Đường thẳng IO cắt đường tròn tại E và F.. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M không ở trên đường BC kéo dài.. Chứng minh: Đường thẳng CM tiếp xúc với BHM Bài 18: Cho đường trò
Trang 1Chương II:
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0 0 đến 180 0 )
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = và M( x ; y)
x ( x 0); ký hiệu tan ); ký hiệu tan =
y
x
y( y 0); ký hiệu tan ); ký hiệu cot =
x y Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Hai góc bù nhau:
sin( 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - ) = sin cos ( 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan -) = - cos
tan (180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan -) = - tan ( 90); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan ) cot ( 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan -) = - cot ( 0); ký hiệu tan << 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan )
C BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a) A = ( 2sin 30); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cos 135 0); ký hiệu tan – 3 tan 150); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan )( cos 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan -cot 60); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan )
b) B = sin290); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cos 2120); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - cos20); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - tan260); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cot21350); ký hiệu tan
Bài 2: Đơn gian các biểu thức:
a) A= Sin 10); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + sin 80); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cos 160); ký hiệu tan + cos 1640); ký hiệu tan
b) B= 2 Sin (180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - ) cot - cos(180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - ) tan cot(180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - ) (Với 0); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan < <90); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan )
5 c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2
3 d) Chứng minh rằng 1 + tan
2 x = 12 cos x ( Với x 90); ký hiệu tan
0); ký hiệu tan )
e) Chứng minh rằng 1 + cot2 x = 12
sin x ( Với 0); ký hiệu tan
0); ký hiệu tan < x < 180); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan )
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 0); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cos10); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + cos20); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan + + cos 170); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan B= cos2120); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan - sin2150); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan +2 tan1350); ký hiệu tan
Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0); ký hiệu tan
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0); ký hiệu tan
Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G Tính góc giữa
a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC
d) GB và GC c) GA và AC
0); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan 30); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan 450); ký hiệu tan 60); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan 90); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan
Sin 0); ký hiệu tan
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0); ký hiệu tan
tan 0); ký hiệu tan
3
3
3 0); ký hiệu tan
Trang 2§2 TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Cho OA = a và OB = b Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ a và b Ký hiệu ( a ; b)
- Nếu a=0 hoặc b =0 thì góc ( a ; b) tùy ý
- Nếu ( a ; b) = 90); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan ta ký hiệu a b
a =.b a bcos(a,b) + Bình phương vô hướng a2
= a2
a b = b a a b = 0); ký hiệu tan <=> a b
(ka , b = k ( a b ) a ( b c ) = a b a c
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt
đường tròn (O,R) tại A, B Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O)
P M/(O) = MO2 – R2 =MA MB
Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2
Cho a = (x, y) , b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
1) a b= x.x' + y.y' 2) | a| = x2+ y2
3) cos ( a, b) = 2 2 2 2
' + ' +
' + '
y x y x
yy xx
4) ab xx' + yy' = 0); ký hiệu tan 5) MN = | MN | = (x M _x N)2+(y M _y N)2
B CÁC VÍ DỤ :
a) Tìm m để a, b vuông góc
b) Tính độ dài a, b; tìm m để | a| = | b|
Ví dụ 2: cho đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính :
AB AC ; AC CB ; AG AB ;GB GC ; BG A G ;GA BC
Ví dụ 3: Trong Mp Oxy cho 2 điểm M(-2;2), N(4,1)
a) Tìm trên trục Ox điểm P cách đều 2 điểm M, N
b) Tính cos của góc MON
C BÀI TẬP
a) Chứng minh rằng tam giác vuông
b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác
a) Tính cosin góc hợp bởi a và b; avà i; a và j; a+ b và a- b
b) Tìm số m và n sao cho m a+n b vuông góc a+ b
c) Tìm d biết a d = 4 và b d = - 2
Bài 3: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)
a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B
d) Tam giác ABC là tam giác gì ? e) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Trang 3a) Tính AB AC , AB BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”
Bài 7 : Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = và AD là phân giác của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị AD qua AB , AC
b) Tính độ dài đoạn AD
Bài 8: Từ điển M ở ngoài (O) vẽ các tuyến MAB với (O) (A,B (O)) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn
(O) cắt nhau tại I, IO AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (O) tại E, F Chứng minh :
a) MA.MB MC.MD
b) OF2 = OH.OM c) IE.IF IC.IH
d) PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH)
Bài 9:.Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn khi và chỉ khi MA.MB MC.MD
Bài 10: Cho 4 điểm A (-8,0); ký hiệu tan ) B(0); ký hiệu tan ,4), C(2,0); ký hiệu tan ) D (-3,-5) Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn
Bài 11: Biết A(1,-1), B (3,0); ký hiệu tan ) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.
Bài 12: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11 Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD
a) Cho IA = 12, tính IB
b) Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 13: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD Tính IC ; ID
a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ; IC 3
ID8
Bài 14: Cho (O;20); ký hiệu tan ) và điểm M sao cho: OM = 30); ký hiệu tan , vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB Cho AB = 5
a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E Tính OE
Bài 15: Cho (O;30); ký hiệu tan ); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt
đường tròn tại E và F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 16:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài Qua M lần lượt
vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’)
Chứng minh rằng: MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M
(không ở trên đường BC kéo dài) Chứng minh: Đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 18: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao
cho MA = 3
2
R
Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R
b) Gọi TH là đường cao trong TMO Chứng minh rằng : MH MO =. MA MB.
c) Tính H/(O)
d) Vẽ cát tuyến MCD Chứng minh: Tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD và BC cắt nhau tại N CMR : AN AD. + BN BC. = 4R2
Bài 19: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB H là hình chiếu của M xuống AB Đường tròn
đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 20 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5 AC , AB cắt (O) tại D
và E
a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH BC và cắt (O) tại F ; K Lấy M (O) Gọi BMAH = I ; CMAH = J
c) Chứng minh rằng IF IK =. IH IJ.
Trang 4§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
* Định lí hàm số côsin:
a b c 2bc cos A;b c a 2ca cos B;c a b 2ab cos C
* Định lý hàm số sin: a b c 2R
sin A sin B sin C
* Định lý đường trung tuyến:
* Công thức tính diện tích:
abc
4R
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC Tính đường cao vẽ từ A và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết:
a) CA = 8, AB = 5 ; A 60); ký hiệu tan 0); ký hiệu tan b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8
Bài 3: Cho tam giác ABC có a = 5; b = 6; c = 7 Tính diện tích S, các đường cao và các bán kính đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
tam giác
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 5; b = 5; c = 3 Trên đọan AB, BC lấy lần lượt các điểm M, K sao cho BM
= 2, BK = 3 Tính MK
Bài 6: Cho tam giác ABC với c = 2, b = 3, a = 4, M là trung điểm của AB Tính bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCM
Bài 7: Cho tam giác ABC có c = 3; b = 4 và S = 3 3 Tính a.
tròn ngoại tiếp tam giác ACI
Bài 9: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD.
a) Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là một hình bình hành
Bài 10: Trong tam giác ABC Chứng minh:
a) S = 2R2sinAsinBsinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC)
Bài 11: Cho tam giác ABC thỏa: a = 2bccosC Chứng minh tam giác ABC cân.
Bài 12: Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
2 2 2
cot a cot B cot C
abc
c và các bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đó
Bài 14: Cho tam giác ABC với các trung tuyến BB’ và CC’ vuông góc với nhau tại trọng tâm G của tam
giác đó Chứng minh rằng:
a)
2 2a 2c b
BG
9
2 2a 2b c CG
9