chuong tu giac

Chứng minh rằng MN cắt SU và RT tại trung điểm của các đoạn này.. 8/ Chứng minh rằng nếu tổng các khoảng cách giữa các trung điểm của từng cặp cạnh đối của một tứ giác bằng nửa chu vi củ

TỨÙÙ GIÁC

1/ Cho tứ giác ABCD cóùù AB = CD và M , N là trung điểm các cạnh đối BC , AD MN cắt AB tại

F , cắt CD tại E

a/Chứng minh : BFN = DEN

b/AB cắt CD tại S Chứng minh MN song song với tia phân giác của góc BSD

2/Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC Các điểm R và S trên cạnh AB sao cho AR = RS = SB ; hai điểm T , U trên CD sao cho DT = TU = UC Chứng minh rằng MN cắt SU và RT tại trung điểm của các đoạn này

HƯỚNG DẪN Gọi X , Y là trung điểm của RT và SU Nối MR , RY , TM MRYT là hình bình hành ( MR //= ½ SD ; YT //= ½ SD ) Suy ra RT và MY cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Vì

X là trung điểm của RT nên X thuộc MY và là trung điểm của MY

Chứng minh tương tự ta có XSNU là hình bình hành nên Y là trung điểm của NX Suy ra điều phải chứng minh

3/Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và AB < BC < CD Chứng minh ABCD không phải là tứ giác ngoại tiếp

HƯỚNG DẪN

Theo định lý Pitago ta có : BC2 – AB2 = ( CO2 +BO2 ) – ( BO2 + OA2 ) = ( CO2 +DO2 ) – ( DO2 + OA2 ) = CD2 – AD2 ) ⇒ ( BC+AB )( BC – AB ) = ( CD + AD ) CD – AD ) ( 1 )

Nhưng do BC < CD nên BO < OD ; do đó : AB < AD và từ đó ta có :

BC + AB < CD +AD ( 2 )

Từ (1 ) và (2 ) ta có : BC – AB > CD - AD ⇒ BC + AD > CD + AB ( đpcm )

4/Cho tứùù giác ADBC cóùù 2 đường chéo vuông góc với nhau tại O Trên OB lấy M , trên OC lấy

N sao cho OCM = OBD ; OBN = OCA Chứng minh AN // DM

5/Cho tứ giác lồi ABCD Lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo AC Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q Chứng minh rằng :

2 2

2 2

1 1

1

CD AB

MQ

+ Đẳng thức xảy ra khi nào ?

HƯỚNG DẪN B

A

Q P

M

D C

Theo định lý Talét ta có :

AC

CM AB

MP AC

AM CD

MQ

=

AC

CM AM AB

MP CD

MQ + = +

C D

R

T

S

U

B

C D

Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được ( )2 ( 2 2)( 12 12)

CD AB

MQ MP

CD

MQ AB

2 2

2

2 2

2

2

1 1

1 1

1

CD AB

CD

MQ AB MP

CD AB

MQ











+

≤

Từ (1 ) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi : MP.AB = MQ.CD (3)

Từ (1) suy ra : .2 + .2 = 1

CD

CD MQ AB

AB MP

, kết hợp với (3) ta có :

1 ) 1 1

( 2 + 2 =

CD AB

AB

) 1 1

(

1

2

2 CD AB

AB

MP

+

=

Nên :

2

2 1

1

CD

AB AB

MP CA

CM

+

=

=

=

)

1 (

1

2

2 2

2

CD

AB AB

2.

