Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆EMD và đờng tròn ngoại tiếp ∆DNF tiếp xúc nhau tại D.. 1,0 điểm Cho tam giác ABC, gọi P là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
chuyên toán Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm có 2 trang
Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm)
Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng
Câu 1 Giá trị của biểu thức 3+ 5 − 3− 5 bằng:
Câu 2 Đờng thẳng (d) đi qua điểm (4; 6) và song song với đờng thẳng 3
2
1 +
= x
trình của đờng thẳng (d) là :
2
1 +
= x
2
1 +
= x
2
1 +
= x
2
1 +
= x y
Câu 3 Hệ phơng trình
= +
=
−
4 2
3 2
y x
y x
có nghiệm là :
A (0; - 3) B (4; 0) C (2; 1) D (1; -1)
Câu 4 Biểu thức
1 2
1
−
x đợc xác định khi :
A
2
1
≥
2
1
<
2
1
>
2
1
≠
x
Câu 5 Cho hàm số 2
7
2
x
y= (1) Kết luận nào sau đây là đúng ?
A Hàm số (1) đồng biến trên R
B Hàm số (1) nghịch biến trên R
C Hàm số (1) đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
D Hàm số (1) đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Câu 6 Nếu phơng trình x2 – 4x + m – 2 = 0 (x là ẩn số) có nghiệm kép khi:
Câu 7 Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm là 3+ 2 và 3− 2, ta đợc phơng trình:
A x2 −2 3x+1=0 B x2−2 2x+1=0
C x2 +2 3x−1=0 D x2+2 2x−1=0
Câu 8 Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 10cm là:
A cm
3
3
3
3
3
3
3 3
Câu 9 Tam giác ABC cân tại A, có góc BAC bằng 450 và BC = 4cm nội tiếp đờng tròn
(O; R) Tính R ta đợc:
2
2 cm C 2 2cm D 4 2cm
Câu 10 Một hình nón có bán kính đáy R = 5cm và đờng sinh l=5 2cm
Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng:
A 25π(cm2) B 25π 2(cm2) C 50π(cm2) D 50π 2(cm2)
Câu 11 Một hình trụ có bán kính đáy bằng R = 3cm và chiều cao h = 6cm
Đề thi thử
Trang 2Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng:
A 54π(cm2) B 36π(cm2) C 18π(cm2) D 9π(cm2)
Câu 12 Một hình trụ có đờng kính đáy bằng chiều cao h Thể tích hình trụ đó bằng:
A
2
3
h
4
3
h
Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Bài 1 (1,0điểm)
Cho biêủ thức
a
a a
a a a
a a A
−
+
− +
+ +
− +
+
=
4
2 2
4 2
8
) 1 2 (
1 Rút gọn A
2 Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 2 (1,5điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phơng trình : y = 2x2 , một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0 ; 2)
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2 Tìm m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
3 Gọi x1 và x2 là hoành độ của hai điểm A và B Tìm giá trị của m để x1−x2 ≥2
Bài 3 (3,0điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy D trên cung AB (D khác A, B), lấy
điểm C nằm giữa O và B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB Đờng thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax và By lần lợt tại E và
F Chứng minh rằng:
1 Góc DFC bằng góc DBC và ∆ECF vuông
2 Giả sử EC cắt AD tại M, BD cắt CF tại N CMR : MN//AB
3 Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆EMD và đờng tròn ngoại tiếp ∆DNF tiếp xúc nhau tại D
Bài 4 (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC, gọi P là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác và S là diện tích tam giác
1 Chứng minh rằng S = P r
2 Tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác mà độ dài ba cạnh là 58 cm, 42 cm và
40 cm
Bài 5 (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : 4x−y2 − y+2 = 4x2 +y
=== Hết ===
Họ tên học sinh: ……… , Giám thị 1: ………
Số báo danh: ……….……… , Giám thị 2: ………
Sở giáo dục và đào tạo
CHUYÊN TOáN Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm có 2 trang
Đáp án – Biểu điểm
Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm)
- Chọn đúng mỗi câu đợc 0,25 điểm
Đề thi thử
Trang 3(vô lí)
Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Bài 1 (1,0điểm)
Cho biêủ thức
a
a a
a a a
a a A
−
+
− +
+ +
− +
+
=
4
2 2
4 2
8
) 1 2 (
1 Rút gọn A
Ta có: 8+2 a−a=−( a−4)( a +2)=(4− a)( a +2)
ĐKXĐ:
≠
≥
⇔
≠
≥
⇔
≠
−
≥
2
0 4
0 0
4
0
a
a a
a a
a
) 2
; 0 (
2
3
) 2 )(
4 (
) 4 ( 3 )
2 )(
4 (
12 3
) 2 )(
4
(
4 4 16
2
) 2 )(
4 (
) 2 )(
2 ( ) 4 )(
4 ( ) 1 2
(
4
2 2
4 )
2 )(
4
(
) 1 2
(
≠
≥ +
=
+
−
−
= +
−
+
−
= +
−
−
−
−
− + +
=
+
−
+ +
− +
− + +
=
−
+
− +
+ + +
−
+
=
a a a
A
a a
a a
a
a a
a
a a a a
a
A
a a
a a
a a a
a
A
a
a a
a a
a
a a
A
Vậy
2
3
+
=
a
A (với a≥0;a≠2)
2 Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Ta có:
2
3
+
=
a A
Vì a≥ 0 nên a+2>0
Để A nhận giá trị nguyên thì a+2 phải là ớc nguyên dơng của 3
=
−
=
⇔
=
+
=
+
⇒
1
1 3
2
1 2
a
a a
a
⇒ a =1⇔a=1 (thoả mãn)
Vậy với a = 1 thì A nhận giá trị nguyên
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 2 (1,5điểm)
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d)
- Gọi phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì (d) có hệ số góc bằng m nên y = mx + b (d)
Vì (d) đi qua điểm I(0 ; 2) nên ta có : 2 = m.0 + b ⇒ b = 2
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là y = mx + 2
2 Tìm m để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
- Xét phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P)
2x2 = mx + 2 ⇔ 2x2 – mx + 2 = 0 (1)
PT (1) có : ∆ = m2 – 4.2.2 = m2 – 16
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân
biệt, tức là ∆ > 0 ⇔ m2 – 16 > 0 ⇔ (m – 4)(m + 4) > 0
−
<
>
⇔
−
<
<
−
>
>
⇔
<
+
<
−
>
+
>
−
⇔
4 4 4
4 4 4
0 4
0 4
0 4
0 4
m m
m m m m
m
m
m
m
Vậy với m > 4 ; m < - 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
0.5 điểm
0.5 điểm
Trang 4N M
O
F
O'
O''
D
C E
.P
3 Tìm m để x1- x2 ≥2
- Theo phần 2 ta có với m > 4 ; m < - 4 (*) thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
A và B
Gọi x1 và x2 là hoành độ của điểm A và B
⇒ x1 và x2 là 2 nghiệm của PT (1) nên theo định lí Vi – ét ta có:
) 3 ( 1
) 2 ( 2
2
1
2
1
=
=
+
x
x
m
x
x
Xét : x1−x2 ≥2⇔(x1−x2 )2 ≥4⇔ x12 +x22 −2x1x2 ≥4
4 4
)
2
⇔ x x x x thay (2) và (3) vào ta đợc:
−
≤
≥
⇔
≥
⇔
≥
⇔
≥
⇔
≥
−
2 4
2 4 2
4 32
8 2 4 1
4
2
2 2
2
m
m m
m m
m
kết hợp với
điều kiện (*) ta đợc \\\\\\\////////////////////////////////\\\\\\\\\\\
−4 2 - 4 0 4 4 2
2 4
;
2
−
m
0.5 điểm
Bài 3 (3,0điểm)
1 Góc DFC bằng góc DBC và ∆ECF vuông
Ta có : FB ⊥ AB (gt) ⇒ gócCBF = 900
CD ⊥ EF (gt) ⇒ gócCDF = 900
CE ⊥ AB (gt) ⇒ gócBAF = 900
+ Xét tứ giác BCDF có : gócCBF + gócCDF = 900 + 900 = 1800
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác BCDF nội tiếp đờng tròn đờng kính CF
Xét đơng tròn đk CF có:
gócCFD là góc nội tiếp chắn cung CD
gócCBD là góc nội tiếp chắn cung CD
⇒ gócCFD = gócCBD (1)
+ Xét tứ giác ACDE có : gócEAE + gócCDE = 900 + 900 = 1800
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACDE nội tiếp đờng tròn đờng kính CE
Xét đờng tròn đk CE có:
Góc CAD và góc CED là các góc nội tiếp cùng chắn cung DC
⇒ góc CAD = góc CED (2)
Mặt khác trong ∆ADB (gócD = 900)
có : gócCAD + gócCBD = 900 (2 góc nhọn trong tam giác vuông) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ góc CED + góc CFD = 900
0,5 điểm
Trang 5r R
r
r O
A
D
F
E
Hay góc CEF + góc CFE = 900⇒ ∆ECF vuông tại C
2 Chứng minh MN//AB
Xét tứ giác CMDN có: góc MCN = 900 (vì ∆ECF vuông tại C)
góc MDN = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)
⇒ góc MCN + góc MDN = 900 + 900 = 1800
mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CMDN nội tiếp đờng tròn đờng kính MN
⇒ gócCMN = gócCDN (góc nội tiếp đờng tròn đk MN cùng chắn cung NC)
Ta có: góc EDA + góc ADC = góc EDC = 900
góc CDN + góc ADC = góc ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
⇒ góc EDA = góc CDN (cùng phụ với góc ADC)
Nh vậy: gócEDA = gócCDN
gócCDN = gócCMN (cm trên)
gócEDA = gócMCA (góc nột tiếp đtròn đk EC cùng chắn cung AE)
Từ đó suy ra gócMCA = gócCMN (= gócEDA = gócCDN)
mà 2 góc MCA và góc CMN ở vị trí so le trong
⇒ MN // AB (Đpcm)
3 Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆EMD và đờng tròn ngoại tiếp ∆
DNF tiếp xúc nhau tại D
+ Gọi (O’) là đờng tròn ngoại tiếp ∆EMD, (O’’) là đờng tròn ngoại tiếp ∆
DNF, P là trung điểm của MN
⇒ DP là trung tuyến của tam giác vuông MDN
⇒ PD = PM = PN
⇒ ∆PMD cân tại P ⇒ góc PMD = góc PDM
Ta có: góc MED = góc DAB (góc nội tiếp đtròn đk EC cùng chắn cung DC)
góc DAB = góc DMN (2 góc đồng vị)
mà góc DMN = góc MDP (cm trên)
⇒ góc DEM = góc MDP
mà góc DEM là góc nội tiếp của đờng tròn (O’) chắn cung MD
tia DP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là MD không chứa điểm E
⇒ Tia DP là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) tại tiếp điểm D (4)
Lại có: góc PDN = góc MND (vì ∆PDN cân tại P)
góc MND = góc DBA (2 góc đồng vị)
góc DBA = góc DFN (góc nội tiếp đtròn đk FC cùng chắn cung DC)
⇒ góc NDP = góc DFN ( = góc MND = góc DBA)
mà góc DFN là góc nội tiếp của đờng tròn (O’’) chắn cung ND
tia DP nằm trên nửa mặt phẳng bờ là ND không chứa điểm F
⇒ Tia DP là tiếp tuyến của đờng tròn (O’’) tại tiếp điểm D (5)
Từ (4) và (5) suy ra DP là tiếp tuyến chung trong của đờng tròn (O’) và (O’’)
tại tiếp điểm D
Vậy đờng tròn ngoại tiếp ∆EMD và đờng tròn ngoại tiếp ∆DNF tiếp xúc
ngoài tại tiếp điểm D
0,5 điểm
1,0 điểm
1,0 điểm
Bài 4 (1,0 điểm)
1 Chứng minh rằng S = P r
+ Xét ∆ABC có:
r là bán kính đờng tròn nội tiếp
OF OE
OD
P là nửa chu vi của tam giác
2
BC AC
AB
P= + +
S là diện tích của tam giác
Ta có:
COA BOC
AOB
S∆ = ∆ + ∆ + ∆
AB OD
S AOB
2
1
=
∆
Trang 6BC OF
S BOC
2
1
=
∆
AC OE
S COA
2
1
=
∆
P r AC BC AB r AC BC AB r
AC r BC r AB r AC OE BC
OF AB
OD
S ABC
2
) (
2
1
2
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
1
= + +
= + +
=
+ +
= +
+
=
⇒ ∆
Vậy S = P.r
2 Tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác mà độ dài ba cạnh là 58 cm,
42 cm và 40 cm
+ Xét tam giác có độ dài 3 cạnh 58cm; 42cm và 40cm:
có: 422 + 402 = 1764 + 1600 = 3364
582 = 3364
⇒ 422 + 402 = 582
⇒ Tam giác có độ dài 3 cạnh nh trên là tam giác vuông (Đlí Pi-ta-go đảo)
+ Nửa chu vi (P) của tam giác đó là:
) ( 70 2
58 42
40
cm
P= + + =
+ Diện tích (S) của tam giác đó là:
) ( 840 40
42
2
cm
+ Theo kết quả chứng minh phần 1) ta có bán kính đờng tròn nội tiếp tam
70
840
cm r
P
S
r= ⇒ = =
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 5 (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : 4x−y2 − y+2 = 4x2 +y
Ta có: 4x−y2 − y+2 = 4x2 +y
2 2
2 2
2 4 2 2 4
4 − 2 = 2 + + + + 2 + +
⇔ x y x y y x y y
0 2 4 2 ) 1 ( )
1
2
(
0 2 4 2 2 2 4
4
2 2
2
2 2
2
= + +
+ + +
+
⇔
= + +
+ + + +
+
⇔
y y x y
x
y y x y
y x
x
= +
−
−
−
=
−
=
⇔
= + +
= +
= +
⇔
= + +
=
+
= +
⇔
) / ( 0 ) 2 1 )(
1 4
1 4 ( 1 2 1
0 ) 2 )(
4 (
0 1
0 1 2
0 2 4
2
0 )
1
(
0 )
1
2
(
2 2
2
2
man T y
x
y y x y x
y y x
y
x
Vậy
−
=
−
=
1
2
1
y
x
0.5 điểm
* Chú ý:
- Trên đây chỉ trình bày 1 cách giải nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.
- Học sinh làm đợc phần nào cho điểm phần đó theo đúng thang điểm của từng phần.
- Trong một câu nếu học sinh làm phần trên sai, dới đúng thì không chấm điểm.
- Bài hình học, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm Học sinh không vẽ hình mà làm vẫn đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm đợc
Trang 7- Bài có nhiều ý liên quan đến nhau, nếu học sinh công nhận ý trên để làm ý dới mà học sinh làm
đúng thì chấm điểm ý đó.
- Điểm của bài thi là tổng điểm của các câu làm đúng và không đợc làm tròn.
= = = Hết = = =