Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n AB = 2a.
Trang 14 2 2
4 2
0
3
THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010
=============================================
TRƯ NG THPT CHUYÊN – ðHSP
_
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ
==========================================
Ngày thi: 28 – 3 – 2010 Câu 1 ( 2,0 ñi m) Cho hàm s y = x + 2m x + 1 (1).
1 Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s khi m = 1
2 Ch ng minh r ng ñư ng th ng y = x + 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m
phân bi t v i m i giá tr c a m
Câu 2 ( 2,0 ñi m)
1 Gi i phương trình: 2sin2(x - ) = 2sin2x - tanx
2 Gi i phương trình: 2 log3 (x – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 (x – 2)2 = 4.
Câu 3 ( 2,0 ñi m)
3
∫ cos x
sin x
3 sin 2 x dx
2 Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có c nh huy n AB = 2a Trên
ñư ng th ng d ñi qua A và vuông góc m t ph ng (ABC) l y ñi m S sao cho mp( SBC) t o
v i mp(ABC) m t góc b ng 600 Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC
Câu 4 ( 2,0 ñi m)
x 3 4 y y 16 x
1 Gi i h phương trình:
1
y 2 5(1 x 2 )
2 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
f(x) = x 4− 4 x 3 8 x 2− 8 x 5
x 2− 2 x 2
Câu 5 ( 2,0 ñi m)
x 1− t
d: y 2 2 t
z 3
Hãy t m trên ñư ng th ng d các ñi m B và C sao cho tam giác ABC ñ u
2 Trong m t ph ng Oxy cho elíp (E) có tiêu ñi m th nh t là ( - 3 ; 0) và ñi qua ñi m
- H
t -D ki n thi th l n sau vào các ngày 17,18 tháng 4 năm 2010.
==============================================
Trang 2 x 2m x− 1 0(*)
2 2
(1)
tan x−1
2
⇔
⇔
(2)
⇔
⇔
0
THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010
=============================================
HƯ NG D N GI I BÀI THI L N 3 Câu 1.
1 T làm
2 Xét phương trình hoành ñ giao ñi m: x4 +2m2x2 +1 = x + 1 x⇔ x 4 + 2m2x2 – x = 0⇔ x
x 0
x( x3 + 2m2x – 1) = 0 ⇔ x 3 2 ð t g(x) = x + 2m x – 1 ;
Ta có: g’(x) = 3x + 2m≥ 0 (v i m i x và m i m ) Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr ⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr
c a m
M t khác g(0) = -1≠ 0 Do ñó phương trình (*) có nghi m duy nh t khác 0.
V y ñư ng th ng y = x+ 1 luôn c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m
Câu 2.
1 Gi i phương trình: 2 sin2 ( x - ) = 2sin2x – tanx
4
ði u ki n: cosx≠ 0 x≠ ⇔ x k. (*)
2
) = 2sin2x – tan x 1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1)⇔ x ⇔ x
2
x k.2 2
x− l.
4
x k. 4
x− l. 4
x =
⇔ x k ( Th a mãn ñi u ki n (*) ).
4 2
2 Gi i phương trình: 2log3 (x2 – 4) + 3 log 3 ( x 2) 2 - log3 ( x -2)2 = 4
x 2− 4 0 0
ði u ki n:
log
3 ( x 2) 2≥ 0
x 2− 4 0 0
⇔ x
(
x 2) 2≥ 1
x 2 0
x≤−3 (**)
Pt (2) ñư c bi n ñ i thành: log3 (x2 – 4)2 – log3 (x – 2)2 + 3 log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0
log
⇔ x 3 ( x + 2)2 + 3 log 3 ( x 2) 2 - 4 = 0 ( log⇔ x 3 ( x 2) 2 + 4) ( log 3 ( x 2) 2 - 1) = 0.
log 3 ( x 2) 2 = 1 (x+2)⇔ x 2 = 3 x+ 2 = 3 x = - 2 3 ⇔ x 3⇔ x = - 2 3 ⇔ x 3⇔ x = - 2 3
Ki m tra ñi u ki n (**) ch có x = - 2 - 3 th a mãn
V y phương trình có nghi m duy nh t là : x = - 2 - 3
hi n nghi m ngo i lai x = -2 + 3
làm thu h p t p xác ñ nh d n ñ n m t nghi m ( L i ph bi n c a h c sinh!)
Câu 3.
