Tính cosin của góc j tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC.. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x.. Tính k theo a để a chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.. Xác đ
Trang 12 2 2 2 2 2
abc t
a b b c c a
Þ =
H
a b b c c a ; a b b c c a ; a b b c c a
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
a
a b b c c a
b
a b b c c a
ì
-ï
Þ í
î
uuur
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
a
a b b c c a
b
a b b c c a
ì
ï
Þ í
î
uuur uuur
uuur uuur
AH BC
BH AC
^
î H là trực tâm DABC
3 Chứng minh 1 2 12 12 12
OH =OA +OB +OC
2 2 2 2 2 2
abc
OH d O ABC
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 Chứng minh cos2a+cos2b+cos2g = 1
Nhận xét: cosa = cos (( ·OAB), (ABC)) = cos(n r(OAB),n r(ABC))
Gọi n n r r= (ABC) =( ; ;bc ac ab)
n r r=n( )= =k r ( , , ); n r =n r( )= =i r ( , , ); n r =n r( )= =r j ( , , )
cos a cos b cos g cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
Vậy: cos2a+cos2b +cos2g = 1
Trang 2Ví dụ 2:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a Gọi O là trung điểm AH Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2a
1 Tính cosin của góc j tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
2 Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI = m (0 < m < a) Mặt phẳng (a) qua I, vuông góc với
AH cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q
a Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x
b Tìm m để diện tích MNPQ lớn nhất
Giải:
Gọi D là trung điểm AB
1
OD OH
a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
3
a
O( ; ; ), Dæç ; ; ö÷, H( ; a ), ( ; ;S a)
A( ; a; ), Bæ ; ;a ö, Cæ ; ;a ö
1 Tính cosj :
Vẽ BE SA^ tại E ÞCE ^ SA (vì SA^(BCE))Þ j=· BEC
SA=( ; ;a a) = a( ; ; )
uur
Phương trình đường thẳng SA:
0 2
x
ì =
í
ï = î Phương trình mp(BCE): (y a 2z – ) + = 0
Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được: 2 4 0 2
5
a
0
a a
E ;æ ; ö
5 4 3 2 3
5 4 3 2 3
EB
EC
î
uuur uuur
2
5 4 3 2 3 5 4 3 2 3
35 7
85 17 2
85 85 3
a a
EB EC
a
cosj cos( , )
uuur uuur
17
cosj =
2 Ta có: I(0; m; 0), OH a( ; ; ) uuur= 0 1 0
z
S
E
A
D
x
M B
y
H
C
P
N I
m
Q
O
a j 2a
Trang 3a Tính S MNPQ :
Ta có:
AB =æç ; a; ö÷= ( ; ; )
uuur
AC= -æç ; a; ö÷= - ( ;- ; )
uuur
2
SB=æç ; ;a - aö÷ = ( ; ; - )
uur
SC= -æç ; ;a - aö÷ = - ( ; - ; )
uur
Phương trình đường thẳng AB: 3
0
x t
ì =
í
ï = î
0 3
a m
M AB= Ç(MNPQ)Þ Mæç + ; ;m ö÷
Phương trình đường thẳng AC: 3
0
x t
ì =
í
ï = î
0 3
a m
N AC= Ç(MNPQ)Þ Næç- - ; ;m ö÷
Phương trình đường thẳng SB:
2 3
x t
ì =
í
ï = -î
2
3
m
Q SB= Ç(MNPQ)Þ Qæç ; ;m a- mö÷
Phương trình đường thẳng SC:
2 3
x t
ì =
í
ï = + î
2
3
m
P SC= Ç(MNPQ)Þ Pæç- ; ;m a- mö÷
MQ=æç - ; ; a- mö÷; MP=æç- - ; ; a- mö÷; MN =æç- - ; ; ö÷
2
1 2
2
3
MNPQ
MNPQ
uuur uuur uuur uuuur
b/ Tìm m để (S MNPQ ) max :
Bảng xét dấu:
Trang 4m –¥
3
3m 2am a
3
a
–¥
3
3
3 3
Cách khác:
2
2
a
( )
ê - +ç + ÷ ú
3 3
Ví dụ 3:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc OA= a, OB = b, OC = c
1 Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp (S) của OABC Tính bán kính r của (S)
2 Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng hai mặt phẳng (OMN) và (OMP) vuông góc 12 12 12
Giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
1 Tính r:
Ta có: V I AOB. +V I OBC. +V I OCA. +V I ABC. =V OABC
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1
2 1 2 1
ABC
a b b c c a
r ab bc ca a b b c c a abc
[( ; ; ), ( ; ; )]
uuur uuur
Vậy
2 2 2 2 2 2
abc r
ab bc ca a b b c c a
=
2 Chứng minh (OMN) ^ (OMP) 12 12 12
Mæç ; ; ö÷,Næç ; ; ö÷, Pæç ; ; ö÷
n OMN OM ON bc ac ab
( ) =[uuur uuur, ] =æç ; ;- ö÷
r
C
z
y
x
B
A
O
a P b
N
Trang 5
n( )=[OM OP, ] = -æç ; ; - ö÷
uuur uuur r
0
OMN OMP OMN OMP n( ) (n )
2 2 2 2 2 2
0
Ví dụ 4:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB= a, AD = 2a Trên tia Az^(ABCD) lấy điểm S Mặt phẳng (a) qua CD cắt SA, SB lần lượt tại K và L
1 Cho SA = 2a, AK = k 0( £ £k 2a)
a Tính diện tích tứ giác CDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ nhất
b Chứng tỏ khoảng cách giữa hai đường thẳng KD và BC không đổi
c Tính k theo a để (a) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau
2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi S di
động trên tia Az
Giải:
1 Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a)
n KC KD a k a
( ; ; ),
a
= uuur uuur =
r
Phương trình( ) : (a k y-2a)+2az= Û0 ky+2az-2ak= 0
1 0 2
SB a( ; ;= - )
uur
Phương trình đường thẳng SB: 0
2
x a t
ì = + ï
í
ï = -î 0 2
k
( )a Ç = Þ æç - ; ; ö÷
a/ SCDKL = S DCKL + S DCKD:
1
2
1
CK CL CK CD
k
uuur uuur uuur uuur
Xét
/
+ Bảng biến thiên:
k –¥ 0 2a +¥
f(k) 2a2
a2 2
z
S
B x
C
y
D
N
M
K L
A
k
I
Trang 6Vậy: Smax =2a2Û k= 0
Smin =a2 2Û =k 2a
KD BC
[ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; )
[ ; ; ), ( ; ; ]
-uuur -uuur -uuur
* Chú ý: CD là đoạn vuông góc chung của KD và BC
c/ Tính k để 1
2
S CDKL S ABCD
V . = V .
4
a ak
d S
( , ( ))a =
-+
3 3
S ABCD ABCD
a a k a k
a
a a k a k a
.
.
( , ( ))
2 Quỹ tích I:
S AzÎ ÞS( ; ; ),s s> Þ Mæç ; ;a ö÷, Næç ; ;a ö÷
BM = - ( ;a - a s; - ); AN = ( ; ; )a s
Þ Phương trình đường thẳng BM: 11 1
1 2
x a at
z st
ì = +
í
ï = -î Phương trình đường thẳng AN: 2 2
2
0 2
x
z st
ì =
í
ï = î
0 2
I =(AN) (Ç BM) Þ I( ; a s; )
Ta có: ID uur=( ; ;0 0 -s) Þ ID uur uur/ / AS
Vậy quỹ tích I là nửa đường thẳng Dt^(ABCD) (trừ điểm D, do s > 0)
Ví dụ 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a 2;· ASB= a.
1 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
3 Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau
Giải:
Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO là đường cao và SO= h
Trang 7ÞC a( ; ; ), ( ;- 0 0 D 0 -a; )0
1 Tâm I và R của (S) ngoại tiếp chĩp S.ABCD
Do S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều nên I OSỴ Þ I( ; ; )0 0 z0
Phương trình mặt cầu (S): x2+y2+z2-2z z d0 + = 0
2 2 0 2
0
0
2
0 0
a d
A S S
h z h d
d a
h a z
h
, ( )
ì + = ï
ïỵ
ì = -ï
-= ïỵ
( ; ; )( ; ; ) cos
uur uur
2 1
a
cos
a a
Þ =
- (a nhọn do DSAB cân tại S)
Vậy:
a R
cos ( cos )a a
=
a
cos ( cos )
a
-=
-2 Tâm J và r của (S / ) nội tiếp chĩp S.ABCD:
Ta cĩ: J OSỴ Þ J( ; ; ),0 0 r OJ r=
2 2
2
2
1
2
1 1
S ABCD tp S ABCD
xp SAB
tp xp ABCD
a
a h r
cos ( cos ) sin cos
a
a
1
a
OJ cos ( cos ) r
sin cos
-3 Tìm a để I º J
1
1
a a
sin cos cos ( cos )
( cos )( sin cos ) cos ( cos )
a
45o
sin do
do nhọn)
(
Vậy I Jº Ûa =45o
z
S
C
D
O
h
a
a
Trang 8Ví dụ 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = 2a vuông góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM = m ( 0 £ m£ 2a)
1 Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì Tính diện tích thiết diện?
2 Tìm vị trí M để diện tích thiết diện lớn nhất
3 Tìm vị trí M để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a)
ÞC a b( ; ; ), ( ; ; ) (0 M 0 0 m 0£ m£ 2a)
Ta có: n r(MBC)=[MB MC uuur uuur, ]=b m( ; ; )0 a
SD uuur=( ; ;0 b -2a)
Þ Phương trình mặt phẳng (MBC): mx az ma+ - =0
Phương trình đường thẳng SD:
0 2
x
y b bt t R
ì = ï
í
ï = -î
2
ab mb
a
1 Hình tính và diện tích BCMN
2
ab mb
a
BC MB
ì
2 Tìm vị trí M để S BCNM lớn nhất:
4
a
/
2
S( )/ = Û m= ( ± )
2
2
a( + )
2a +¥
m
S( )/ – 0 + 0 –
m
S( ) ab 71 8 2
8
ab +
71 8 2
8
ab
5
2
ab
D
y
x
B
S
z
2a
M
m A
C
N
Trang 971 8 2 2 2
Smin = - Û m= ( - )
2
S BCNM S ABCD
V . = V .
d S MBC
m a
( , ( )) =
-+ 2
2
2
S BCNM
S ABCD
a
m a
a b
.
.
+
4
a m a m a
( - )( - )
m am a m ( )a (vì m 2a)
Vậy AM =(3- 5) a
Ví dụ 7:
Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a
1 Chứng minh A C/ ^(AB D/ /) Tính góc j giữa (DA¢C) và (ABB¢A¢)
2 Trên cạnh AD/, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k 0( < <k a 2)
a Chứng minh MN // (A/D/BC)
b Tìm k để MNmin Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD¢, DB
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)
Mæ ; ; ö, Næ ; a ; ö
1 Chứng minh A C/ ^(AB D/ /):
0
A C a a a
/ / /
( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )
-ïï
ï
= ïî
uuuur
uuuur
uuuur
AB D
AB D
AB D
A C n
/ /
/ /
/ /
/
/
Þ
uuuur uuuur r
uuuur r P
Vậy A C/ ^(AB D/ /)
z
z
a
N
M
k
Trang 10Cách khác: 0
0
A C AD
A C AD
^ ï
ïî
uuuur uuuur uuuur uuuur
n =[DA DC uuuur/, ] ( ;= a a; )
n r2 =n r(ABB A/ / )= =r j ( ; ; )0 1 0
2
1 2
2
1 2
2 2 2
a
n n
cosj
r r
Vậy j =45o
2 a Chứng minh MN // (A / D / BC):
2
1
2 2 2
1 0 1
A D BC
n n / / BA BC/ a
-uuuur
uuuur uuur
r r
2
a
MN n = - (k k- )=
uuuur r
MN (A D BC/ / ) (do M (A D BC/ / )
b/ Tìm k để MN min :
Ta có: 2 1 6 2 4 2 2 2
2
MN = ( k - ak+ a )
k –¥ 0 2
3
a
a 2 +¥
MN2
2 3
a
2 3 3
3
a
3
a
MN = ( ; ; - )
uuuur
3
3
a
MN AD
/
/ ( ; ; )( ; ; )
ì
^ î
ïî
uuuur uuuur
uuuur uuur
Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD/ và BD
Ví dụ 8:
Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M là trung điểm AB, N là tâm của hình vuông ADD/A/
1 Tính bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm C, D/, M, N
2 Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S/) đi qua A/, B/, C, D
3 Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CMN) và hình lập phương
