sử dụng Phương pháp véctơ giải toán hình học không gian

Trong chương trình hình học phổ thông trung học chúng ta được nghiên cứu lý thuyết vectơ, vận dụng vecto để xây dựng các khái niệm hình học, các quan hệ hình học và một số hệ thức lượng

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

A PHầN Mở ĐầU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình hình học phổ thông trung học chúng ta được nghiên cứu lý thuyết vectơ, vận dụng vecto để xây dựng các khái niệm hình học, các quan hệ hình học và một

số hệ thức lượng của một số hình hình học Đi liền với sự mở rộng khái niệm là những phương pháp mới, công cụ mới để giải các bài toán, mà hình học véctơ là một ví dụ Véctơ không chỉ là phương tiện để xây dựng các kiến thức hình học mà còn là một công

cụ hiệu quả để giải toán từ đại số, giải tích, …,đến hình học Nhờ phương pháp véctơ mà các bài toán hình học thông thường có nội dung như song song, thẳng hàng, đồng qui,

đồng phẳng, các tỉ số đoạn thẳng, bài toán cực trị ,quỉ tích…,trong hình học có thể đựơc giải quyết một cách đơn giản, dể hiểu

Với đa số học sinh trí tưởng tượng trong không gian còn hạn chế và gặp nhiều khó khăn khi tiếp cận với các bài toán hình học không gian, thì phương pháp véctơ có thể giúp học sinh học tập một cách chủ động, phát huy tính độc lập sáng tạo trong giải toán mà không quá phụ thuộc vào các hình hình học Vì thế bài viết này chúng tôi dạn đưa ra một số một số định hướng thể hiện phương pháp véc tơ qua một số dạng toán điển hình trong hình học không gian nhằm giúp học sinh có thêm một phương pháp hiệu quả bổ sung vào cẩm nang giải toán không gian – một lĩnh vực được xem là trừu tượng trong toán học

2 Cấu trúc đề tài

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Cấu trúc đề tài

Nội dung

1 Kiến thức và phương pháp

2 Qui trình giải các bài toán hình học bằng công cụ véctơ

3 Các ví dụ minh họa

Kết luận

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

B NộI DUNG

1 Kiến thức và phương pháp

1.1 Định nghĩa véctơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, một đầu được xác định làm gốc,

một đầu được xác định làm điểm ngọn

1.2 Các phép toán véctơ

 Phép cộng véc tơ

 Phép trừ véc tơ

 Phép nhân véctơ với một số

 Tích vô hướng của hai véctơ

1.3 Các qui tắc véctơ

 Qui tắc tam giác:   ABBCAC

 Qui tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành khi đó:  

  

 Với 3 điểm O, M, N ta có sự phân tích: MN   ONOM

 Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’

B’C’D’ khi đó: ' '

 

 

1.4 Trọng tâm, tâm tỉ cự

Cho n điểm phân biệt A 1 ,A 2 , A n và n số thực  1, 2,  ( n 12  n  0 ) thì tồn tại duy nhất điểm G thõa mãn: 1GA12GA2  n GA n  0

(*) và mọi điểm O ta có:

1 2

n n n



  



(**)

Điểm G thõa mãn (*) gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm { A 1 ,A 2 , A n } ứng với họ {  1, 2,  n} Khi 12  n  ta cú GA1GA2 GA n  0

   

, Điểm G gọi là trọng tõm của hệ n điểm

A1,A2, An

Đặc biệt :

 I là trung điểm đoạn AB

IA IB 0

  

  

 G là trọng tâm của tam giác ABC

   

   

 G là trọng tâm của tứ diện ABCD

    

    

1.5 Một số quan hệ hình học và tính chất khác

 Quan hệ thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng    0, 

 

Từ đó ta suy ra: Với 3 điểm A,B,C thẳng hàng lúc đó O bất kì ta có sự phân tích

+ =1

  

 Quan hệ đồng phẳng

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

0

 Ba véctơ , ,  

a b c không đồng phẳng thì từ    0

 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

  

 Quan hệ vuông góc:      0

1.6 Các kỷ năng giải cỏc bài toỏn thường gặp

 Các bài toán về thẳng hàng , song song

 Để chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véctơ  AB AC, cùng phương, Tức là tồn tại k sao cho ABk AC

, hoặc lấy điểm O bất kì rồi

  

OA mOB nOC với m+n=1

 Để chứng minh đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a

song song với

đường thẳng b có véc tơ chỏ phương b

ta chứng minh a, b phân biệt và a,b  cùng phương

 Để chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) hoặc nằm trên mặt phẳng (P) ta lấy trong mặt phẳng (P) hai véctơ b c  ,

không cùng phương rồi chứng minh ba vectơ , ,  

a b c đồng phẳng tức là tồn tại m,n sao cho

a mb nc

 Các bài toán về đồng qui

Bài toán chứng minh một số hữu hạn dường thẳng nào đó đồng qui tại điểm O, ta

đưa bài toán này về chứng minh thẳng hàng tức là lấy trên mỗi đường thẳng đó hai

điểm rồi chứng minh rồi chứng minh nó đi qua O

 Các bài toán về đồng phẳng

 Để chứng minh 3 véctơ trong không gian , ,   

a b c đồng phẳng ta tìm cách

biểu diển một vec tơ qua hai véctơ còn lại:   

a mb nc

 Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chọn 3 vécơ AB,AC,AD  

và chứng minh 3 vec tơ đồng phẳng hoặc chỉ ra tồn tại bộ (k,m,n) , k+m+n=1 và mọi O ta được OAkOBmOCnOD

   

 Các bài toán về vuông góc

 Để chứng minh đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a

vuông góc với

đường thẳng b có véctơ chỉ phương b



ta chứng minh a.b0

 

 Để chứng minh đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a

 vuông góc mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

n ta chứng minh a,n 

cùng phương hoặc ta lấy trong mặt phẳng (P) hai véctơ b c,

  không cùng phương rồi chứng minh a.b 0

và a.c 0

 Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuuong góc với nhau ta chứng minh hai vec tơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau

 Các bài toán tính toán độ dài, tỉ số đoạn thẳng, đẳng thức hình học

Để tính toán độ dài đoạn thẳng hay các tỉ số ta chuyển đổi mối liên hệ giữa các độ dài

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

G

B

S

F

D

E S'

hình học AB, đại số AB , độ dài vectơ AB

, chuyển bình phương vô hướng sang bình phương vectơ 2 2

AB AB

, chuyển từ ngôn ngữ hình học sang vectơ

ABkACAB kAC

(A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng),

 Các bài toán cực trị hình học

2 Qui trình giải bài toán bằng công cụ véctơ

Bước 1: Chuyển cách diển đạt ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ Bước 2: Chọn hệ véctơ cơ sở và thực hiện các yêu cầu bài toán thông qua các biến đổi véctơ

Bước 3: Chuyển các kết luận véctơ sang ngôn ngữ hình học tương ứng

3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 ( Đề thi HSG 11 năm 2012 Tỉnh QB) Cho tứ diện SABC cú SA = SB = SC

= 1, mặt phẳng (P) đi qua trọng tõm M của tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại

D, E, F (khỏc S)

b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 1

SD.SE SE.SFSF.SD Câu a)

Cách 1: ( không cần hình vẽ)

G là trọng tâm của tứ diện SABC

1

4

    

   

1

4

   

Cách 2:

GọiS'SG(ABC)

 S’ là trọng tõm của tam giỏc ABC nờn SG 3

SS'  4

    

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toán trường THPT Chuyên Quảng Bình

Mà M,D,E,F đồng phẳng nên:

4

Do đó:

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi SD = SE = SF(P) //(ABC)

VÝ dô 2: Cho hình lập phương ABCDA’BC’D’ cạnh a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của của các cạnh AB,C’D’ Hai điểm M,N thuộc AD,BB’ sao cho AM=BN

Chứng minh MN vuông góc và cắt IJ tại trung điểm MN

Lời giải 1( Hình học tổng hợp)

Ta có IJ//(BCC’B’) nên mp(IJN) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến NK//IJ

Ta có (ABA’B’)//(DCC’D’) và (ABA’B’) cắt (INJ) theo giao tuyến IN nên (DCC’D’) cắt (INJ) theo giao tuyến JL//IN

Ta có (ADD’A’)//(BCC’B’) và (ADD’B’)cắt (INJ) theo giao tuyến KN, nên (BCC’B’) cắt (INJ) theo giao tuyến LM’//NK

Ta có NK//BC’//AD’/M’L nên

' '

BN KC

BN C K

BB C B

Ta có: AIM'  C JK' C’K=AM’Suy

ra BN=AM’ nên M trùng M’, hay M

thuộc mặt phẳng (IJN) nghĩa là MN, IJ

đồng phẳng

Ta có AIM BINIMIN Tương tự

ta có JN=JM suy ra IJ là trung trực MN

B

K

M

C

D A

D' N

J C'

I

A'

B'

L

Lời giải 2( Phương pháp véctơ)

       

IJ BC' BB' B C' ' a BN AM a IM IN

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toán trường THPT Chuyên Quảng Bình

 

không cùng phương nên MN và IJ đồng phẳng

   

,           

k

Nên MN vuông góc IJ giả sử 

 

HN x MN, 

ta có MN vuông góc IJ và H, I, J thẳng hàng nên

 





 

 

 

1 IJ 0

2 IJ 0

1

HN

y

IH z

suy ra  

 

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có góc tam diện vuông tại đỉnh B Biết AB=1,BC=BD,

CD=2 2 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN

Lời giải:

   1 

2

AM BM BA a c ,  1    1 1

  1  

2

  1  1 







 

EF AM

BN

Suy ra:







 





2

3

x x

y x

y

 1 1 1

EF

6a 6b 3c Do đó

| EF | EF

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

c

b a

B

A

D

C

G

Vớ dụ 4: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’

a)Chứng mnmh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác

BDA1 và đỉnh C1 thẳng hàng

b) Tính tỉ số

'

AG GC

Lời giải:

Chọn hệ cơ sở: {ABa

 

, ADb

 

, '

 

} a) Theo tính chất hình hộp ta được:

' '





ta có:  AG GB

= ABa

'





 

 

= ADb

3      ' 

  

a b c

mà G là trọng tâm của tam giác DBA’ nên GB



GA



+GD



= 0



Vậy AG

= 1

3(    

a b c ) (1)

Mặt khác theo qui tắc hình hộp ta có:

  

  

AA A B B C =    

a b c (2)

từ (1) và (2) ta suy ra '

3



 

AC AG (*)

Đẳng thức (*) chứng tỏ A, G, C’ thẳng hàng

b) Từ đẳng thức '

3



 

AC AG  AG

=1 3

'

AC







AG GC )

 AG

= 1 '

2



GC Vậy

'

1 2



AG GC

ở bài trên ta đã chứng minh ba điểm A, G, C ’ thẳng hàng bằng cách chỉ ra hai véc tơ

AG



và '

GC



cùng phương, tuy nhiên ta cũng có thể sử dụng điều kiện A, G, C ’ thẳng hàng



 

với x+y=1

Thật vậy:

G là trọng tâm của tam giác BDA’ nên 2

3

 

với M là trung điểm của A’B

2



 

3



 

 

 

Ta biểu diển các vectơ '

,

DA DC





qua hệ vectơ cơ sở ta được

 

 

DA b , '

  

DC a c

a b c Như vậy DG  2 1

 

Ví dụ 5: Giả sử M,N,P là 3 điểm theo thứ tự lấy trên các cạnh SA, SB, SC của một tứ diện

SABC Gọi I là giao điểm của 3 mặt phẳng (SAB), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng (ANP), (BMP), (CMN)

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

B'

A'

C'

s'

P

A

C

B

S

M

N

Chứng minh rằng S, I, J thẳng hàng Từ đó suy ra JS  1 MS  NS  PS

lời giải:

Ta xác định I, J :

Trong mặt phẳng (SAB) gọi C’ là giao điểm của AN và BM B’ là giao điểm của MC với

AP trong mặt phẳng (SAC) và trong mặt phẳng (SAB) gọi A’ là gia điểm của BP với CN Lúc đó trong mặt phẳng (BCM) có I là giao điểm của BB’ với CC’

Trong mặt phẳng (ANP) có J là giao điểm của NB’ và PC’

Chọn hệ véctơ cơ sở{ 

SA a ,  

SB b ,  

SC c } Đặt



 

SM xMA ,  

SN y NB ,  

SP zPC

với x,y,z >0 lúc đó

   

tương tự :

1





 y 

y ,  1

z

Trong mặt phẳng (SAB) ta có C’ là giao điểm

của AN và BM nghĩa là C’ thuộc đường thẳng

BM nên theo điều kiện điểm thuộc đường thẳng ta

có '

(1 )

tương tự khi C’ thuộc AN ta có '

(1 )

  

 (1 )

k SM k SB = (1 )

Do a b  ,

không cùng phương nên

1 1 1 1

 



 











kx l x ly k y

1 1 1 1





 





 







x k

x y y l

y x

Do đó : '

Tương tự ta tính được '

'

Vì I là giao điểm của BB’ với CC’ nên I nằm trên BB’ và CC ‘

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

tương tự: '



mà

1



    x 

    x 

x

Thay các giá trị này vào (*) ta được:

(1 ) (1 )



= 1

(1 )



(1 )





a

vì a b c   , ,

là cơ sở nên :

1 l x

0

lk

kz





















Giải hệ ta được:

 1 z x

k

l





Ta biểu diển SI SJ  ,

qua cơ sở theo x,y,z ta có:

  

SI SM MI mà

1





 x 

x ,

MI 



1

2

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

D

c b

'

B

A'

D'

A

C

1

x y z hay  (1   )

điều này chứng tỏ S,I,J thẳng hàng và ta có: SI   1 x yz

Ví dụ 6: Cho hình hộp chử nhật ABCA’

B’C’D’ Gọi M,N lần lượt chia AC’ và C’D’ theo các tỉ số m,n Xác định m,n để MN// B’D

Lời giải:

Chọn hệ véctơ cơ sở là ' ' 

 

B A a , ' 

 

B B b , ' ' 

 

B C c

Vì M chia AC’ theo tỉ số m nên '







 



  

   

'

1





 

 B A mBC

MB

'

1

 





  

 a b mc MB

m

1





 c n a c

NB

n

 



(*)

   



MN k B D k B C C D D D hay MN k a kb kc  

(**)

Từ (*) và (**)

1

1

1 1

1

1













n

k

m

k m

Vậy với m=-3 và n=-1 thì MN//BD

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD gọi I,K,E,F lần lượt chia các đoạn AB,DC,BC,AD theo các tỉ

số lần lượt là -2,-2, 3

2

 , 3 2

 a)Chứng minh rằng BC, IK, AD đồng phẳng và AB, EF ,CD đồng phẳng

b) Chứng minh 4 điểm I,E,F,K đồng phẳng

Lời giải:

Chọn hệ véctơ cơ sở là {BCa BD, b BA, c}

      +Theo giả thiết ta có IA  2 IB

, KD  2KC

2

 

2

 

 

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

c

b a

B

D

C

A

I

F

K E

N

B

C M

a) Ta có:        

       

3a3 b c

  

  , ,

IK BC AD đồng phẳng



      

  

   EF CD BA, ,

đồng phẳng

b) Chứng minh 4 điểm I,E,F,K đồng phẳng

ta

     

5 15



10

5











x

x y

y

  

  

đồng phẳng

Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD,

BB’ Chứng minh rằng MN vuông góc A’C

Chọn hệ cơ sở: { ABa

,  ADb

, '

 

}

   

  

,

 

'





   

ta cũng có ' '

      

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

'

.

MN A C 





b a c (    )



                 

Do ABCDA’B’C’D’là hình lập phương nên a b b c c a  0

    

Do đó: '

.

MN A C 









Bài tập tương tự:

Bài 1:Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy là tam giỏc cõn đỉnh A, D là trung điểm BC, vẽ DEAB

(EAB), Biết SE (ABC) Gọi M là trung điểm DE Chứng minh AM (SEC)

Bài 2: Cho tam diện O.ABC vuụng tạo O Gọi OH là đường cao của O.ABC, I là trung điểm

AH Giả sử SO, SA,SB,SC là diện tớch của cỏc mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB)

Chứng minh rằng : 2

S OO I 



2

S A IA



2

S B IB



2

S C IC 0

 

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi O là một điểm bất kỡ thuộc phần trong của tứ diện Gọi VA, VB,

VC,VD lần lượt là thể tớch của cỏc khối chúp O.BCD, O.ACD, O.ABD, O.ABC

Chứng minh rằng: V OA A  V OB B  V OC C V O D  D  0

Nguyễn Thanh Hậu- tổ toỏn trường THPT Chuyờn Quảng Bỡnh

C Kết luận

Qua các ví dụ trình bày ở trên một lần nữa chúng ta thấy được sự tiên lợi của phương pháp véctơ với một số bài toán hình học không gian Với phương pháp vectơ chắc chắn rằng sẽ giải quyết được nhiều vấn đề khó khăn trong môn hình học không gian nhất là một số vấn đề đòi hỏi trí tưởng tượng cao trong không gian, gây khó khăn cho học sinh và cả giáo viên, Vơi phương pháp vectơ hy vọng rằng sẽ phần nào khắc phục được những khó khăn trên

Hơn nũă qua cách giải toán bằng công cụ vectơ ta tìm được mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian giúp chúng ta nắm chắc vấn đề hơn để có thể thay đổi hay thêm bớt một số dữ kiện bài toán trên cơ sở đó hình thành bài toán mới Rất mong các em nắm chắc phương pháp này để vận dụng khi làm các bài thi trong các kì thi HSG, ĐH và nhớ rằng các em có thể đề xuất các cách giải khác qua những ví dụ trên để làm phong phú thêm cho ‘kho’ phương phương pháp của mình Chúc các em thành công

Đồng hới , ngày 30/03/2012

Người viết

Nguyễn Thanh Hậu