥ th× x y 1 y x 1 1 xy− + − − ≤
d) NÕu 0 x y z< ≤ ≤ CM: y 1 1 1(x z) 1 1 (x z)
e) NÕu a2+b2+c2 =1 th× : 1 ab bc ca 1
2
f) Cho a > 0 CMR: a5−a2− + >3a 5 0
Bµi 8 : Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc trong ®o¹n [0 ; 1] CMR: a2+b2+c2≤ +1 a b b c c a2 + 2 + 2
Bµi 9 : CMR: NÕu ab+ bc+ ca =1 th× (1 a+ 2)(1 b+ 2)( )1 c+ 2 b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè thùc ( a, b, c lµ c¸c sè thùc)
5
b c a c a b
< + + <
Bµi 12 : Cho c¸c sè thùc a, b, c, m, n, p tháa m·n ®iÒu kiÖn :
ap 2bn cm 0− + = vµ ac b− 2 =0 CMR: mp n− 2 ≤0 Bµi 13 : Cho c¸c sè d¬ng tháa m·n: a> b vµ c≥ ab CMR:
a
Bµi 14 : Chøng minh c¸c B§T sau: (víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng)
+ + ÷≥
+ + + + ÷≥
c)(a b c a+ + ) ( 2+b2+c2) ≥9abc d) bc ac ab a b c
a + b + c ≥ + +
+ +
b +c +a ≥ + +
Bµi 15 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
x
x 2
+
2
1
− +
4 2
x U
= + +
Trang 5Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số Bài 17 : Tìm GTNN của :
f x, y
=
Bài 18 : Tìm GTLN của :
c) f x, y( ) 3x22 4xy2
+
= +
Bài 19 : Tìm GTNN của :
a) f x( ) x2 4x 4 (x 0)
x
x
+
= + < <
Bài 20 : Tìm GTLN của :
a) f x( ) (= 2x 1 3 5x− ) ( − ) b) ( ) ( ) (3 )
c) f x( ) 2x
=
2 3 2
x
f x
= +
e) f x( ) (= +a x) a2−x2 (0 x a≤ ≤ )
Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của :
a) f x( ) =3 x 1 4 5 x 1 x 5− + − ( ≤ ≤ ) b) f x( ) =3x 4 3 x+ − 2 (− 3 x≤ ≤ 3)
c) f x( ) =3sin x 4cos x 2 0+ + ( o< <x 180o)
Bài 22 : Cho x2+y2 =2, x 0, y 0( > > ) Hãy tìm :
c) GTLN của : C xy= 2
Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0) Hãy tìm GTNN của :
d) D x y x 9 y= + + + 2 +y 9 x+ 2
Bài 24 : Cho 2 số thực dơng a và b Tìm GTNN của :
x
x
= + >
x a
e) y= − + − + − + −x 1 x 2 x 3 x 4
Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a + b + c = 3 CMR: a4 +b4 +c4≥a3+b3+c3
Trang 6Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định: y sin x cos x= 20 + 20
Câu 3: Cho x, y là các số thực dơng thỏa mãn: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức: P x y
1 x 1 y
Câu 4: Cho a, b, c dơng thỏa mãn: abc=1 Tìm GTNN của:
P
a b a c b a b c c a c b
Câu 5: Cho x, y,, z là các số thực dơng CMR:
x y + y z + z x ≤ x + y +z
Câu 6: CMR nếu a, b,c 0
a b c 1
>
+ + =
thì b c 16abc+ ≥ . Câu 7: CMR với mọi x, y, z dơng ta có: 21 21 2 1 x y z
2xyz
x yz y zx z xy
+ +
Câu 8: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x y z 3+ + ≤ CMR:
2 1 x 1 y 1 z
1 x +1 y +1 z ≤ ≤ + +
Câu 9: CMR với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0 ta có: a b c a b c
8 +8 +8 ≥2 +2 +2 Câu 10: Cho x, y là hai số thực dơng thỏa mãn: x y 1+ ≤ Tìm GTNN của: P 2 1 2 1 4xy
xy
x y
+
Câu 11: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm GTLN của biểu thức: P x y z
x 1 y 1 z 1
Câu 12: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x y z 1+ + ≤ CMR: 2 2 2
Câu 13: Cho x, y, z dơng thỏa mãn 1 1 1 4
2x y z + x 2y z + x y 2z ≤
Câu 14: Cho x, y, z dơng thỏa mãn xyz=1 CMR: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3
Câu 15: Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( )
2
Câu 16: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x + y + z = 0 Chứng minh rằng: 3 4+ x + 3 4+ y + 3 4+ z ≥6. Câu 17: Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn a b c 3
4
+ + = CMR: 3 a 3b+ + 3 b 3c+ + 3 c 3a+ ≤3 Câu 18: Cho x, y, z thỏa mãn: x y z
3− +3− +3− =1 CMR:
4
3 3 + 3 3+ 3 3 +
Câu 19: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x y 4+ ≥ Tìm GTNN của:
2
3x 4 2 y A
Trang 7Câu 20: Cho a 2, b 3, c 4≥ ≥ ≥ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F ab c 4 bc a 2 ca b 3
abc
Câu 21: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
y + z + x ≥ y + z +x Câu 22: Cho a, b, c dơng Chứng minh rằng: a3 b3 c3 ab bc ca
b + c + a ≥ + + .
Câu 23: Cho x, y, z dơng Chứng minh rằng: 4 4 4 ( )
x y z
y z + z x + x y ≥ 2 + +
Câu 24: Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn: xyz = 1 Chứng minh rằng:
1 y +1 z +1 x ≥ 2
Câu 25: Chứng minh với ba số dơng a, b, c bất kì thì: 3 3 3
b c a
Câu 26: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:
3a +3b +3c +4abc 13≥
Câu 27: Cho bốn số dơng a, b, c, d Chứng minh rằng: 2 2 2 2
b + c + d + a ≥a + b + c + d Câu 28: CMR với ba số dơng a, b, c tuỳ ý ta có:
abc
a b abc + b c abc+ c a abc ≤
Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dơng Tìm GTNN của: P x x 1 y y 1 z z 1
Câu 30: Cho a, b, c dơng Chứng minh rằng:
4 a b
a b c
a b c
−
b c c a a b 1 1 1
a b c
b a b +c b c +a c a ≥ 2 a b c
+ + + + + 4) a2+b2+ ≥c2 2 ab ac( + )
5) ( 3 3 3) ( )2
2 a b c 9 a b c
33
Câu 31: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: abc 1≥ CMR: 1 1 1 1
1 a b 1 b c 1 c a+ + ≤
Câu 32: Cho a, b, c > 0: abc 1= CMR: (a 1 b 1) (a ) (+ b 1 c 1) (b ) (+ c 1 a 1) (c ) ≥34
Câu 33: Cho a, b, c > 0: a b c 3+ + = CMR: a+ b+ c ab bc ca≥ + +
Câu 34: Cho a, b, c, d dơng CMR: 13 13 13 13 a b c d
abcd
+ + +
Câu 35: Cho a,b 0 : a b 2≥ + = CMR: a b a2 2( 2+b2)≤2
Câu 36: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = CMR: 2 12 2 1 1 1 30
ab bc ca
a b c + + + ≥
Câu 37: Cho a, b, c > 0: a2+b2+c2 =1 CMR: a b c 1 4 3
abc
Trang 8C©u 38: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = CMR: a2+b2+ +c2 2 3abc 1≤