PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC và PHÁT TRIỂN bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Lưu Th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LỚP 11

Người thực hiện: Lưu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… ……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 1

2.1.1 Định nghĩa véctơ……… ……… 1

2.1.2 Các phép toán véctơ……… ………

2.1.3 Các quy tắc véctơ……… ………

2.1.4 Một số quan hệ hình học và tính chất khác ………

1 2 2 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2

2.2.1 Thuận lợi……….……… 2

2.2.2 Khó khăn……… ……… 2

2.3 Giải quyết vấn đề ……… 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 16

3 Kết luận, kiến nghị……… 16

3.1 Kết luận……… 16

3.2 Kiến nghị……….……… 17

Tài liệu tham khảo… 18

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Khai thác tìm tòi và phát triển bài toán là phương pháp cần thiết sử dụngtrong quá trình giảng dạy toán của mỗi giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tư duysáng tạo, tăng hứng thú, say mê học tập

Các bài toán hình học không gian thường xuyên xuất hiện trong các đề thiTrung học phổ thông Quốc gia, thi học sinh giỏi là thử thách không nhỏ cho sốđông các học sinh Để giải quyết những bài toán này ngoài phương pháp tổnghợp, phương pháp tọa độ hóa còn có thể sử dụng phương pháp véctơ Nhờphuơng pháp véctơ mà các bài toán hình không gian thông thường có nội dungnhư: song song , thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đoạn thẳng, điểm cố định, bàitoán cực trị…có thể được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu

Sử dụng kết hợp phương pháp véctơ với khai thác và phát triển bài toánhình không gian giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo mà không quá phụthuộc vào các hình không gian

Từ quá trình nghiên cứu các bài toán hình không gian trong các kì thi gầnđây và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân, tôi muốn chia sẻ với đồng

nghiệp kinh nghiệm sử dụng: Phương pháp véctơ trong khai thác và phát triển bài toán hình học không gian lớp 11.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:

- Khai thác, phát triển, tổng quát một số bài toán liên quan đến tỉ số đoạn thẳng

và điểm cố định trong hình không gian bằng phương pháp véctơ

- Giúp học sinh phân dạng bài tập, tìm mối liên hệ giữa các bài tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu bài toán điểm cố định của hình không gian và cácvấn đề liên quan

- Phương pháp véctơ trong giải toán hình không gian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập: nghiên cứu các bàitoán có cấu trúc tương tự

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

 Phép nhân véctơ với một số.

 Tích vô hướng của hai véctơ

vẽ không phức tạp

2.2.2 Khó khăn

Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt là phần vec tơ, các ethường có tâm lý ngại học phần này, và thường khó nhận ra dấu hiệu sử dụngphương pháp véc tơ, cách áp dụng phương pháp này vào giải toán Thực tế phầnvéc tơ trong không gian ở lớp 11 có thời lượng khá ít Các bài toán trong sáchgiáo khoa chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản và số lượng bài tập còn hạn chế Họcsinh khi học phần đông chỉ mong muốn giải được hoặc hiểu được cách giải cósẵn, chứ không đào sâu, trăn trở với bài toán đề khai thác, phát triển bài toán

2.3 Giải quyết vấn đề

Bài toán 1 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018)

Cho tứ diện S ABC có SA SB SC  1 Một mặt phẳng ( ) thay đổi luôn điqua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA SB SC, , lần lượt tại các điểm, ,

A B C   Chứng minh rằng biểu thức T 1 1 1

SA SB SC

   có giá trị khôngđổi

G H

B

S

M S'

+) Học sinh nếu chưa từng tiếp cận với dạng toán này thì cũng khó để nhận ra

là nên sử dụng phương pháp véctơ trong giải quyết bài toán Tuy nhiên nếu được hướng dẫn về một số dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ thì hướng giải

đã rõ.

+) Dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ: Biểu thức tỉ số đoạn thẳng Tính chất véctơ của trọng tâm G của tứ diện và bốn điểm A B C G,| ,| ,| đồng phẳng.

Các hướng phát triển bài toán

- Thay điểm G là trọng tâm của tứ diện bằng một điểm đặc biệt khác, chẳng

hạn G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó ta có:

Từ đó có thể tổng quát hóa Bài toán 1 (Bài toán 1.1).

- Mặt phẳng ( ) thay đổi luôn chứa một đường thẳng cố định (Bài toán 1.2).

