Ôn tập hình học không gian

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện Để chứng minh d  P, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nha

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện

- -

1 Hai đường thẳng song song

, ( )

    





b) Tính chất



( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )









( ) ( ) ( ) ,( )

a b







 





,

a c b c



2 Đường thẳng và mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: d // (P)  d  (P) = 

b) Tính chất

'

d d













 ( ) ( )

( ) ,( )





3 Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: (P) // (Q)  (P)  (Q) = 

b) Tính chất



( ) ,

( ) ( ) ( ), ( )











( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )













( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )













4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

 Chứng minh 2 đường thẳng phân biệt đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

 Áp dụng các định lí về giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d  ( )P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào đó nằm trong (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song mặt phẳng kia

I QUAN HỆ SONG SONG PHẦN I ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

1 Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa: a  b  a b ,  900

b) Tính chất

 Giả sử u

là VTCP của a, v

là VTCP của b Khi đó abu v  0

   







2 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P)

b) Tính chất

 Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng: , ( ), ( )

,



( )





a ( ),P b ( )P

( )



 



( ) ,( )

( )

( )



 



,( )

 

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

 Định lí ba đường vuông góc

Cho a ( ),P b( )P , a là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b  a  b  a

3 Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: (P)  (Q)   ( ),( ) P Q  900

b) Tính chất

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( ) ( ) ( )

( )







( ),

( ) ( )

, ( )









( ) ( )

( ) ( )







4 Chứng minh quan hệ vuông góc

a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh da, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

 Chứng minh góc giữa a và d bằng 90 0

 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau

 Chứng minh d  mà b b  a

 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vuông góc

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go đảo, …)

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

II QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)

 Chứng minh d // a và a  (P)

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q)

 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)

c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh ( ),( )P Q  900

1 Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b'  a b, a b', '

Chú ý: 00  a b,   900

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

 Nếu d  (P) thì d P = 90,( ) 0

 Nếu d  ( )P thì d P = ,( ) d d với d là hình chiếu của d trên (P) , '

Chú ý: 00  d P  90,( ) 0

c) Góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ),( ) , 

( )

 

  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng ( ),

( ),



( ),( )P Q a b, 

Chú ý: 00 ( ),( )P Q 900

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),

 = ( ),( )P Q Khi đó: S  = S.cos

2 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ

từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm

bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên

mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

III GÓC – KHOẢNG CÁCH

1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH

 AB2AC2 BC2  AB2 BC BH AC , 2BC CH  1 2 12 12

 AB AC BC AH  AH2CH BH

 ABBC.sinCBC.cosBAC.tanCAC.cotB

b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

 Định lí cosin:

a =b c –2bc cosA; b c a  ca.cos ;B c a b  ab.cosC

C

c B

b A

a

2 sin sin

 Công thức độ dài trung tuyến:

2 Các công thức tính diện tích

a) Tam giác:

 S a h a b h b c.h c

2

1 2

1 2

1





2

1 sin 2

1 sin 2

1









R

abc

S

4

 ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH

 ABC đều, cạnh a:

4

a

S 

b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB AD sinBAD. . 

2

S AB AD sinBAD  AC BD

f) Hình thang: S a b.h

2

1



g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1

2

S AC BD

IV Nhắc lại một số công thức trong hình học phẳng

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện

 Trong bài toán: “cho khối chóp tam giác đều S.ABC” là ta hiểu đã có các giả thiết:

1 Đáy ABC là một tam giác đều

2 Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mp đáy trùng với tâm của đáy

3 Các cạnh bên bằng nhau

4 Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau

5 Các mặt bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau

 Còn nói đến “cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều” thì ta chỉ có một giả thiết

“tam giác ABC đều”

 Tứ diện đều là khối chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng các cạnh đáy

 Tương tự phân biệt giữa hai khái niệm: “cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD” (tứ giác đều là hình vuông) và “cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông”

 Nói đến “cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’” tức là lăng trụ đó có:

1 Đáy là tam giác đều và

2 Cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Còn nói đến “cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều” tức là lăng trụ đó có “đáy

là tam giác đều” chứ cạnh bên không hẳn vuông góc với đáy

 Nói đến “cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với đáy là một hình bình hành

 Nói đến “cho khối hộp đứng ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với đáy là một hình bình

hành và cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Nói đến “cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’” tức là ta có lăng trụ với

1 Đáy là hình chữ nhật và

2 Cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy

 Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy (Nếu đáy là tam giác thì thêm tâm đường tròn bàng tiếp)

 Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao thuộc giao tuyến của mặt phẳng

đó và đáy

 Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mp đó

V Một số khối hình không gian đặc biệt

- -

1 Thể tích của khối hộp chữ nhật:

V abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật

2 Thể tích của khối chĩp:

3 đáy

V  S h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chĩp

3 Thể tích của khối lăng trụ:

V S đáy.h với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a) Tính thể tích bằng cơng thức

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

 Sử dụng cơng thức để tính thể tích

b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà cĩ thể dễ dàng tính được thể tích của

chúng Sau đĩ, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính

c) Tính thể tích bằng cách bổ sung

Ta cĩ thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào

và khối đa diện mới tạo thành cĩ thể dễ tính được thể tích

d) Tính thể tích bằng cơng thức tỉ số thể tích (Xem ba bài tập cơ bản cần nắm)

* Bổ sung

 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chĩp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện

tích các đáy

Bài 1 Cho khối chĩp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm A’, B’ và C’ khơng trùng với S

Chứng minh rằng: 1

2

V SA ' SB ' SC '