1 Tính tích phân: I =
3
∫ cos x
sin x
3 sin 2 x .dx
ð tt= 3 sin 2 x = 4− cos 2 x Ta có: cos2x = 4 – t2 và dt = sin x cos x
3 sin 2 x dx
ð i c n: V i: x = 0 thì t = 3 ; x =
3 thì t =
15 2
==============================================
Trang 32
1 1
1
3
2 x 2− 16 x 2− 16 2
x− 2x 2
25
=============================================
I=
3
∫ cos x
sin x
3 sin 2 x .dx =
3
∫ cos
sin x cos x
x 3 sin 2 x dx =
2
∫
3
dt
4− t = 1
4
2
∫
3
−
t 2 t− 2 )dt =
= 1 t 2ln
4 t− 2
15 2
4(ln
15 4
15− 4 − ln 3 2
3− 2 ) = (ln( 15 4)− ln( 3 2))
2
2 Ta có SA mp(ABC) SA AB ; SA AC ⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC ⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr ⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC ⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC
Tam giác ABC vuông cân c nh huy n AB BC AC BC SC ( ð nh lý 3 ñư ng⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr ⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC ⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr ⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC
vuông góc) Hai ñi m A,C cùng nhìn ño n SB dư i góc vuông nên m t c u ñư ng kính
SB ñi qua A,C V y m t c u ngo i ti p t di n SABC cũng chính là m t c u ñư ng kính
SB
Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ;∠ 60 60 600 là góc gi a m t (SBC) và mp(ABC)
SA = AC.tan600 = a 6 T ñó SB 2 = SA2 + AB2 = 10a2
V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC là: S = d 2 = SB2 = 10 a2
Câu 4.
x 3 4 y y 16 x (1)
1 Gi i h :
1
y 2 5(1 x 2 ) (2)
T (2) suy ra y2 – 5x2 = 4 (3) Th vào (1) ñư c: x3 + (y2 – 5x2).y = y3 + 16x⇔ x
x
⇔ x 3 – 5x2y – 16 x = 0 x = 0 ho c x⇔ x 2 – 5xy – 16 = 0.
TH1: x= 0 y⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr 2 = 4 ( Th vào (3)) y = 2.⇔ x 3⇔ x = - 2 3
TH2: x – 5xy – 16 = 0 y = ( 4) Th vào (3) ñư c: ( )− 5⇔ x x 2 = 4⇔ x
5x 5x
x
⇔ x 4 – 32x2 + 256 – 125x4 = 100x2⇔ x 124 x4 +132x2 – 256 = 0 x⇔ x 2 = 1 x = 1.⇔ x 3⇔ x = - 2 3
Th vào (4) ñư c giá tr tương ng y = 3 ∓ 3
V y h có 4 nghi m: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3)
Chú ý: N u thay giá tr c a x vào (3) trư ng h p 2, s th a 2 c p nghi m!
x 4− 4 x 3 8 x 2− 8 x 5
2 Tìm GTNN c a hàm s : f(x) =
x 2− 2 x 2
T p xác ñ nh: R vì x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1 > 0 v i m i x
1
Bi n ñ i ñư c: f(x) = x2 – 2x + 2 + 2
D u b ng x y ra khi : x2 – 2x + 2 =1 x = 1.⇔ x
≥ 2 ( B t ñ ng th c Cosi cho hai s dương)
V y: min f(x) = 2 ñ t ñư c khi x = 1
Câu 5.
1 Tìm các ñi m B,C?
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên d H d H ( 1-t; 2+2t;3)∈ d⇔ H ( 1-t; 2+2t;3)⇔ ⇔ x ⇔ x
AH = ( 1-t; 1+2t; 0) Mà AH d nên⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC AH⊥ mp(ABC)⇒ SA⊥ AB ; SA⊥ AC u d ( -1;2;0) T ñó có -1(1-t)+2(1+2t) =0⇔ x
t = -1/5 H ( 6/5; 8/5; 3).⇔ x
Ta có AH = 3 5
5 .mà tam giác ABC ñ u nên BC =
2 AH 2 15
15 5
G i: B ( 1-s;2+2s;3) thì (−− S )2 ( 2 S )2
5 5 ⇔ x 25s2 +10s – 2 = 0 s =⇔ x − 1 3 3⇔ x = - 2 3
5
V y: B ( 6 3 8 2 3∓ 3 3⇔ x = - 2 3
;
6 3 8 2 3 3⇔ x = - 2 3 ∓ 3
;
5 5 ;3 ) ( Hai c p).
2 Xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a (E)?
==============================================
Trang 4Theo bài ra có F1 ( - 3 ; 0) và F2 ( 3 ;0) là hai tiêu ñi m c a (E) Theo ñ nh nghĩa c a (E)
suy ra : 2a = MF1 + MF2 = (1 3) 2 (
5 ) + (1− 3) 2 ( 5 ) = 10 a = 5.⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr
Trang 5L i có c = 3 và a2 – b2 = c2⇒ Hàm s g(x) luôn ñ ng bi n v i m i giá tr b2 = a2 – c2 = 22 V y t a ñ các ñ nh c a (E) là:
A1( - 5;0) ; A2( 5;0) ; B1( 0; - 22 ) ; B2 ( 0; 22 )
-H