Tìm số hạng lớn nhất của dãy số un với un = Cấp số cộng... Hỏi cấp số cộng có mấy số hạng, xác định cấp số cộng đó 5.. Chứng minh rằng: un vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân 4.. Hỏi
Trang 1ÔN TẬP CHƯƠNG III - GIẢITÍCH 11 Phương pháp chứng minh qui nạp
1.Chứng minh rằng :
a) 13 + 23 + 33 + …+ n3 =
b) 1 + + + + = 1 –
c) (1 – )(1 – )…(1 – ) =
d) 1 + 3 + 6 + 10 + + =
2.Chứng minh rằng :
a) n3 – n chia hết cho 6, ∀n > 1 b) n3 + 11n chia hết cho 6, ∀n c) 3n – 1 > n, ∀ n > 1 d) 3n > 3n + 1
e) 2n – n > f)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 g) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19 h) ,∀n >1
3 Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn)
4 Chứng minh rằng (1 + a)n ≥ 1 + na với a > – 1
5 Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1
Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n
Dãy số
1 Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3
Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9 ∀ n ≥ 1
2 Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2
3 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 ∀ n ≥ 1
a) Tính u2, u4 và u6
b) Chứng minh rằng: un = 7n – 6 ∀n ≥ 1
4 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un = b) un = c) un = n –
d) un = e) un = g) un =
h) un = i) un = n + cos2n
5 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
a) un = b) un = c) un = d) un =
e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos
6 Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (un) là dãy số giảm
b) (un) là dãy số tăng
7 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) un = b) un = c) un =
d) un = e) un = n dấu căn
8 Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: u1 = 0 và un +1 = un + 4
a) Chứng minh rằng un < 8 ∀ n
b) Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn
9 Cho dãy số (un) xác định bởi un =
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên
b) Chứng minh rằng (un) bị chặn
10 Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un =
Cấp số cộng
Trang 21.Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 Tính a7
2 Cho cấp số cộng thoả mãn
=
=
−
75 a a
8 a a
7 2
3 7
Tính a10 ;S100
3 Tìm cấp số cộng biết
a)
= +
=
− +
26 a
a
10 a a
a
6
4
3 5
2
b)
= +
= +
1170 a
a
60 a
a
2 12
2 4
15 7
4 Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400 Hỏi
cấp số cộng có mấy số hạng, xác định cấp số cộng đó
5 Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng :
a) a2 + 2bc = c2 + 2ab
b) 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo thành 1 cấp số cộng
c) a2 + 8bc = (2b + c)2
d) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2
6 Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56 Tìm 4 số đó
7 Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320.Tìm 5 số đó
8 Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293 Tìm 3 số
đó
9 Cho các số a,b,c > 0 Chứng minh rằng :
a) các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng
b) các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng
10 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1= ∀n ≥ 1
a) Chứng minh rằng: un < 0 ∀n ∈ N
b) Đặt vn = Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số cộng Từ đó suy ra biểu thức của un và vn
Cấp số nhân
1.Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5
2.Cho cấp số nhân thoả:
a)
=
+
=
+
180 a
a
60 a
a
3
5
2
4
tìm a6 ; S4
b)
= +
+
=
−
91 a a
a
728 a
a
5 3
1
1
7
tìm a4 ; S5
3 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un2 – 10 ∀n ≥ 1 Chứng minh rằng: (un) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân
4 Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của
hai số hạng còn lại bằng 72
5 Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng
a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2
b) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng
c) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân với a ,b ,c > 0
6 Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân
7 Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộ là 1km Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc người đi bộ Hỏi xe máy cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ?
8 Tính các tổng:
a) S = 1 + + + + …+
b) S = ( – ) + ( – ) + ( – ) + …+ ( – )
Trang 3c) S = 1 + + + + …+
9 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 ;un + 1 = và dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 2 Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số nhân Từ đó suy ra biểu thức của un và vn