V  SA SB SC , với V1 và V2 lần lượt là thể tích của các khối chĩp S.A’B’C’ và S.ABC

Bài 2 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ thể tích V1 Gọi V2 là thể tích của khối tứ diện C’ABC Chứng minh rằng V2 = 1

6V1 Bài 3 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ thể tích V1 Gọi V2 là thể tích của khối tứ diện ACA’B’ Chứng minh rằng V2 = 1

3V1

(học sinh cần nắm vững việc chứng minh ba bài tập trên)

PHẦN II THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Ba bài tập cơ bản cần nắm

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện

1) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2, AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC

2) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC

3) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABC

4) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC 120 0,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = AC = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

7) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

8) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

9) Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

10) Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 , cạnh A/B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ

11) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB 600, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD 13) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính thể tích khối chóp S.AMN

14) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM

15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi I là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD

16) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA(ABCD và SA= a.Tính thể tích ) khối chóp S.BCD theo a

17) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 60 Tính 0 thể tích khối chóp theo a

18) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp theo a

19) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

20) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa AD, 2a;

SA ABCD Cạnh bên SB bằng a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

21) Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA(ABC), góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

 BÀI TẬP NHÓM A

vuông tại B, ABa 3, AC2a, góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 60 0

Tính thể tích khối chóp S.ABC

23) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300 Gọi M là trung điểm SB Tính thể tích

khối chóp M.ABC

24) Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết

SA  (ABC)và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC 25) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA

Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC

26) Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2, AB = AC = a, BAC 600, Hai mặt bên (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC

27) Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3, cạnh

A/A tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

28) (TN – 2009): Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết BAC  1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

29) (TN – 2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

30) (TN – 2011): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD

= CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với mặt

phẳng đáy một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

31) (TN – 2012): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với

BA = BC = a Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a thể

tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

32) (TN – 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300 Tính theo a thể

tích khối chóp S.ABCD

1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA =

a 5 Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C

và D Tính thể tích của khối đa diện ADD.BCC

2) Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể

tích hình chóp theo x và y

3) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ

diện theo a, b, c

4) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC).Gọi M

và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp

A.BCNM

5) Cho hình tứ diện ABCD có AD  (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

6) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có mp(ABC) tạo với đáy một góc 450 và diện tích

ABC bằng 49 6 cm2

Tính thể tích lăng trụ

7) Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và

ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi

 BÀI TẬP NHÓM B

Hình học không gian 12 - - - Chủ đề thể tích khối đa diện

BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y

8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA  (ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC a) Chứng minh mp(SAC)  BM

b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

9) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC) Gọi M

và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

10) Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5

a) Hạ AK  A1D (KA1D) CMR: AK = 2

b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

11) Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là tam giác đều mp(A1BC) tạo với đáy một góc

300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 12) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD = 450 AC1 và

DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600

Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 nếu biết chiều cao của nó bằng 2

13) Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a

A ABBADA AD Tính thể tích của khối hộp ABCD.A1B1C1D1

14) Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD = 7 , cạnh bên bằng 1 Hai mặt bên (ABB1A1) Và (ADD1A1)lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A1B1C1D1

15) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 mà mặt bên ABB1A1 có diện tích bằng 4 Khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt (ABB1A1) bằng 7

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1

16) Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB

= 2 Cho biết mp(AA1B)  (ABC), AA1= 3 , góc A AB nhọn, góc giữa mp(A1 1AC) và mp(ABC) bằng 600

Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1

17) Tính thể tích của khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng a, diện tích hai mặt chéo bằng S1,

S2 và góc giữa hai mặt chéo là 

18) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và ASB2 Tính thể tích khối chóp

19) Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA  (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất?

20) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng 2a Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp để thể tích của nó nhỏ nhất?

21) (KHỐI A - 2008) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’

22) (KHỐI B - 2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN 23) (KHỐI D - 2008): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =

BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M là trung điềm của BC Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, BC

24) (KHỐI A - 2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

25) (KHỐI B - 2007): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN  BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và

AC

26) (KHỐI D - 2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với

 ABCBAD900, BC = BA = a, AD = 2a SA(ABCD), SA  a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD)

27) (Dự bị 1 A–2007): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và

BAC 1200 Gọi M là trung điểm CC1 Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ

A đến (A1BM)

28) (Dự bị 2 A–2007): Cho hình chóp SABC có góc  (SBC),(ABC)  600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC)

29) (Dự bị 1 B–2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD) AB = a, SA  a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh SC(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK

30) (Dự bị 2 B–2007): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm

C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho  (SAB) SBC,( )  600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC

31) (Dự bị 1 D–2007): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB =

AC = a, AA1 = a 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1 Chứng minh MN

là đường vuông góc chung của AA1 và BC1 Tính thể tích của tứ diện MA1BC1

32) (Dự bị 2 D–2007): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C

33) (Dự bị 1 A–2006): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3

2

a

60

BAD  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC'  (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN

34) (Dự bị 2 A–2006): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD

= 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh

SA lấy điểm M sao cho AM = 3

3

a

Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM

35) (Dự bị 1 B–2006): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD 600,

SA  (ABCD), SA = a Gọi C' là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' 36) (Dự bị 2 B–2006): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tan và thể tích khối chóp A'.BB'C'C

37) (Dự bị 1 D–2006): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là đường cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng

b Tính thể tích khối chóp S.ABCD

38) (Dự bị 2 D–2006): Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC sao cho CK = 2

3a Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập

phương thành hai khối đa diện Tính thể tích của hai khối đa diện đó