- Khai thác giá trị của T 1 1 1

SA SB SC

   để xây dựng bài toán cực trị trong

không gian (Bài toán 1.3)

- Phát triển bài toán bằng cách thay giả thiết cho tứ diện bởi cho một hình không gian khác: hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (Bài toán 1.4, Bài toán 1.5, Bài toán 1.6, Bài toán 1.7).

Bài toán 1.1: Cho tứ diện SABC Một mặt phẳng  P thay đổi luôn đi qua điểm

Nhận xét: Từ Bài toán 1.1 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải quyết các

bài toán tương tự (tùy chọn điểm cố định) theo 2 bước sau:

Bước 1: Chọn bộ 3 véctơ không đồng phẳng và tìm biểu thức véctơ xác định điểm cố định.

Bước 2: Dựa vào điều kiện đồng phẳng để chứng minh hoặc tính giá trị của biểu thức

Bài toán 1.2 (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Lê Lợi, năm 2018)

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và O là tâm của đáy

Mặt phẳng  P thay đổi chứa SO cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại M ,

+ Áp dụng Bài toán 1 1 cho hình chópA SBC , mặt phẳng  P thay đổi luôn đi

qua điểm O cố định thỏa mãn 0 1 1

có thể đặc biệt hóa bài toán trong không gian.

A

B

C S

M

N O

Bài toán 1.3 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA a , SB b , Một mặt phẳng  P thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt cáctia SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C Giá trị nhỏ nhất của

A

N O

B

C

Có thể mở rộng bài toán tổng quát trên bằng cách thay hình chóp tam giác bằng hình chóp tứ giác, hình lăng trụ Xem các bài toán sau đây

Bài toán 1.4 (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)

Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi   làmặt phẳng không đi qua S và cắt các cạnh SA SB SC SD,| ,| ,| lần lượt tại

P O

Bài toán 1.6 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang có

Bài toán 2 Cho tứ diện SABC Các điểm A B C , ,  theo thứ tự chuyển độngtrên các cạnh SA SB SC, , sao cho SA SB SC 4

SASBSC Chứng minh rằng mặtphẳng  A B C   luôn đi qua một điểm cố định

c p

A

B

C

b a

c a a

Nhận xét: Có thể phát triển bài toán trên bằng cách thay đổi đẳng thức ở giả

thiết

Bài toán 2.1 Cho tứ diện SABC Các điểm A B C  , , theo thứ tự chuyển độngtrên các tia SA SB SC, , sao cho 2SA SB SC 4

SASBSC Chứng minh rằng mặtphẳng  A B C   luôn đi qua một điểm cố định

A

M I

B

C

c p

b c a

Nhận xét: Có thể tổng quát bài toán bằng cách thay biểu thức trong giả thiết của Bài toán 2 bởi một biểu thức tùy ý khác Hơn nữa từ kết quả của Bài toán

2 và Bài toán 2.1 có thể dự đoán được điểm cố định của mặt phẳng Từ đó có

thể tổng quát hóa bài toán và giải quyết bài toán tổng quát theo cách ngắn gọn hơn.

Bài toán 2.2 Cho tứ diện SABC Các điểm A B C , ,  theo thứ tự chuyển độngtrên các tia SA SB SC, , sao cho SA SB SC k

   Chứng minh rằng mặtphẳng  A B C   luôn đi qua một điểm cố định

Ta sẽ chứng minh mặt phẳng A B C  đi qua điểm I

Vậy mặt phẳng A B C   luôn đi qua điểm I cố định

Dưới đây là một số bài toán áp dụng bài toán tổng quát

Bài toán 2.3 Cho hình chópS ABC Trên các cạnh SA SB SC,| ,| lần lượt lấy các

điểm A B C,| ,|  di động sao cho SA 1SA;

Bài toán 2.4.(Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 2, năm 2018)

Cho hai nửa đường thẳng Ax , By chéo nhau Hai điểm M , N thay đổi lần lượt

ở trên Ax và By sao cho a b 1

AM  BN  (với a, b là hai độ dài cho trước).

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt một đường thẳng cố định

Lời giải :

x' x

a



I M'

M

A' A

Dựng tia Bx Ax// , lấy M trên Bx sao cho MM AB//

(hay I là đỉnh thứ tư của hình bình hành BA IB )

Xét đường thẳng  đi qua I và song song với AB, dễ thấy  chính là đườngthẳng cố định luôn cắt MN

Bài tập rèn luyện.

