Hướng dẫn giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ

Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

Phần 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa và kỳ thi THPT Quốc gia trong 2năm vừa qua, có 1 số dạng toán về hình học không gian trong các đề thi mà họcsinh thường gặp như tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạn thẳng hay phức tạp hơn là 1 sốbài toán cực trị mà ta thường vận dụng phương pháp véctơ để xử lý Tuy nhiên vẫncòn nhiều học sinh gặp lúng túng trong cách vận dụng phương pháp véctơ để giảiquyết các dạng toán này Nguyên nhân là khái niệm véctơ và các phép toán véctơđược đưa vào đầu chương trình lớp 10 Đây là vấn đề hoàn toàn mới đối với việcgiải toán có nội dung liên quan tới véctơ, là vấn đề khó đối với nhiều học sinh Đểgiảm bớt khó khăn và làm tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh về vấn đề này,dưới đây tôi xin được trình bày một sáng kiến kinh nghiệm với đề tài

“HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ”

Qua đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh Các bài toán được khai tháctrong bài viết này đã có các lời giải khác nhau trong các tài liệu, nhưng qua thực tếdạy học sinh tôi định hướng cho học sinh khai thác và xây dựng bài toán bởi một sốhướng khác nhau từ một bài toán đơn giản bằng cách đặc biệt hoá, khái quát hoá, từbài toán phẳng giúp học sinh phát triển bài toán mới có tính chất tương tự trongkhông gian Góp phần phát huy tính tích cực của học sinh, tăng cường khả năng tựhọc, tự khám phá Rèn luyện cho học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗibài tập tôi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, côgiáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó họcsinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và kháiquát phương pháp đường lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em

có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự

Thứ hai đó là mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khágiỏi trước đến nay Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sángtạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lựcđộc lập sáng tạo của mình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán sử dụng phương pháp véc tơ để tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạnthẳng hay phức tạp hơn là 1 số bài toán cực trị trong mặt phẳng và trong khônggian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi

đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

+ Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

+ Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học của giáo viên và HS)

+ Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn )

+ Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thôngqua trao đổi trực tiếp)

+ Phương pháp thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.2 Cơ sở tâm lí học:

Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinhnhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục Vì vậy GV cầnphải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đãbiết với tri thức của nhân loại

Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm líthì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường vàhứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một số học sinh cókhả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thúvăn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài ra còn có nhữnghọc sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…

Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về hình học không gian

các em thường có tâm lí: bài tập trong phần này quá khó, hình vẽ không trực quan,không biết cách trình bày lời giải một bài toán như thế nào cho mạch lạc, dễ đọc

Đặc biệt các kiến thức trong hình học phẳng các em quên nhiều, khó vậndụng vào việc giải bài tập trong không gian Trong khi đó các kiến thức về véc tơcác em mới làm quen trong lớp 10, lượng kiến thức ít và khi ứng dụng vào việc giảibài tập hình học không gian nó giúp các em cảm thấy như mình đang làm một bàitập trong môn đại số (là môn học các em không có tâm lí sợ như môn hình học)

2.1.3 Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học tốt hơn GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cầncho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển

cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đốitượng học sinh.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1.Thời gian và các bước tiến hành:

Tìm hiểu đối tượng học sinh trong năm học 2017-2018, 2018-2019

2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:

Thông qua việc cho học sinh làm bài tập hình học không gian kết quả thuđược có 45% học sinh có thể vẽ đúng hình và làm được một số ý đơn giản

2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:

Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao Vì vậy việc lĩnh hội kiếnthức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhậnthức của học sinh thể hiện khá rõ:

- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập hình học khônggian

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khókhông chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tớicác em Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ họctập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều em hổng kiếnthức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập,chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biệnpháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡhọc sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháprèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp

Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡtừng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiếthọc, học sinh khá không nhàm chán

2.3 Các giải pháp đã thực hiện

Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian

bằng phương pháp véctơ

Bước 1 Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các

giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ

Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép

biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.

Bước 3 Chuyển các kết luận véctơ thành các tình chất hình học không gian tương

ứng

Dạng 1 Sử dụng điều kiện đồng phẳng của 4 điểm

A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng khi và chỉ khi            DA mDB nDC                               

A, B, C, D là 4 điểm đồng phkhi với mọi điểm O bất kỳ ta có

OD mOA nOB pOC              

Ví dụ 1 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD

SA SB SC SD lần lượt tại M N P Q, , , thỏa mãn    SA                                       2SM SC;                3SP

SN khigiá trị biểu thức

2 2

Bài toán 1 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ

Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng

N

 Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

Từ (7) : MN // EF

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các

  

(2)+MN / / DA C  1 1  MNxDC1 yDA1

  

(3)Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

N

M

1 2

  

(4)Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian

Ví dụ 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

Ta có:

(9) 2

Chứng minh:

Dạng 3 Phần góc và khoảng cách

Bài toán 4 Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:

Bài toán 7 Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC) Tính khoảng cách từ M đến

(ABC) và góc giữa MA và (ABC).

Nếu xa yb  0 thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m

.

a a c

a a

 

 

 

+Đoạn vuông góc chung P 1 P 2 ( P 1 thuộc d 1 , P 2 thuộc d 2 ), khi đó: PP1 2 xa1 m ya 2

Ví dụ 4 Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và

O

A

B

C D

Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

Ví dụ 6 Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2, cạnh bên

SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN

1 ( ) 2

SM CN c

Ví dụ 7 Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA

Chon hệ véc tơ cơ sở              AS a AB b AC c                             ,                              ,                

m n c

Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1 BD là đường cao của tam giác ABC

điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.

Dạng 4 Phần quan hệ vuông góc

Bài toán 9 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ

khi  AB CD  0.

Bài toán 10 Cho hai a b , không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không

Ví dụ 8 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M và N là các điểm thuộc các

1 1

Ví dụ 10 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng

Bài tập vân dụng.

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh

     

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

giả thấy học sinh rất hứng thú, các bài toán khi áp dụng phương pháp thông thường

gặp mà gặp khó khăn thì sử dụng “Phương pháp véctơ” mọi chuyện đã trở nên dễ

chứng Đề kiểm tra như sau:

Câu 1 (5 điểm) Cho hình chóp S ABCD. Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là

SA SC SB SD

Câu 2 (5 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G làđiểm thỏa mãn: GS GA GB GC GD                                                                                         0.

1 SB SC SD 5 SM BM SN CN SP DP 4 BM CN DP 1.

Kết quả kiểm tra của 2 lớp thực nghiệm và đối chứng cho thấy, ở lớp 11B1

đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt “Phương pháp véctơ” vào việc giải bài tập;

học sinh thấy hứng thú vì tính tự nhiên và gần gũi nhưng đạt hiệu quả bất ngờ củaphương pháp này Còn ở lớp 11B4, mặc dù đã hoàn thành các kiến thức về véctơnhưng khi gặp các dạng toán nêu trên, học sinh không biết phải giải như thế nào

Trao đổi “Phương pháp véctơ” với các đồng nghiệp tác giả cũng nhận được

các phản hồi tích cực Mặc dù kết quả này không áp dụng được cho nhiều bài toán,tuy nhiên với những hiệu quả mà nó mang lại trong từng bài toán đã kích thích tínhsáng tạo và tư duy cho người học, gợi trí tò mò ham hiểu biết vào những lĩnh vựckhác của toán học Đó cũng là điều tác giả tâm đắc nhất trong khi thực hiện đề tàinày

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôirút ra được một số kết quả sau:

- Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học về vấn đề cầnnghiên cứu của đề tài cho học sinh cho những lớp thực nghiệm

- Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệmthực nghiệm sư phạm

- Giáo viên: Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học đểthúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cậnnội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trởlên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học

- Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội trithức của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt trithức trong tình huống đa dạng

- Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩnăng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thànhtính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhâncách của các em

3.2 Kiến nghị, đề xuất

Xuất phát từ những kiến thức cơ bản trong chương trình học để xây dựngnhững cách làm mới đạt hiệu quả cao là phẩm chất mà người học toán và làm toáncần phải có Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán sẽ thực sựthành công nếu giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tòi khai thác từ nhữngkiến thức cũ những cách làm mới sáng tạo và đạt hiệu quả cao

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Ngọc Phương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa, sách bài tập Hình học 11 (Cơ bản), NXB Giáo Dục Năm

2007

2 Ba thập kỷ đề thi toán vào các trường đại học Việt Nam Nhà xuất bản Đại

học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

3.Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ Nhà xuất bản Giáo dục

Năm 1997

4.Tuyển tập các đề thi thử THPT Quốc gia 2018 - 2019 Nguồn Internet.

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Ngọc Phương

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán trường THPT Thạch Thành 1

Cấp đánh giá xếp

loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

Geometer’s sketchpad làm

phương tiện trực quan trong

dạy học hình học không gian

lớp 11”

Cấp tỉnh

(QĐ số 932/

QĐ-SGD ngày 11/9/2008)