CD AB

CA CD CM

+

Tức là dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2 2. 2

CD AB

CA CD CM

+

=

6/ Cho tứùù giác ABCD , hai đường chéo cắt nhau tại O Cho DAC = DBC

Chứng minh ABD = ACD

7/ Qua giao điểm O của các đường chéo của tứ giác ABCD ta kẻ các đường thẳng KM// AD , LN// BC ( K , L ∈ AB ; M , N ∈ CD ) Chứng minh :

CD

MN AB

KL =

8/ Chứng minh rằng nếu tổng các khoảng cách giữa các trung điểm của từng cặp cạnh đối của một tứ giác bằng nửa chu vi của tứ giác thì tứ giác này là hình bình hành

HƯỚNG DẪN

Gọi M , N , P , Q là trung điểm của AB , CD , BC , AD Kẻ PE // AB

Tứ giác MNPQ có MP // QN //=1/2 AC nên là hình bình hành

PE , EN , EQ là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ ENDQ là hình bình hành

⇒ Tổng các khoảng cách từ E đến M , N , P , Q bằng ½ chu vi tứ giác ABCD

EM + EN ≥ MN ( dấu “=” xảy ra ⇔ E ∈ MN )

EP + EQ ≥ PQ ( dấu “=” xảy ra ⇔ E ∈ PQ )

⇒ EM + EN +EP + EQ ≥ MN + PQ ( dấu “=” xảy ra ⇔ E ∈ MN và E ∈ PQ )

tức là E ≡ O , khi đó MBPO , ONDQ là hình bình hành ⇒ ABCD là hình bình hành

9/ a/Chứng minh rằng trong tứùù giác lồi ABCD ta cóùù AB + CD < AC + BD

b / Nếu tứù giác lồi ABCD cóùù AC = BD thì ta cóùù BC < BD

B

A

C

D

P

Q

11/ a/ Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD ta cóù :

AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB CD

b/ Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD ( AB // CD ) ta cóùù :

AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB CD

16/Cho tứ giác lồi ABCD với E là giao điểm của hai đường thẳng AB , CD và F là giao điểm của hai đường thẳng AD , BC Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại O Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA Gọi H , K là giao điểm các đường thẳng OF và MP , OE và

NQ theo thứ tự Chứng minh rằng HK // EF

DIỆN TÍCH

1/ Cho tứ giác ABCD ( H1 ) và hình thang ABCD ( H2 )

a/Chứng minh : S1.S3 = S2.S4

b/Tính S1 theo S2 và S4

2/ Cho tứ giác ABCD M và N là trung điểm của BC , CD ; P là trung điểm của AB

a/Chứng minh : SABCD ≤ 1/2 ( AM + AN )2

b/Chứng minh : PN ≤ 1 / 2 ( AD + BC )

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

3/ Cho tứ giác ABCD Chứng minh SABCD ≤ 1 / 8 ( AC + BD ) 2 Dấu bằng xảy ra khi nào ?

SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA

Mà SAOB ≤ ½ OA.OB Dấu “ = “ xảy ra ⇔ AOB = 900

Chứng minh tương tự với các tam giác còn lại

⇒ SABCD ≤ ½ (OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA )

⇒ SABCD ≤ ½ AC.BD

Mà AC.BD ≤ }2

2 ( AC + BD

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ AC = BD

8

1 } 2

( 2

1

BD AC BD

AC + = + Dấu “ = “ xảy ra ⇔ AC = BD và AC ⊥ BD

4/ Cho tứ giác lồi ABCD cóù ADD + DCB = 900 AD = BC , CD = a , AB = b Gọi I , N , J , M là trung điểm của AB , AC , CD , BD Gọi S là diện tích tứ giác INJM Chứng minh :

8

) ( a b 2

S ≥ − Dấu bằng xảy ra khi nào ?

H

C D

O

5/ Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD ; P là giao điểm của các đường thẳng AM và BN ; Q là giao điểm của các đường thẳng CN và DM Chứng minh rằng : SNPMQ = SAPB + SDQC

TỔNG CÁC KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TRONG TỨ GIÁC ĐẾN CÁC ĐỈNH

1/Xem vị trí của 4 kho chứa dầu như bốn đỉnh của một tứù giác lồi ABCD Xác định vị trí của kho chính chứa dầu M sao cho tổng độ dài các ống dẫn dầu từ M tới các kho dầu là bé nhất ( tức là xác định điểm M sao cho MA + MB + MC + MD là bé nhất

Với mọi điểm M ta có các bất đẳng thức :

MA + MC ≥ AC

MB + MD ≥ BD

⇒ MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ M là giao điểm các đường chéo AC và BD

TỨ GIÁC

TỨ GIÁC – THÊM ĐIỀU KIỆN – DIỆN TÍCH

1/ a/ Cho tứ giác lồi ABCD Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện tích tứ giác ABCD b/ Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối với BC Lấy M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi Đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N Tìm quĩ tích của N

HƯỚNG DẪN a/ D

A

I

E

+Phân tích : Đường thẳng cần dựng cắt DC hoặc BC tại E Giả sử nó cắt DC tại E Gọi I là trung điểm của BD , ta có : I , E nằm cùng bên đối với AC và SIAC = S EAC ⇒ IE // AC

+CaÙch dựng : Dựng đường thẳng đi qua trung điểm I của BD và song song với AC cắt BC hoặc

CD tại E AE là đường thẳng cần dựng

+Chứng minh : Giả sử E ∈ đoạn DC Do IE // AC nên SAIC = SEAC ⇒ SAECB = SAEC + SABC

= SIAC + SABC = SAICB = SABI + SBIC = ½ SABD + ½ SBDC = ½ SABCD

Biện luận : Bài toán luôn có 1 nghiệm hình

b/ AB và AC kéo dài cắt d tại B1 , C1 Do tứ gáic ABMC lồi nên M lưu động trên đoạn B1C1

Gọi I , I1 là trung điểm của BC , B1C1 ; IB , IC là trung điểm của CB1 , BC1 Ta chứng minh quĩ tích của N là hai đoạn thẳng I1IB và I1IC

Lấy M trên I1B1 Ta chứng minh N ∈ I1IB

C D

M

Theo cách dựng và tính duy nhất nghiệm ở trên , ta có : IN // AM ( N ∈ MC ) Gọi P là giao điểm của AM và BC , ta có :

NC

NM IC

IP = Mặt khác BC // B1C1 nên

1 1

1

C I

M I IC

IP = ( Chú ý : A , I , I1 thẳng hàng )

Từ đó suy ra :

1 1

1

C I

M I NC

NM = ⇒ I1N // C1C , nghĩa là N ∈ I1IB ( vì I1IB // CC1 ) Phần đảo : Nếu N ∈ I1IB thì IN // AM và AN chia đôi diện tích tứ giác ABMC

Tương tự nếu lấy M trên I1C1 thì N ∈ I1IC

Vậy quĩ tích của N là hai đoạn thẳng I1IB và I1IC

2/ Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB , CD lấy lần lượt hai điểm E , F sao cho

DF

CF BE

AE = Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD

B HƯỚNG DẪN

E A

I

Giả sử IE = IF Ta chứng minh SABC = SADC

Ta có : SCIE = SCIF ; SAIE = SAIF ⇒ SACE = SACF ( 1 )

Ta lại có :

ADF

ACF BCE

ACE

S

S DF

CF BE

AE S

S

=

=

= ⇒ SBCE = SADF ( 2 ) Từ ( 1 ) , ( 2 ) ta suy ra : SABC = SACE + SBCE = SACF + SADF = SADC

ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐỈNH CỦA TỨ GIÁC – DIỆN TÍCH

1/ Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng có duy nhất một đường thẳng qua mỗi đỉnh và chia đôi diện tích tứ giác

HƯỚNG DẪN

D1

C

A1

A B

Chọn đỉnh A của tứ giác Kẻ DD1 // AC cắt đường thẳng BC tại D1 Gọi A1 là trung điểm của BD1

∆ ABD1 có AA1 là trung tuyến nên : SDBA1 = 1/2 SABD = 1/2 ( SABC + SACD1 ) = 1/2 ( SABC + SACD )

⇒ SABA1 = 1/2 SABCD

( SACD1 = SACD = 1/2 AC D(D,AC) = 1/2 AC D(D1 , AC) ) Vì DD1 // AC

Vậy AA1 chia đôi diện tích tứ giác ABCD

Giả sử tồn tại A2 sao cho AA2 chia đôi diện tích tứ giác ABCD , khi đó : SABA1 = SABA2

