CHUYEN DE GTLNGTNN ON THI DH

Trong phần này tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đẳng cấp.. Từ đó xét hà[r]

Trang 1

Bài tập GTLN-GTNN ôn thi ĐH - Giáo viên: Nguyễn Hữu Trung - THPT Vĩnh Định

x y x

x



 trên đoạn  0; q) ysin3xcos3x x) y x24x21 x23x10(D/2010)

y) y = 2sin8x + cos42x (Đặt t = cos2x ) z) y= 3 cos4x+4 sin2x

3 sin4x +2 cos2x HD: t = cos2x

t)Tìm min: y = 2

cossin (2cos  sin )

x

x x x với 0 < x  3

(Đặt t = tanx) w) A5sin3x 9sin2x4

Bài 2:Cho hàm số f (x)=ex− sin x + x2

2 − 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh f (x)=0 có đúng

hai nghiệm

Ta có f ( x ) e  x x cos x. Do đó   0 x

Hàm số y e  x là hàm đồng biến; hàm số yx cosx là hàm nghịch biến vì y'   1 sin x   0 , x Mặt khác

x=0 là nghiệm của phương trình e xx cos x nên nó là nghiệm duy nhất

Lập bảng biến thiên của hàm số y  f x  

(học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình f (x)=0 có đúng hai

nghiệm

Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x0.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x ( ) trên đoạn   1;1 

biết :

3(0)4

9( ) ( ) 6 12

b y x





 đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1 ĐS:

43

a b

Bài 6: Cho x, y thỏa mãn y 0; x2   x y 12 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F = xy x   2 y  17

HD: y = x2  x 12 0   x  [-4; 3] Thế và xét hàm bậc 3 được maxF = 20 và minF = -12

Bài 7: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm GTNN của 1 1

Trang 2

Bài 8: Cho x, y  0 và x + y = 1 Tìm GTNN của 1 1

x y F

Bài 10: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của Fx3y33(x2 y2) 3( x y )

Bài 11: Cho a,b,x,y  R và 0a b, 4;a b 7;2  x 3 y Tìm GTNN của biểu thức

xy a b



HD: Tìm GTLN của Q = a2 b2 Xét hàm 1 biến y: f(y) còn x là tham số, tìm GTNN của f(y) theo x được GTNN của f(y) là g(x) Sau đó tìm ming(x) trên [2; 3]

Bài 12: Cho tam giác đều ABC cạnh a Dựng hình chữ nhật MNPQ có M,N nằm trên cạnh BC và P, Q lần lượt nằm trên cạnh

AC, AB Tìm vị trí của M để hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất Tìm GTLN đó

DẠNG 2: GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC THỂ HIỆN TÍNH ĐỐI XỨNG

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểuthức đó thể hiện tính đối xứng Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số(cách đổi biếnthông thường là t = x + y hoặc t = x.y)

Các bất đẳng thức hay dùng để tìm tập giá trị của biến t = x + y, t = xy:

t t

xy =

- Ápdụng bất đẳng thức ( )2 ( 2 2) ( )

Do đó ta có max P = 4 đạt được khi t = 2 hay x + = y 2 và xy = 1

suy ra x = 1 và y = 1, ta có min P = 0 đạt được khi t = 0 hay x = = y 0.

Nhận xét Bài toán này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng với hai biến Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi

biến t = + x y Nhưng để giải bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t Sau đây là một số bài toán với định hướng

tương tự

Ví dụ 2 Cho x y > , 0 thỏa mãn x2+ xy + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1

xy P

x y

= + +

Lời giải Đặt t = + x y Từ giả thiết x y > , 0 và x2+ xy + y2 = 1 suy ra xy = t2- 1 Áp dụng bất đẳng thức

3

t

< £

Khi đó

3 31

3

- Vì vậy

3 3max

( )

2 2

21

(loại)

Trang 3

Bảng biến thiên

Từ BBT ta có

( ) ( )2

2 3

t

= + Áp dụng bất đẳng thức

t

-³ + hay t < - Ú ³ 2 t 2 Khi đó

2 2

(loại) Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có max max2 2 ( ) ( ) 2 2

Trang 4

Ví dụ 7 Cho x y > , 0 thỏa mãn x2+ y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x = = y

