tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề đơn điệu và cực trị

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề đơn điệu và cực trị tham khảo

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a b; khi đó:

- Nếu f đồng biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số đồng biến trên khoảng  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số nghịch biến trên khoảng  a b;

Trang 2

- Nếu f đồng biến trên khoảng  a b; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì đồng biến trên  a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; và liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì nghịch biến trên  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi xD thì hàm số f không đổi trên D

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên  a b; Nếu f đạt cực trị tại điểm x0 a b; thì f ' x0 0

- Cho y f x  liên tục trên khoảng  a b; chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0; :

Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a b; chứa x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực đại tại x0

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x 0 có tối đa 1 nghiệm Nếu f a 0, a thuộc K thì

xa là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0

Trang 3

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x 0 có tối đa 2

nghiệm trên K Nếu f a 0 và f b 0 với ab thì phương trình f x 0 chỉ có 2 nghiệm là xa

Đặc biệt, nếu f a  f b 0 thì phương trình f ' x 0 có ít nhất một nghiệm c a b; hay giữa hai

nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3bx2cx d 0,a0

Nếu f ' x  0, x hay f ' x  0, x thì f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Nếu f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt và:

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt

Trang 4

Trang 5

Nếu   1 x 1 thì xét hàm số f x arcsinxarccosx

2 2

2 21

11

x x

f x

x x

khi khi

x x

Trang 6

y x

Trang 7

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  0;1 , đồng biến trên mỗi khoảng 1;0 và

1;

b) D¡ \ 4  Ta có

2'

4

y x

y  trên khoảng ; 4 nên y đồng biến trên khoảng ; 4

Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)

3 2

6

x y

x



11

x y

Trang 8

Vì hàm số liên tục trên đoạn 0; 2  nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; 2 

Bài toán 1.9: Chứng minh các hàm số

a) ycos 2x2x5 nghịch biến trên ¡

sin

;sin

a) x x1, 2¡ ,x1 x2 Lấy hai số a, b sao cho a x1 x2b

Ta có: f ' x  2 sin 2 x 1 0 với mọi x a b;

Vì f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng  a b; nên hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b;

Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

a) ym3 x 2m1 cos x nghịch biến trên ¡

b) y x33x2mxm chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3

Trang 9

Trang 10

Trang 11

Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số

6

x y

Trang 12

Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số

Trang 13

 không có đạo hàm tại x0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

b) y f x   xax b x c a , c luôn có cực đại và cực tiểu

Trang 14

Trang 15

Trang 16

m m y

Trang 17

Trang 18

nên hàm số g t  đồng biến trên ¡ , do đó:

Trang 19

Ta có hệ:

3 3

3 3 3

Trang 20

Với y1: 3   x 1: không thỏa (1)

Với x y 0 3     y 1 x 1; không thỏa (1)

Trang 21

1:

2

x x

f t   t t t thì f'  t 2 t1 nên f đồng biến trên 1; và nghịch biến trên  0;1

Đặt g t 2 ,t t 0 thì g t'  2 0 nên g đồng biến trên 0; Ta có hệ

Vậy hệ có 2 nghiệm x   y z 2 3,x   y z 2 3

Trang 22

b) Hệ phương trình tương đương

2 2 2 2 2 2

x y z

y z x

f t   t nên f đồng biến trên 0;

Hệ phương trình được viết lại

2 2 2 2 2 2

x y z

y z x

Trang 23

t

f x

t t

 nên f đồng biến trên 1;3

Do đó BPT  f x  1 f3x     x 1 3 x x 2

Vậy nghiệm của bất phương trình S 2;3

Bài toán 1.24: Giải các bất phương trình

Trang 24

Trang 25

Nên f x 0 có nghiệm duy nhất x0

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Trang 26

Tương tự như trên nếu y0 hay x0 ta suy ra x y z

Nếu z  a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x  y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình: t3   t2 t a 0

Bài toán 1.27: Chứng minh hệ

2 3

11

Trang 27

Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 1.28: Tìm tham số để phương trình

Trang 28

Trang 29

 '

2

t t y

2

t t y

t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m y 1  m 2

Bài toán 1.30: Tìm tham số để phương trình

Trang 30

t t m

Trang 31

Bài toán 1.31: Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm

Lập BBT thì bất phương trình có nghiệm khi m1

b) Đặt tsinxcosx, t  2 và t2  1 2sin cosx xsin 2x t2 1

Lập BBT suy ra điều kiện có nghiệm là: m    3 0 m 3

Bài toán 1.32: Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

Trang 32

Vậy điều kiện có nghiệm là   16 m 1

Bài toán 1.33: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc0 và 0

Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm trên  0;1 và thỏa mãn f 0 0;f  1 1 Chứng minh tồn tại 2 số

phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g x  f x  x 1, khi đó thì g x  liên tục và có đạo hàm trên  0;1

Ta có: g 0   1 0 và g 1  1 0 nên tồn tại số c thuộc  0;1 sao cho g c 0

Do đó f c   c 1 0 hay f c  1 c

Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn  0;c và  c;1 thì:

Trang 33

tồn tại a 0;c sao cho:    0  

'0

f c f

f a c

f f c

f b c

Vậy tồn tại 2 số phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Bài toán 1.35: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  0;1 và nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình:

Bài toán 1.36: Giả sử f là một hàm xác định trên  a b; , có đạo hàm đến cấp n1 trên  a b; và x0 a b;

Chứng minh tồn tại c nằm giữa x và x0 để có:

Trang 34

Ta tìm một đa thức P x n  có bậc không vượt quá n sao cho

Trang 35

Sau n1 lần áp dụng định lý Cauchy ta được  

 

  

1 1

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0

Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm xx0

x



11

x y

9

x y

Trang 36

a)

3 2

6

x y

Kết quả CĐ tại x 3;y C Ð  9 3,CT tại x3;y CT 9 3

b) Kết quả CĐ tại x0,y C Ð 0 và CT tại x2;y CT  3 43

Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số

y x ax  b x a b ab luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi tham số a, b

Trang 37

b)

2

13

Trang 38

b) Hàm đơn điệu Kết quả x3

Bài toán 1.9: Giải các hệ phương trình:

a)

3 4

Trang 39

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	0,91 MB