H là trực tâm của tam giác.. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.. 1 Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.. 2 Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng củ
Trang 1ĐỀ 2 Bài 1
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
1) Rút gọn P
2) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên
Bài 2
Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
1).Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm
2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 23
3
1 x
x =50
Bài 3
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh:
1) Phương trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 và t2
2) Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4
Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O H là trực tâm của tam giác D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A
1) Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành
2) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng
3) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất
Bài 5
Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 1y2 501xy
ĐÁP ÁN Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0 ;x 1
a, Rút gọn: P =
1
1 2
: 1
1
x
x x
x
x
<=> P =
1
1 )
1 (
1 2
x
x x
x
b P =
1
2 1 1
1
x x
x
Để P nguyên thì
) ( 1 2
1
9 3
2
1
0 0
1
1
4 2
1
1
Loai x
x
x x
x
x x
x
x x
x
Vậy với x= 0 ; 4 ; 9 thì P có giá trị nguyên
Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:
Trang 2
0 1 2
0 6
0 6
4 1
2
2
1
2 2
1
2 2
m x
x
m m
x
x
m m
m
2
0 ) 3 )(
2 (
0 25
m
m m
b Giải phương trình: 2 3 ( 3 ) 3 50
m
2 5 1 2 5 1
0 1 50
) 7 3
3 ( 5
2 1
2 2
m m
m m
m m
Bài 3: a Vì x1 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 nên ax12 + bx1 + c =0
Vì x1> 0 => c 1 . 1 0
1
2
1
a x
b
x Chứng tỏ
1
1
x là một nghiệm dương của phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1
=
1
1
x Vì x2 là nghiệm của phương trình:
ax2 + bx + c = 0 => ax2 + bx2 + c =0
vì x2> 0 nên c 1 . 1 0
2 2
2
a x
b
x điều này chứng tỏ
2
1
x là một nghiệm dương của phương trình ct2 + bt + a
= 0 ; t2 =
2
1
x
Vậy nếu phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x1; x2 thì phương trình : ct2 + bt + a =0
cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 t1 =
1
1
x ; t2 =
2
1
x
b Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dương nên
t1+ x1 =
1
1
x + x1 2 t2 + x2 =
2
1
x + x2 2
Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4
a Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên
CH AB và BHAC => BD AB và CD AC
Do đó: ABD = 900 và ACD = 900
Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O
Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD
của đường tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB
nhưng ADB =ACB nhưng ADB = ACB
Do đó: APB = ACB Mặt khác:
AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800
Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB = PHB
H
O P
Q
D
C B
A
Trang 3Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB
Chứng minh tương tự ta có: CHQ = DAC
Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O