⇒ SAA1A2 = 0 ⇒ AA1 ≡ AA2 ⇒ A1≡ A2

Kết luận : Qua A có duy nhất một đường thẳng chia đôi diện tích tứ giác ABCD

A2

BÀI TOÁN SUY LUẬN – ĐA GIÁC 1/ Cho tứ giác lồi ABCD và điểm M ở miền trong tứ giác sao cho diện tích ∆ ABM bằng diện tích

∆ ADM và diện tích ∆ BCM bằng diện tích ∆ CDM Chứng tỏ rằng M nằm trên một đường chéo của tứ giác đó

HƯỚNG DẪN B

A

M

D

C

Giả sử M không thuộc đường chéo nào cả Khi đó đường chéo BD phải cắt CM và AM tại

E khác F Nên có 1 điểm ( E chẳng hạn ) không là trung điểm của BD Do đó diện tích ∆ DEC ≠ diện tích ∆ BEC Suy ra chiều cao từ B đến EC không bằng chiều cao từ D đến EC Thế thì diện tích ∆ BCM ≠ diện tích ∆ CDM Điều này trái giả thiết Từ đó suy ra điều phải chứng minh 1/ a/ Người ta lấy 500 điểm tùy ý thuộc miền trong của một đa giác lồi 1002 cạnh sao cho 3 trong số 500 điểm và 1002 đỉnh của đa giác không thẳng hàng Sau đó chia đa giác thành những tam giác mà đỉnh chọn từ 1052 điểm sao cho hai tam giác tùy ý không có điểm chung trong Hỏi có thể cắt ra bao nhiêu tam giác ?

b/ Có thể chia đa giác lồi 17 cạnh thành 14 tam giác không có điểm chung trong hay

không ?

2/ Biết tỉ số giữa số đo các góc trong của hai đa giác đều là 5/7 Tính số cạnh của mỗi đa giác này

HƯỚNG DẪN Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là m , n ( m , n là số nguyên dương ) Theo đầu bài ta có :

7

5 : ) 2 ( 90

.

2

: ) 2 (

90

.

2

0

0

=

−

−

n n

m m

⇒ m ( n – 5 ) = 7n ⇒ m = 7 -

5

35

−

n Vì m > 2 nên

5

35

−

n phải là số nguyên đương nhỏ hơn 5 Trong đó các ước số của 35 chỉ có : m – 5 = 35 hay m = 30 là thích hợp ⇒ n = 6 Vậy số cạnh của hai đa giác đều tương ứng là 30 và 6

HÌNH THANG

1/ Qua giao điểm O của 2 đường chéo của hình thang ABCD ( đáy AB , CD ) vẽ các đường thẳng song song với 2 đáy cắt cạnh bên tại M , N

a/Chứng minh : OM = ON

b/Chứng minh :

CD AB ON

1 1

1 = +

2/ Từø hai điểm A và B của một đường thẳng , về cùng một phía ta dựng hai đoạn thẳng AA1 = a ,

BB1 = b cùng vuông góc với AB Chứng minh rằng khi giữ nguyên các đại lượng a và b thì khoảng cách từ giao điểm của AB1 và A1B không phụ thuộc vào vị trí của A và B

4/ Cho hình thang ABCD ( AB // CD và AB ≠ CD ) M và N là trung điểm của các đường chéo

AC và BD Kẻ NH ⊥ AD ; MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng I cách đều hai điểm C và D

5/ Trong hình thang ABCD ( AD // BC ) các đường phân giác trong của các góc A và B cắt nhau tại M , các đường phân giác trong của các góc C và D cắt nhau tại N Chứng minh rằng độ dài đoạn MN bằng nửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên

6/ Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD ( AD // BC ) cắt nhau tại O Bán kính đường tròn nội tiếp các ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD lần lượt là r1 , r2 , r3 , r4 Chứng minh rằng :

4 2

3

1

1 1

1

1

r r

r

r + = +

HƯỚNG DẪN

Giả sử ∆ AOD ; ∆ AOB ; ∆ BOC ; ∆ COD có diện tích và nửa chu vi lần lượt là S1 , P1 , S2 , P2 , S3 ,

P3 , S4 , P4 Vì SABC = SBCD ; SBOC chung nên ta có : S2 = S4 (1)

3

2 4

1

2 1

2 1

2 1

2 1

S

S BK OC

BK OA OC

OA DH OC

DH OA S

S

=

=

=

3

2 4

1

S

S S

S

P1 + P3 = P2 + P4 (3) ( Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp )

Từ (1) và ( 2 ) : S1.S3 = S2 = S4 ⇒ S4 = S1.S3

Do : S = Pr , nên ta có :

4

4 4 2

2 2 3

3 3 1

1

r

S p r

S p r

S p r

S

Từ :

4 2 3

1

1 1 1

1

r r r

r + = + ⇔

4

4 2

2 3

3 1

1

S

P S

P S

P S

4

3 1 3

3 1

1

S

P P S

P S

3 1

3 1 3

3

1

1

S S

P P S

P

S

Mặt khác ∆ OAD ~ ∆ OCD nên : 2

3

2 1 3

1

P

P S

3

2 1 3 1

P

P S

S =

Vì vậy (4) ⇔

3 2

3

2 1 3

3 1

3 3

2 3

2 1 3 1

.

S P

P S

P P

S P P

P S

⇔

3

1 3

3 1

1 3

2 3

P

P S

P P P

S

1

3 3 1

3 1

2

P

P P P

P P

⇔

1

2 3 3

3 1

2 3

P

P P

P P

P

+

= + ( Đúng )

Vậy ( 4 ) đúng do đó :

4 2

3 1

1 1

1 1

r r

r

HÌNH THANG – CỰC TRỊ

C B

O

S1

S4

S3

S2

K

H

1/ a/ Cho AB = 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax , By vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại C , D Xác định vị trí của các điểm C , D sao cho ∆ MCD có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích nhỏ nhất đó theo a

HÌNH THANG VUÔNG - DIỆN TÍCH /Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ , CD là cạnh đáy lớn , M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Biết rằng thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R Hãy tính diện tích ∆ ADM

HƯỚNG DẪN

H M

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD Giả sử các góc tại đỉnh A và D vuông

BO , CO là phân giác của góc ABC , BCD ⇒ OB ⊥ OC ⇒ ∆ BOC vuông tại O Gọi E , F , G ,

H lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB , CD , DA , BC của hình thang

Ta có : OH2 = BH.CH ⇒

FC

AE DF

EB = Do đó M nằm trên đoạn EF Đường cao ứng với đỉnh M của ∆ ADM có độ dài là R và cạnh đáy là 2R , suy ra diện tích tam giác này là R2 Do diện tích các ∆ ADM , BCM bằng nhau nên trong trường hợp các góc B , C vuông ta cũng có kết quả tương tự

HÌNH CHỮ NHẬT

1/ Giả sử M , N là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD Trên phần kéo dài về phía D của cạnh DC ta lấy điểm P tùy ý Gọi Q là giao điểm của PM và AC Chứng minh rằng QNM = MNP

HƯỚNG DẪN Q

Gọi R là giao điểm của QC với MN , E là giao điểm của QN với DC

Ta có : MN // BA ⇒ MNP = NPC , QNM = E

Trong ∆ QPE ta có : MN // PE ⇒

QC

QR CP

RM = (1) ;

QC

QR CE

RN = (2)

MR // CD nên :

2

1

= +

AD

AM CD

MR

( gt)

C D

P

E

⇒ R là trung điểm của MN ⇒

CP

RN CP

RM = (3)

TỪ (1),(2) , (3) :

CE

RN CP

RN = ⇒

CE

RN QC

QR CP

RM = = ⇒ CP = CE Trong ∆ NPE có: NC ⊥ PE (gt) , CP = CE ⇒ ∆ NPE cân tại N

⇒ NPE = E ⇒ QNM = MNP

2/ Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E trên đường chéo BD sao cho DAE = 150 Kẻ EF ⊥ AB Biết EF = ½ AB và AD = a Tính EAC và độ dài đoạn EC