Nhận xét Qua các thí dụ trên, cho ta một kỹ thuật giảm biến của bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến có tính đối

xứng: Do tính đối xứng nên ta luôn có thể biến đổi đưa về một trong các dạng đặt t = + x y, t = x2+ y2 hoặc t = xy,

Bài 2: Cho x y , không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn x + = y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 5

Bài 5(A/2005): Cho x y ¹ , 0 thỏa mãn ( x + y xy ) = x2 + y2- xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

t xy

Đặt t = a + b  2 được maxP = 3/2 khi a = b = 1

Bài 10: Cho x,y thỏa mãn x22x2  1y22y2  1 0

Tìm max, min của P x x 2 2 4y y2 2 42x y2 2 4

HD: Đặt t = x2 y2 với t  [0; 1] được kq: maxP = -8 và minP = -11

Bài 11: Cho x,y thỏa mãn 2(x2y2)xy1 Tìm max, min của P7(x4y4) 4 x y2 2

Bài 12: Cho x,y thỏa mãn x2y223x2y2 2 x2 3x y2 2

Tìm max, min của P x 22y23x y2 2HD: Đặt t = x2 y2  t23t 2 x2 3x y2 20 nên t [1; 2]; P2x2y2  x2 3x y2 2  t2 t 2

x y



 HD: Đặt t = xy với -1/3  t  1 Kq: MaxP = -8/21 và minP = -4

Bài 14: (D/2009 )Cho x  0, y  0 và x y   1.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức sau : S(4x23 )(4y y23 ) 25x  xy

4

t

 

.Vậy :

1

0;

4

1 191min ( ) ( )

x   y

Trang 6

Bài 15: Chox y , là các số thực thỏa mãn x2y2 xy1.Tìm GTLN, GTNN của F x y 6 62x y xy2 2

1 3 1

Max f t 

khi

13

Minf t  khi t  1 suy ra x   y 1

Bài 16: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

16

 tại

ab (dấu "=" xẩy ra khi a=b)

Theo Cô-si 1=a+b ≥2 √ ab ⇒0<ab ≤ 1

4 Đặt t=ab ta có

1 0;

2

M 

đạt được khi

12

Có những lúc việc tìm max, min P theo t gặp khó khăn thì có thể đơn giãn hóa bằng cách đánh giá P trước để được hàm đơn giãn hơn

Bài 22: Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

 3 3  2 2

( 1)( 1)

x y x y P

x y



Trang 7

nên ta có2

3 2

2 2

(3 2)

4

21

Bài 24(B/09): Cho x,y thỏa mãn x y 34xy2

1 2

2 14

t

Vậy minP = 9/16 đạt được khi x = y = 1/2

Bài 25: (B- 2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2b2)ab(a b ab )( 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a b

b a  và

1 12

Trang 8

31

x y  

Hay min T  2 khi

1 2

x y  

DẠNG 3: GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC THỂ HIỆN TÍNH ĐẲNG CẤP

Trong phần này tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà

giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đẳng cấp Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Phương

pháp thông thường là đặt y = tx (xét trước x = 0)

Ví dụ 1 Cho x y > , 0 thỏa mãn x2+ y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = y x ( + y )

Lời giải Đặt y = tx Từ điều kiện x y > , 0 suy ra t > 0 Từ giả thiết x2+ y2 = 1 ta có 2 2

11

x t

=+ Khi đó biểu

( )

2 2 2

2 11

P =

.Nếu x ¹ 0 thì đặt y = tx Từ giả thiết x y ³ , 0 và x2 + y2 = 1 suy ra t ³ 0 và

2 2

1 1

x t

= + Khi đó

x =

và

1 5

y =

5ax

84

xy

£

Trang 9

Lời giải Đặt

x t

( ) ( )2

2 0

Bài 2: Cho x y ³ , 0 Chứng minh rằng 3x3+7y3³ 9xy2.