Bài 1 (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – lần 2 - 2019)

Cho tứ diện SABC có SA SB SC  1 Một mặt phẳng ( ) thay đổi luôn điqua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA SB SC, , lần lượt tại các điểm

Bài 3 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC,| ,| đôi một vuông góc M là

một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC Giá trị nhỏ nhất của biểuthức T MA22 MB22 MC22

A 4 B 3 C 2 D 6

Đáp số: Chọn C

Bài 4 Cho hình chópS ABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M

là điểm di động trên cạnh SC (M khác S và M khác C) Mặt phẳng   thayđổi chứa AM và song song với BD, cắt SB SD,| lần lượt tại E F,| Tính giá trị

của biểu thức SB SD SC

SE  SF  SM

A 1

2 B 3 C 2 D 1.

Đáp số: Chọn D

Bài 5 Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng   di động luôn cắt các cạnh SA,

SB, SC lần lượt tại A B C,| ,|  sao cho 2SA SB SC 8

SASB SC Chứng minh mặtphẳng   luôn đi qua một điểm cố định

Bài 6 (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 1, năm 2018)

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau tại O

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC) và P là điểm bất

kỳ trong tam giác ABC Chứng minh rằng

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi được luyện tập hệthống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào các bàitoán liên quan đến điểm cố định và các biểu thức tỉ số đoạn thẳng Học sinhkhông còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Hầu hết các em còn biếtvận dụng bài toán tổng quát để làm nhanh các bài trắc nghiệm

Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của mình sau khirèn luyện các bài toán trên đã hứng thú hơn với việc sử dụng phương phápvéctơ Biết áp dụng trong giải quyết các bài tương tự và cả những dạng toánkhác Tuy nhiên với những học sinh do kiến thức còn hạn chế thì vẫn chưa thấyđược điểm mạnh của phương pháp véc tơ và ý nghĩa của việc khai thác , pháttriển bài toán

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Trên cơ sở tìm hiểu kĩ hai bài toán liên quan đến điểm cố định của hìnhkhông gian Đề tài đã đưa ra được bài toán tổng quát áp dụng cho hình chóp tamgiác và cách giải quyết bài toán tổng quát Từ kết quả tổng quát hóa đề tài đãphát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau thông qua việc hệ thống hóa vàsáng tạo mới một số bài toán Nhờ đó học sinh đã hiểu được bản chất bài toán,

có hứng thú với việc tìm tòi và sáng tạo khi giải toán

Đề tài cho thấy phương pháp vectơ trong giải toán hình không gian là mộtphương pháp mạnh, giúp giải quyết nhanh chóng, rõ ràng, hiệu quả nhiều dạngbài tập khác nhau kể cả những bài tập ở mức vận dụng và vận dụng cao Đề tàicòn có thể mở rộng theo hướng tổng quát kết quả liên quan đến điểm cố định

thác, phát triển các dạng toán khác của hình học không gian, như: bài toán xácđịnh góc, khoảng cách, tỉ lệ các đoạn thẳng…

Khi sâu chuỗi các các bài tập có nhiều nét tương đồng và hiểu rõ bản chấtcủa bài toán thì có thể tổng quát, cũng như sáng tạo ra các bài toán mới một cách

dễ dàng hơn Phát triển và sáng tạo bài toán trong giải toán luôn đem lại chongười dạy và người học nhiều điều thú vị, tạo hứng thú và niềm say mê với hoạtđộng dạy và học nên cần được trau dồi thường xuyên

3.2 Kiến nghị

Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm đểcác giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung và cách khơidạy đam mê tìm tòi sáng tạo trong học tập

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình dạy học phương phápvéc tơ trong khai thác phát triển bài toán hình học không gian lớp 11 cho họcsinh THPT trong các chuyên đề dạy học Toán, vì vậy không tránh khỏi còn cónhững thiếu sót.Tôi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoahọc của ngành và các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có tính ứng dụng thựctiễn hiệu quả

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

Tác giả

Lưu Thị Thủy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11 (Nâng cao)

[2] Nhiều tác giả, SGK Hình học 11(Cơ bản)

[3] Nhiều tác giả, SGK Hình học 10 (Nâng cao)

[4] Nhiều tác giả, SGK hình học 10 (Cơ bản)

[5] Nguyễn Anh Trường – Nguyễn Tấn Siêng , Chuyên đề giải toán hình học không gian, Nhà xuất bản tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.

[6] Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc

[7] Nguồn Internet

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại