Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng Cho AB uuur thì A: điểm gốc, B: điểm ngọn, đường thẳng AB là giá của AB uuur - Chiều đi từ A đến B là hướng của AB uuur - Độ dài của ve
Trang 1A – TÓM TẮT GIÁO KHOA
I Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng
Cho AB uuur
thì A: điểm gốc, B: điểm ngọn, đường thẳng AB là giá của AB uuur
- Chiều đi từ A đến B là hướng của AB uuur
- Độ dài của vectơ AB uuur
, kí hiệu:
- Vectơ không: 0 r
, vectơ đơn vị
II Quan hệ giữa hai vectơ
1 Vectơ cùng phương: Hai vectơ khác 0 r
được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
2 Vectơ bằng nhau: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
3 Vectơ đối nhau: Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
III Phép cộng các vectơ:
Cho 2 vectơ a,b r r
Từ điểm O bất kỳ, vẽ OA a,AB b uuur r uuur r = = thì ta có: c OB a b r uuur r r = = +
- Quy tắc 3 điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: OB OA AB uuur uuur uuur = +
- Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta co: AB AD AC uuur uuur uuur + =
IV Phép trừ các vectơ
1) a b a r r r − = + − ( ) b r
2) Quy tắc 3 điểm đối với phép trừ: OA OB BA uuur uuur uuur − =
V Phép nhân một vectơ với một số thực:
1) Cho a 0 r r ≠ và k ≠0 Vectơ ka r
là một vectơ cùng phương với a r
và thỏa các tính chất sau: - Cùng hướng với a r
nếu k > 0 , ngược hướng với a r
nếu k < 0
- Có độ dài: ka r = k a r
2) Quy ước: k.0 0.a 0 r = r r =
VI Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ a,b b 0 r r r r ( ) ≠ cùng phương ⇔ ∃ ∈ k R : a k.b r = r
VII Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng
Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB uuurcùng phương với AC uuur
k R : AB k.AC
⇔ ∃ ∈ uuur = uuur
VIII Quy tắc trung điểm và quy tắc trọng tâm
1) I là trung điểm của AB ⇔ IA IB 0 uur uur r + = ⇔ MA MB 2MI uuuur uuur + = uuur (M là điểm bất kỳ)
2) G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA GB GC 0 uuur uuur uuur r + + =
MA MB MC 3MG
⇔ uuuur uuur uuur + + = uuuur (M là điểm bất kỳ)
B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1 Chứng minh một đẳng thức vectơ
Ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
1 Biến đổi vế trái thành vế phải hay ngược lại, hoặc biến đổi hai vế thành một đại lượng thứ ba
2 Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng
3 Biến đổi một đẳng thức vectơ cho trước tới đẳng thức cần chứng minh
Lưu y: Thường áp dụng các quy tắc: ba điểm, trung điểm, trọng tâm, hình bình hành trong quá trình biến đổi.
Bài 1 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB AC AD 2AC uuur uuur uuur + + = uuur
Bài 2 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng:
uuur uuur uuur r
Trang 2b) MA MB MC 3MG uuuur uuur uuur + + = uuuur (M là điểm bất kỳ)
Bài 3 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
a) AB CD AD CB uuur uuur uuur uuur + = + b) AB CD AC BD uuur uuur uuur uuur − = −
c) AD BE CF AE BF CD uuur uuur uur uuur uur uuur + + = + +
Bài 4 Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF Chứng
minh rằng:
a) OA OB OC OD 0 uuur uuur uuur uuur r + + + = b) MA MB MC MD 4.MO uuuur uuur uuur uuuur + + + = uuuur
Bài 5 Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh rằng: RJ IQ PS 0 uur uur uur r + + =
Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’ Chứng minh rằng:
AA ' BB' CC' 3.GG ' + + =
uuuur uuur uuur uuuur
Bài 7 Cho tam giác ABC, gọi A’, C’, B’ là các điểm được định bởi:
2.A 'B 3.A'C 0; 2.B'C 3.B'A 0; 2.C'A 3.C'B 0 uuuur + uuuur r = uuuur + uuuur r = uuuur + uuuur r = Chứng minh rằng: hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 8 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