Bài 3: Cho x y ³ , 0 Chứng minh rằng x4+ y4 ³ x y3 + xy3.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x xy P

xy y



HD: Thay các hằng số tự do 1=x2 y2 để được hàm đẳng cấp; max = 5/3 và min = -1

Bài 7: Cho x, y  [2010; 2011] Tìm max, min của

t x

3 102

Bài 10: Cho x, y > Tìm min của

3 3

2 2

x y xy x y P

xy x y





Bài 11: Cho x; y là các số thực thoả mãn x 2 + y 2 + xy = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5xy – 3y 2

Bài 12(B/2008): Cho x; y thoả mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức

2 2

2( 6 )

x xy P

xy y





  (Thế 1= x 2 + y 2 đẳng cấp)

DẠNG 4: GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC 3 BIẾN

Trong dạng này, ta thường rút 1 biến theo 2 biến còn lại và đặt ẩn phụ là tổng hoặc tích của 2 biến còn lại Cũng có thể đặt t là tổng 3 biến(t = x + y + z) Nếu đặt t = x + y + z thì hay dùng các BĐT để chặn t là:

Trang 10

3 , đạt được khi x= y=z =1.

Bài 4: Cho x,y,z > 0 Tìm GTLN của

         maxP = 1/8 đạt được khi x = y = z = 1

Bài 5: Cho x,y,z  0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN, GTNN của P xy yz zx    2xyz

HD: Từ gt ta có P xy (1z)yz(1 x)zx0 Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (1;0;0) và các hoán vị

Không mất tính tổng quát, giả sử x y  z thì 0  x  1/3 và y + z = 1 - x

4  x x  trên đoạn [0; 1/3] ta được maxP = 7/27 đạt được khi x = y = z = 1/3

Bài 6: Cho x,y,z  0 và x + y + z = 1 Tìm GTNN của

2 2 và các hoán vị của chúng.

Bài 7: Cho x2y2z22 Tìm GTLN, GTNN của P x 3y3z3 3xyz

Trang 11

ĐS: maxP = 2 2 đạt được khi (x; y; z) = ( 2;0;0) và các hoán vị của chúng

minP = -2 2 đạt được khi (x; y; z) = ( 2;0;0) và các hoán vị của chúng

Bài 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz

Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7  x    y z 1

Bài 10: Cho x, y, z  0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

316

Trang 12

-Tương tự rồi công vế theo vế ta được 3 15  3 6

Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.

 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng cách chọn một biến làm tham số biến

thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.

 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biếnx y z , , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào đó.

 Bước 1 Xem P x y z( , , ) là hàm theo biến x, còn y z , là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T.

y



, do x y x z  ,  và x y z , , 1; 4 nên 1   t 2.Xét hàm

2 2

2( )

33

P P xy f t f 

Đẳng thức xảy ra :

4, 1, 22

x t y

Trang 13

3

a  b  c 

Trường hợp 2 : c b a   và

1, , ;33

a b c  

 

Từ kết quả của trường hợp 1, ta có:

8( , , )

5

P a b c 

.Mặt khác :

5

P a b c

.Vậy

85

.Thay vào biểu thức P ta được :

Trang 14

c 0 c0 

g c '( ) + 0 -

g c ( ) g c ( )0 Từ bảng biến thiên suy ra : g c( )g c( )0 0 10 ( ) ( ) 3 S g c g c     Vậy với 1 2 , , 2 2 8 c a b thì 10 ax 3 M S  Bài 16: Cho ba số dương a b c , , thỏa mãn điều kiện 21ab2bc8ca12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 3 P a b c    . Đặt 1 1 1 , , x y z a b c     x y z, , 0; 2x8y21z12xyzvà S   x 2 y  3 z Từ 2 8 2 8 21 12 12 21 x y x y z xyz z xy        và 7 4 x y  Từ biểu thức S suy ra được: 2 8 2 ( ) 4 7 x y S x y f x xy      

2 2 14 32 '( ) 1 0 (4 7) y f x xy       2 0 32 14 7 7 ; 4 4 4 y x x y y y            Bảng biến thiên: x 7 4y x0 

f’(x) - 0 +

f x ( )

0 ( ) f x Khi đó từ bảng biến thiên , ta có:

2 0 32 14 9 ( ) ( ) 2 ( ) 4 2 y S f x f x y g y y y       

2 2 2 2 (8 9) 32 14 28 '( ) 0 4 32 14 y y g y y y       Đặt t 32y214 thì phương trình g y'( ) 0  (8y2 9) 32y214 28 0  3 5 50 122 0 8 4 t t t y         Ta có b ng bi n thiên: ả ế y 0

5 4 

g’(y) - 0 +

g y ( )

15 2

Từ bảng biến thiên suy ra :

5 ( ) ( ) 4

( ) ( )

S g y g

Vậy với :

thì

15 min

2

S 

Bài 17:(Khối B - 2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c    1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

M  a b b c c a  ab bc ca   a b c

Hướng dẫn.

Ta có M (ab bc ca  )23(ab bc ca  ) 2 1 2(  ab bc ca  )

Trang 15

10;

Đáp số : max P  2 2 đạt được khi x 2;y z 0; minP 2 2 đạt được khi x 2;y z 0.

Bài 20 Cho x  0; y  0; z  0 thỏa mãn điều kiện x y z    1 Tìm GTLN của biểu thức :Txy yz zx   2xyz

Đáp số :

7min

27

T 

đạt được khi

13

Trang 16

Vậy maxP = 1/4 - 0 = 1/4 ; minP = 0 – 1/4 = -1/4

Ví dụ 2(ĐH khối B/2007) Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi Tìm GTNN của biểu thức :

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Vậy MinP = 9/2

DẠNG 6: ÁP DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM ĐỂ TÌM GTLN-GTNN

Bài toán: Cho F(x;y)=0 Tìm Max, min G(x;y)

Cách giải: Tìm tham số m để hệ

( ; ) 0 ( ; )

 có nghiệm Giải sử tìm được a  m  A thì maxG(x;y) = A và minG(x;y) = a

Bài 1: Biết ( ; )x y là nghiệm của bất phương trình:5x2 5y2 5x 15y  8 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F x 3y.Thay x=F −3 y vào bpt ta được: 50y2 30Fy 5F2 5F  8 0

Vì bpt luôn tồn tại y nên Δy≥ 0 ⇔ −25 F2

Vậy GTLN của F=x+3 y là 8

Bài 2: Cho x, y thỏa mãn 3 x3 x13 y3 y13 xy

Tìm max, min của T = 3 x3y3xy

Vậy MaxT = 8 và minT = 0

Bài 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 xy y 23 Tìm Max, min của biểu thức F = x2xy 2y2

Vậy MaxF =  1 27 và minF =  1 27

Bài 4(A/2006): Cho x, y thỏa mãn xy x y(  )x2y2 xy Tìm GTLN của A = 3 3

Trang 17

C1: Dùng BĐT

C2:Dùng đk hệ có nghiệm

Đặt S = x+y và P = xy ta được hpt:

2 2

3

SP S P S

m P

MaxA = 16 đạt được khi x = y = 1/2

Bài 5(HSG QG 2005): Cho x, y thỏa mãn x3 x 1 3 y 2 y Tìm max, min của F = x + y

Gọi T là tập giá trị của K, m  T  hệ sau có nghiệm

Bài 6: Cho x, y thỏa mãn x2 y2  2( x y  ) 7  Tìm GTLN, GTNN của F =3 x x(  2)3 y y(  2)

Bài 7: Cho x, y thỏa mãn 4x23xy3y2 6 Tìm GTLN, GTNN của Fx2xy 2y2

Bài 8: Cho x, y không âm thỏa mãn x y4 Tìm GTLN, GTNN của F x 1 y9

Bài 9: Cho x, y thỏa mãn xy x y    3 Tìm GTLN của

Bài 10(CĐ 2008): Cho x, y thỏa mãn x2y22 Tìm GTLN, GTNN của F2(x3y3) 3 xy

Bài 11(ĐH B/2008): Cho x, y thỏa mãn x2 y2  1 Tìm GTLN, GTNN của

2 2

2( 6 )

1 2 2

x xy F

Trang 18

Vậy PMin khi a = b = c = 1

Bài 5: Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

vậy giá trị nhỏ nhất

3 2

Trang 19

Bài 7: Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =

3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

13

1

a c c b b

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

3c

1c3b

1ba

1P

Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y=z=3 Vậy MaxP = 1/2

Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3

13

2

13

2

1

2 2 2

2 2



a c c

b b

a P

Ta có a2+b2  2ab, b2+ 1  2b  ab b 1

12

121bba

13

ba

1

2 2 2 2

2         

12

13a2c

1,1cbc

12

13c2b

1

2 2 2

bab1b

ab1bab

12

11aca

11cbc

11

P = 1/2 khi a = b = c = 1 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi a = b = c = 1

Bài 10: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

Bài 11: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

Đặt u 2 ;3 ; 4 ,a b c v2 ;3 ; 4 , wc a b  2 ;3 ; 4b c a Mu vw

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	1,56 MB