A C B S T A D C S MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP 1- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản : Trục của đa giác : là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác và vuông góc với
Trang 1b c
a
A
HÌNH HỌC
ÔN TẬP :
1) Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :
Cho ABC vuông tại A , AH là đường cao Ta có :
BC2 AB2AC2 ( Pitago )
AB2 BH BC , AC2 CH CB
AH AB AC ,
2
2
BC
AM ( trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền )
2) Các hệ thức lượng trong tam giác thường :
a) Định lí hàm số cosin :
a2 b2 c2 2bccosA
b2 a2 c2 2accosB
c2 a2b2 2abcosC
cos
2
A
bc
cos
2
B
ac
cos
2
C
ab
b) Định lí hàm sin :
2
R
A B C ( R là bk đường tròn ngoại tiếp của ABC )
A
B
C
H M
Trang 2b c
a
A
B
A
N K
M
A
a
h
Công thức tính diện tích của tam giác :
2ah a 2bh b 2ch c
4
abc S
R
, S p r
S p p( a p b p)( )( c) ( Với
2
a b c
p , r là bán kính đường tròn nội tiếp
ABC
)
c) công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác :
2
2
BN
2
3) Định lí Talet :
Chú ý :
2 2
AMN ABC
k
4) Diện tích của đa giác :
a) Diện tích của tam giác vuông:
S = 1
2 tích hai cạnh góc vuông
ABC vuông tại A
1
2
ABC
b) Diện tích tam giác đều :
2
4
canh
Chiều cao của tam giác đều : h = ( ) 3
2
canh
ABC đều có cạnh a : Diện tích :
2
3 4
a
S
Chiều cao : 3
2
a
h
Trang 3A
C
D
C
B H
c) Diện tích của hình vuông :
Đường chéo hình vuông =(cạnh) 2
Hình vuông ABCD có cạnh a Diện tích : S a2
Đường chéo : AC = BD = a 2
d) Diện tích hình chữ nhật :
S dài x rộng
e) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
2
S tích hai đường chéo
Tứ giác ABCD có hai đường chéo
vuông góc ACBD thì 1
2
f) Diện tích hình thang :
S= 1
2(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
2
Ghi Nhớ
1/ Chứng minh đường thẳng d//mp ( với ( ) d ( ) )
Chứng minh d//d và d ( )
2/ Chứng minh mp( ) // mp( )
Chứng minh ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với ( )
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song : Áp dụng một trong các định lí sau
Hai mp ( ) , ( ) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song a , b
thì ( ) ( ) Sx a b// //
( ) // a a, ( ) ( ) ( ) b a//
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó
Trang 4b
a' b'
( ) ( )
( ) ( )
P
d
Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Sử dụng phương pháp hình học phẳng : đường trung bình , định lí Talét đảo , …
4/ Chứng minh đường thẳng d mp ( )
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong ( )
Chứng minh //d d và d ( )
Chứng minh d ( ) mà ( ) //( )
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3
Có hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến , cũng vuông góc với mặt phẳng kia
( ) ( )
( )
a
5/ Chứng minh đường thẳng d d
Chứng minh d ( ) và ( ) d
6/ Chứng minh mp( ) mp( )
Chứng minh ( ) d và d ( )
( chứng minh mp này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia )
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 1/ Góc giữa hai đường thẳng :
/ / ' ( , ) ( ', ')
/ / '
2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Trang 5b a
d
M
d'
d M
Là góc tạo bới đường thẳng đó
và hình chiếu của nó trên mặt phẳng
( , ( ))d ( , ')d d với d’ là hình chiếu vuông góc của d lên ( )
3/ Góc giữa hai mặt phẳng :
( ) ( )
( ),
d
4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Là độ dài đoạn vuông góc
vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
5/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng
7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó
Là khoảng cách MH từ một
điểm M trên d đến mp ( ) chứa d’ và song song với d
Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ), ( ) lần lượt chứa d và d’
d’
d
M
Trang 6O H
B S
H O
C
S
B
HÌNH CHÓP ĐỀU
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
Nhận xét :
a) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau
b) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
Hai hình chóp đều thường gặp :
1) Hình chóp tam giác đều :
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
Đáy ABC là tam giác đều
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Chều cao : SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAOSBO SCO
Góc giữa mặt bên và mặt đáy : SHO
3
AO AH , 1
3
2
AB
AH
Chú ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều
Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều Như vậy : Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy
2) Hình chóp tứ giác đều :
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Đáy ABCD là hình vuông
Các mặt bên là các tam giác cân tại S
Chều cao là SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAOSBO SCOSDO
Góc giữa mặt bên và mặt đáy : SHO
Nhắc lại :
- Một tam giác đều có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , chiều cao h =
- Một hình vuông có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , độ dài đường chéo =
Trang 7B
A
B
C
D S
B B
a
b
c a
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1)Thể tích khối chóp :
V= 1
3 h B
B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối chóp
2) Thể tích khối lăng trụ :
V = B.h
B : là diện tích mặt đáy
h : là chiều cao của khối
lăng trụ
Ghi chú : Lăng trụ đứng có chiều cao
cũng là cạnh bên
3) Thể tích hình hộp chữ nhật
V = a.b.c
4)Thể tích khối lập phương :
V = a 3
Trang 81) Tỉ thể tích
SA B C
SASBC
A
C
B
S
A'
B ' C '
Trang 9A
C
B
S
T
A
D
C S
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
1- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản :
Trục của đa giác : là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác và
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác
Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
Mặt trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
2- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
3- Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp :
Dạng 1 : Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông
90
Tâm T của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC là trung điểm của SC
Bán kính
2
SC
R
Hình chóp S.ABCD có
90
Tâm T của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm của SC
Bán kính
2
SC
R
Trang 10 Dạng 2 :
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
- Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy
- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên , dựng đường trung trực của cạnh bên cắt
SO tại I I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
+ Hình chóp có một cạnh bên SA vuông góc với đáy
- Tìm trục của đáy
- Trong mặt phẳng chứa cạnh bên SA và chứa trục , dựng đường trung trực d của cạnh bên
SA cắt tại I I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 3 : Với hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
- Dựng trục của đáy
- Dựng trục d của mặt bên vuông góc với đáy
- d I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hình chóp SABC có đáy là ABC vuông cân tại A , hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm O của BC , SO = AB = a
a) CMR BC SA , tính SA theo a
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy Biết góc 0
120
BAC , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 3 :
a) Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2
3
a
b) Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 600
c) Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , mặt bên hợp với đáy một góc 600
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đỉnh S cách đều A , B , C và
SA tạo với (ABCD) một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Trang 11Bài 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 , mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mp (SAB) vuông góc với mp
đáy ,SA = SB , góc giữa SC với mp đáy bằng 45 0.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
(CĐ A-2010) ĐS :
3 5 6
a
V
Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , các mặt bên ( SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) , cho AB = a , AD = 2a , SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 5
2
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 9 :Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với đáy
.Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết AB = a 3, BC =
a,SA = 3a
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE ĐS :
3
;
S ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mp (SAB)
Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD ABC900, AB = BC = a ,AD =2a , SA (ABCD) , SA = 2a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( CĐ khối A – 2008 )
ĐS:
3 3
a
Bài 11: Cho hình chóp tứ gác đều S.ABCD có AB = a , SA = a 2 Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP ( CĐ – 2009 )
Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA (ABCD)
Cho AB = a , SAa 2 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD
Trang 12Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích của khối chóp OAHK
Bài 13 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết SA vuông góc với đáy
(ABC) Cho AB = a , BCa 3 , SA = a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắt
SB tại K Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo a
Bài 14 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,gócACB 300, AA’= 3a , AC = 2a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện Tính thể tích của
mỗi khối đa diện đó
Bài 15 : Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AC = a , góc BCA 600 Đồng thời đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt
phẳng (AA’C’C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC’
b) Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 16 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’ cách
đều các đỉnh A,B,C Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đó
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Gọi O1 là tâm của hình vuôngA1B1C1D1 Tính thể tích của khối lập phương và thể tích của khối tứ diện A1O1BD Chứng minh :
1 ( 1)
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy , cạnh bên SB = a 3
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 19:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh bên SA vuông góc với
đáy Biết AB = a 3 , BC = a , SB tạo với mp(ABC) một góc 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy Mặt
(SBD) tạo với mặt đáy một góc 600
Trang 13a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD
Bài 21 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b) Xác định tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 22 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 23 : Cho hình chóp S.ABC có có đáy là ABC vuông tại A ,SA (ABC), góc ABC = 0
30 ,
AC = a , SA = 4a
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Xác định tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A , hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC) là trung điểm O của BC , SO = AB = a
a) CMR BC SA , tính SA theo a
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp
c) Gọi H là trung điểm AB , OK SH.Chứng minh OK SAB
d) Gọi M là trung điểm OC , qua M dựng mp() vuông góc AB, cắt AB , SA , SC lần lượt tại
N, P , Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNPQ
e) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt đáy là trung điểm H của AB , SAB đều
a) Tính góc hợp bởi SD , SB với đáy và thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Gọi K là trung điểm CD Chứng minh mp(SHK) là mp trung trực của CD
c) Gọi I là trung điểm SB Qua I dựng mp() song song mp(SCD) cắt SA , AD , BC lần lượt tại J,M,N Tứ giác IJMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác IJMN theo a
d) Tính d[AD,SB]; d[AB,(SCD)] và góc hợp bởi SB với mp (SCD)
e) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 14Bài 26 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ,đáy là tam giác đều cạnh a , điểm A cách đều A’ , B’, C’ và
AA’ hợp với đáy một góc 600
a) Tính thể tích khối lăng trụ
b) Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật Tính Sxq lăng trụ
c) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.A’B’C’
Bài 27 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung
điểm AB , AD H là giao điểm của CN với DM.Biết SH vuông góc với (ABCD) với SH = a 3
.Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa DM và SC theo a
(ĐH A-2010) ĐS :
3
5 3 2 3
;
Bài 28:Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa 2 mp(A’BC) và (ABC)
bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đ ã cho và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (ĐH B-2010) ĐS :
3
;
Bài 29 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a, hình chiếu vuông góc
của S lên mp (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH =AC
4 Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
(ĐH D-2010) ĐS :
3 14 48
a
Bài 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, ' 2
ABa AA a , A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ , I là giao điểm của AM và
A’C Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) theo a
( ĐH khối D – 2009 ) ĐS :
3 4 9
a
V , d(A , (IBC))=2 5
5
a
Bài 31 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông
tại A , AB = a , ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của
cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AA’ , B’C’ ( ĐH khối A – 2008 ) ĐS :
3 2
a
V , cos 1
4