AH AC AB
uuur uuur uuur
3
uuur uuur uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: 1 5
uuuur uuur uuur
Vấn đề 2 Xác định vị trí của một điểm M thỏa một điều kiện vectơ cho trước
- Khai triển hệ thức để được đẳng thức: AM u uuuur r = , trong đó A cố định, u r
không đổi
Bài 9 Cho tam giác ABC Xác định vị trí của điểm M thỏa:
a) MA MB 2MC 0 uuuur uuur + + uuur r = b) MA MB MC BC uuuur uuur uuur uuur + − =
Bài 10 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí của điểm O sao cho: OA OB OC OD 0 uuur uuur uuur uuur r + + + =
Vấn đề 3 Chứng minh vectơ tổng, hiệu không đổi Tính độ dài vectơ tổng, hiệu
- Biến đổi vectơ tổng, hiệu thành vectơ duy nhất rồi tính độ dài vectơ dó
Bài 11 Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ Chứng minh các vectơ sau không đổi và tính độ
dài của nó:
a) u 2MA MB MC r = uuuur uuur uuur − − b) u 4MA 3MB MC 2MD r = uuuur − uuur uuur + − uuuur
Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Biết AC = a, AB = 2a Tính độ dài vectơ: AB AC uuur uuur + và AB AC uuur uuur −
Bài 13 Cho tam giác ABC đều cạnh a Tính độ dài vectơ: AB AC uuur uuur + và AB AC uuur uuur −
Bài 14 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi H là trung điềm của BC, M và N lần lượt là hai điểm thỏa:
MA MB 0 + =
uuuur uuur r
và uuur NA 3NC 0 + uuur r = a) Tính MN uuuur
thao HA uuur
và HC uuur
b) Tính MN uuuur
Vấn đề 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm Bài 15 Cho tam giác ABC và 2 điểm I, F xác định bởi:
IA 3IC 0 FA 2FB 3FC uur + uur r uuur = = + uur + uuur Chứng minh I, F, B thẳng hàng
Trang 3Bài 16 Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho: BD DE EC uuur uuur uuur = =
a) Chứng minh: AB AC AD AE uuur uuur uuur uuur + = +
b) Tính vectơ AS AB AD AC AE uuur uuur uuur uuur uuur = + + + theo AI uur
c) Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 17 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ Gọi:
MS MA MB MC MD uuur uuuur uuur uuur uuuur = + + + Chứng minh rằng: MS luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
Bài 18 Cho tam giác ABC, gọi I, J là 2 điểm xác định bởi: IA 2IB uur = uur ; 3JA 2JC 0 uur + uur r =
a) Tình IJ ur
theo AB uuur
và AC uuur
b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Vấn đề 5 Tìm tập hợp điểm thỏa hệ thức
- Nếu là hệ thức vectơ thì biến đổi về dạng: AM k.v uuuur = r, trong đó k là số thực thay đổi, v r
là vectơ cho trước, A là điểm cố định Lúc đó: tập hợp M là đường thẳng qua A và cùng phương với v r
- Nếu là hệ thức về độ dài thì rút gọn về dạng: AM uuuur = l ( l là độ dài cho sẵn) Kho đó tập hợp M là: + Đường tròn tâm A, bán kính l nếu l >0
+ Điểm A nếu l = 0 + ∅ nếy l < 0
Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
MA MB MC MD + + + = 4AB uuuur uuur uuur uuuur
Bài 20 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp M thỏa:
MA MB 5 MA MC + = −
uuuur uuur uuuur uuur
Bài 21 Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện sau:
a) MA MB uuuur uuur = b) MA MB MC 0 uuuur uuur uuur r + + =
c) MA MB uuuur uuur + = MA MC uuuur uuur + d) MA MB MC uuuur uuur uuur + + = 4
Bài 22 Chi hình bình hành ABCD Tìm quỹ tích các điểm M thỏa:
MA MB + = MA MD −
uuuur uuur uuuur uuuur
Bài 23 Cho tứ giác ABCD
a) Xác định điểm O sao cho: OB 4.OC 2OD uuur + uuur = uuur
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức: MB 4MC 2MD uuur + uuur − uuuur = 3MA uuuur
Bài 24 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
MA MB MC MD ME MF 3 MA MD + + + + + = −
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur