THAM LUẬN về TÍNH đơn điệu và cực TRỊ hàm số

Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán.. Với suy nghĩ nhằm giúp các em

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC

TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG

MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ” Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0) trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực  Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp Hơn nữa , theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến

định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trình sách giáo khoa hiện hành” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi,

sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng

giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” 2/Nội dung sáng kiến

A.Mở đầu

B.Nội dung đề tài

I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa

II.Bài tập thực hành

C Kết quả và bài học kinh nghiệm

Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011

Người viết

Lê Quốc Hoàng

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

 Nếu  0 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R :

 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0

P S

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

000

P S

ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là '( ) 0,f x    x K

đồng thời f x'( ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

 Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0,f x    x K

đồng thời f x'( ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

 Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x'( ) 00 

 Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó :

 Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,  x ( ; )x b0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

2 Phương pháp giải toán

*Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a0)

( ) 0

00( ) 0

y g t  at  a b t a  b c a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng (; )

000000

a a

S P

a a

S P

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo

về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa

Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến trên khoảng ( ; 1)

b) Đồng biến trên khoảng (1;)

c) Đồng biến trên khoảng ( 1;1)

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

0' 0

2 3

11 -1

Từ bảng biến thiên ta được : 4

biến trong khoảng ( ; 1) b)Hàm số đồng biến trong khoảng

(1;)

( ) 0, (1; )

0 ' 0

0 ' 0

(1) 0

2.1 0

a

a

f

S

 



  



 

  











2

2

1 0

1 0

2 0 1

m

m

m

m

m

  







  



      

 



 



1 2 1 0

2

m

m

 



 

  



 m0

Kết luận : m0 thì hàm số (1) đồng

biến trong khoảng (1;)

b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1;)

( ), (1; )

[1; ) ( )

m Max g x



Xét : y g x ( ) ,  x [1; )

Ta có bảng biến thiên:

x 1 3 

g’(x) - 0 +

g(x) 0 -1

-4

Từ bảng biến thiên ta được : m0

Kết luận : m0 thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1;)

c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1)

( ) 0, ( 1;1)

c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) ' 0, ( 1;1)

( ), ( 1;1)

[ 1;1] ( )

m Max g x



Xét : y g x ( ) ,  x [ 1;1]

Ta có bảng biến thiên:

0' 0

0( 1) 02( 1) 0(1) 02.1 0' 0

0( 1) 0

11 4 0

01

m

m m m

g’(x) + 0 - g(x) 1

24

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta

đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh

*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a0)

a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (; )

b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) 

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

( ) 0

00( ) 0

y g t  at  ab t a  bc a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng

a a

S P

a a

S P

a) Nghịch biến trên khoảng (; 2)

b) Nghịch biến trên khoảng (2;)

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

0' 0

Txđ : D = R y’ = f(x) = (m21)x2 2(m1)x2Đặt t = x – 2 ta được :

y’ = g(t) =

(m 1)t (4m 2m6)x4m 4m10a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (; 2)

000000

a a

S P

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng

(2;)  f x( ) 0,  x (2;) b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;)

0' 0

0' 0

a a

S P

*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh

*Bài toán 3: Cho hàm số : y ax2 bx c (2), ( ,a d 0)

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) 

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

g x h m x e

[ ; )

( ) ( ),

e d

g x h m x e

0( ) 0

ad

ad I

f S

;

e d

g x h m x e

0( ) 0

ad

ad II

f S

( ) 0, 0 ( )

e d

000

a

a ii

S P

000

a

a iii

S P

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0( ) 0

ad

ad f S f S

ad f f

*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với

cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;)

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

Txđ : D = R

2

y

  

a)Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)

0 ' 0

0 ' 0

( 1) 0

2( 1) 0

a

a

f

S

 



  



 

  







   





1

1

m

m

m







   





9

m

 

Kết luận: Vậy m9thì hàm số (2)

đồng biến trên (  ; 1)

b)Hàm số (2) đồng biến trên (2;)

0 ' 0

0 ' 0

(2) 0

2.2 0

a

a

f

S

 



  



 

  











1

1

m

m

m







  



  



3

m

 

Kết luận: Vậy m3 thì hàm số (2)

đồng biến trên (2;)

Txđ : D = R

2

y

  

Ta có: f x( ) 0  m 2x24x3 Đặt : g x( ) 2 x24x3 g x'( ) 4 x4 a)Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)

( ; 1]

( )

m Min g x

 

 

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

g x    x

x  -1

g’(x)

g(x) 

9

Kết luận: Vậy m9thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) b)Hàm số (2) đồng biến trên (2;) [2; ) ' 0, (2; ) ( ) y x m Min g x         Ta có bảng biến thiên của hàm số: ( ), [2; ) g x  x  x 2 

g’(x) +

g(x) 

3

Kết luận: Vậy m3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2;)

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

' 0, (1; 2)

( ) 0, (1; 2)

' 0

' 0

(1) 0 2.1 0 (2) 0 2.2 0

f

S

f

S

 



  



   



   

 

 



  



1 1

0 0

2 0

m m m m





 



    



  

 

  



  

 1

m

 

Kết luận:

Vậy m1 thì hàm số (2) đồng biến

trên (1; 2)

[1;2]

' 0, (1; 2)

( )

m Min g x

 

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

( ), [1;2]

g x  x

x 1 2

g’(x) +

g(x) 3

1

Kết luận:

Vậy m1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

*Nhận xét : Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều

*Bài toán 4: Cho hàm số :

2

(2), ( , 0)

ax bx c

dx e

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (; )

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; )

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) 

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

g x h m x e

[ ; )

( ) ( ),

e d

g x h m x e

0( ) 0

ad

ad I

f S

;

e d

g x h m x e

0( ) 0

ad

ad II

f S

( ) 0, 0 ( )

e d

000

a

a ii

S P

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0( ) 0

ad

ad f S f S

ad f f

000

a

a iii

S P

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1;)

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

(1) 02.1 0

I

f S

i

S P

m m m

(1) 02.1 0

II

f S

00

ii

S P

m m m

*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a0)

Tìm điều kiện để hàm số (1) :

a) Có cực trị trong (; )

b) Có cực trị trong ( ; )

c) Có hai cực trị x 1 , x 2 thõa mãn : x1  x2

S P

P

S P

g t

  có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 0 t2

0

P

 

g t

  có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 t2 0

' 000

S P

' 000

S P

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị

P

S P

P

S P

Kết luận:Với m1 thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;)

g t

  có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 0 t2

g t

  có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : t1 t2 0

' 000

S P

Kết luận: Không có giá trị nào

của m thõa mãn yêu cầu của bài

toán

Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa

mãn yêu cầu của bài toán

g t

  có hai nghiệm t 1 ,t 2 thõa mãn : 0 t 1 t2

' 000

S P

(; ) khi và chỉ khi : phương trìnhg t( ) 0 có nghiệm t < 0 (i)

và g( e ) 0

0' 0( )

00

P i

S P

( ) 0

af II

af S

phương trìnhg t( ) 0 có nghiệm t > 0 (ii)

00

P ii

S P

af S

S P

( 2 )

x mx m y



  với:

khoảng (;1) (I) và f(2 ) 0m  (I’)

(I)

(1) 0' 0(1) 02.1 0

g t  t  m t m  m  a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng (;1)khi và chỉ khi phương trình :g t( ) 0 có nghiệm t < 0 (i)

và g m(2  1) 0(i’)

0' 0( )

00

P i

S P

(1;)khi và chỉ khi :

phương trình f x( ) 0 có nghiệm trong

khoảng (1;) (I) và f m(2 ) 0 (I’)

(I)

(1) 0' 0(1) 02.1 0

và g m(2  1) 0(i’)

0' 0( )

00

P i

S P

phương trìnhg t( ) 0 có hai nghiệm t 1 ,t 2

af S

phương trìnhg t( ) 0 có hai nghiệm t 1 ,t 2

thõa mãn : t1 t2 0(iv)

và g m(2  1) 0(i’)

(iv)

' 000

S P

a) Đồng biến trên khoảng (;1)

b) Đồng biến trên khoảng (1;)

c) Đồng biến trên khoảng (1;2)

Bài 2: Cho hàm số : y = 1 2  3   2

3 m  x  m x  x (1) (m 1)Tìm các giá trị của m để hàm số (1):

a) Nghịch biến trên khoảng (;1)

b) Nghịch biến trên khoảng (1;)

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2;)

c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1;2)

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1;)

a) Có cực trị trong (;1)

b) Có cực trị trong (1;)

c) Có hai cực trị x 1 , x 2 thõa mãn : x1 1 x2

d) Có hai cực trị x 1 , x 2 thõa mãn : x1x2 1

KẾT QUẢ

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở

trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học,

nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài tốn tưởng chừng như khơng thể

giải quyết nếu khơng cĩ cơng cụ là định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ

quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng cách ứng dụng

đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em nhận

thấy với mỗi bài tốn nếu ta chịu tìm tịi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều

điều bổ ích nên rất hứng thú với mơn học do dĩ mỗi năm học tôi nhận thấy

chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh

nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học là học sinh yếu,

TB nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh TB, khá và giỏi, trong

các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng cĩ nhiều em đạt điểm

khá cao gĩp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Khi tham gia

các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đã cĩ em đạt giải điều mà nhiều năm trước đây

đã khơng đạt được, Cụ thể:

2010 – 2011 0 0 01 01

BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được

Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà

thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ

cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì

người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên

môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự

hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một

trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo

viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ

những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công

tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên

môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ

cho việc dạy và học được tốt hơn Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại

đa số các em học sinh đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số,

bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10 đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức

bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toán trong chuyên đề này đã trình bày các

em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10, ngay cả các em học sinh lớp

12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn Từ thực tế đó nhằm

giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận dụng, khai

thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinh

nghiệm:

“ Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 – quy về

bậc 2”

Rất mong sự góp ý của quý thầy, cô

Nhận xét và xếp loại của tổ chuyên môn

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét và xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT chuyên Quang Trung ………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét và xếp loại của HĐKH Sở Giáo dục – Đào tạo tỉnh Bình Phước ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

P tổ trưởng

Hội đồng xét duyệt SKKN

Hội đồng xét duyệt SKKN

………

………

………

………

………

………

………

………

………