DIỆN TÍCH

1/ Cho hình chữ nhật ABCD Các điểm M , N , P , Q lần lượt được lấy một cách tùy ý trên các cạnh AB , BC , CD , DA Đặt p và S là chu vi và diện tích của tứ giác MNPQ Chứng minh rằng :

a/ p ≥ AC + BD

b/ Nếu p = AC + BD thì S ≤ ½ SABCD

c/ nếu p = AC + BD thì MP2 + NQ2≥ AC2

HƯỚNG DẪN

D P C D’

N Q

A’ B’’

A M B M’

P’’

C’ D’’ P’’’ C’’

a/ Lấy đối xứng hình chữ nhật ABCD qua cạnh BC ta được hình chữ nhật BCD’A’ Lấy đối xứng hình chữ nhật BCD’A’ qua cạnh BA’ ta được hình chữ nhật BA’D’’C’ Lấy đối xứng hình chữ nhật BA’D’’C’ qua cạnh AD’’ ta được hình chữ nhật A’B’’C’’D’’

Qua lần lượt các phép đối xứng trên , các điểm M , N , P , Q theo thứ tự biến thành các điểm tương ứng như hình trên Từ đó ta có :

p = MN + NP + PQ + QM = PN + NM’ + M’Q’’ + Q’’P’’’ ≥ PP’’’ = DD’ = AC + BD Dấu “=” xảy ra ⇔ P , N , M’ , Q’’ , P’’’ thẳng hàng , khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành có các cạnh song song với hai đường chéo AC , BD của hình chữ nhật ABCD

b/ Nếu p = AC + BD , theo kết quả trên ta có : PN // MQ // BD và MN // PQ // AC

AB

AM = ta suy ra SAMQ = k2 SABD = ½ k2 SABCD và SMNB = ½ ( 1 - k )2 SABCD

Vậy S = SABCD – 2SMAQ – 2SMNB Từ đó suy ra :

S ≤ ½ SABCD ⇔ 1 – k2 – ( 1-k )2≤ 0

2

1 2

1 2 ≥









 −

⇔ k

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu

“=” xảy ra ⇔ k = ½ tức là khi các điểm M , N , P , Q là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật ABCD

c/ Giả sử p = AC + BD Sử dụng kết quả trên ta được :

MP2 + NQ2≥ AC2 ⇔ 2 ( MN2 + MQ2 ) ≥ AC2 ⇔ + ≥ ⇔

2

1 2

2 2

2

AC

MQ AC

MN ( 1 – k )2 + k2 ≥

2 1

⇔ ( 2k – 1 )2 ≥ 0 ( đúng ) ⇒ đpcm

2/ Cho ∆ ABC và hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác Xác định vị trí của M , N , P , Q để MNPQ cóùù diện tích lớn nhất

HƯỚNG DẪN

A

M y N

B Q H P C

Đặt MQ = x ; MN = y ; AH = h ; AK = h – x ; SMNPQ = S Ta có :

S = xy ∆ AMN ~ ∆ ABC ⇒

AH

AK BC

MN = hay

h

x h a y h

x h a

y = − ⇒ = ( − )

4 4 (

) (

) (

2 2 2

x hx h

a x hx h

a h

x h a x

4

) 2

( 4

) 2

( 4

x h

a ah h

x

h h

a

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = ½ h ⇔ K là trung điểm của AH hay MN là đường trung bình của ∆ ABC

Cách 2 : Đặt x = NP , y = MN , AI = h – x ∆ AMN ~ ∆ ABC ⇒

BC

MN AH

AI

=

⇒

h

x

h

a

y = −

⇒ y = a

h

x

h − Do đó : SMNPQ = xy =

h

a

.x ( h-x )

SMNPQ lớn nhất ⇔ x ( h-x ) lớn nhất Ta thấy x và h-x là hai số có tổng không đổi nên tích của chúng lớn nhất ⇔ chúng bằng nhau , tức là x = h – x hay x = ½ h Khi đó MN là đường trung bình của ∆ ABC

K

x