Trung tuyến BM.. Gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC.
Trang 1phòng Gd & đt kì thi khảo sát chất lợng học sinh mũi nhọn
ngọc lặc Năm học 2009-2010
Môn : Toán lớp 7
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi này có 5 câu Câu 1 : ( 4 điểm) Thực hiện phép tính hợp lí :
a) A =
16 13
3 13 10
3 10 7
3 7 4
3 4 1
+ +
+ +
b) B =
0,(4)
2 4 6
3 5 7
− −
− ữữ + +
Câu 2: ( 3 điểm) Cho : B = 1
3+ 12 13 14 20091 20101
3 + 3 + 3 + + 3 + 3 Chứng minh : B < 1
2
Câu 3 : ( 4 điểm)
a) Chứng minh rằng : 3n+2 - 2n+4 +3n +2n chia hết cho 30 với mọi số nguyên
d-ơng n
b) Tìm các số hữu tỉ x, y biết: x - y = x: y = 3(x + y)
Câu 4 : (3 điểm) Cho x, y, z ≠ 0; x + y + z ≠ 0 và thoả mãn:
y
y x z x
x z y
z
z
y
x+ − = + − = + −
Chứng minh rằng: 1 1 1 = 8
+
+
+
x
z z
y y
x
Câu 5 : ( 6 điểm)
Cho ∆ABC vuông cân tại B Trung tuyến BM Gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC Kẻ AH, CK vuông góc với BD ( H, K ∈ đờng thẳng BD ) Chứng minh rằng :
a) BH = CK;
b) ∆BMH = ∆CMK;
c) ∆MHK vuông cân./
Hết
Họ tên thí sinh:……… SBD………
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Đề thi chính thức.
Trang 2đáp án toán 7
Câ
1
a-2đ Ta có
16
45 16
3 3
16
3 13
3 13
3 10
3 10
3 7
3 7
3 4
3 4
3 1 3
=
−
=
− +
− +
− +
− +
−
=
0.5đ
b-2đ
B =
1 2 3
0, (1).4
1 2 3
3 5 7
− −
− −
= 1 1.4 1 1 17 1
18 9 2 18 18
1đ
1đ
3B = 1+1
3+ 12 13 14 20081 20091
3 + 3 + 3 + + 3 + 3 ⇒ 3B – B = 1- 20101
3 = 3201020101
3
−
B = 3201020101
3
− 1
2 Vì 3201020101
3
− < 1
Vậy B < 1
2
1.5đ 1.5đ
3
a-2đ
Ta có 3n+2 – 2n+4 +3n +2n = 3n+2 + 3n – 2n+4 +2n
= 3n (32 +1) – 2n(24-1)
= 3n 10 – 2n 15 = 5( 3n 2 - 2n 3 )
Ta có: 3n 2 - 2n 3 M 6 ⇒ 5( 3n 2 - 2n 3 ) M 5 6
Vậy : 3n+2 – 2n+4 +3n +2n M 30 với mọi số nguyên dơng n
1đ 1đ
b-2đ
Vì x - y = x: y = 3(x + y) ⇒ x - y = 3(x + y) ⇒ x-y =3x + 3y
⇒-2x = 4y
2
4 = −
−
=
y
x
⇒ x - y = -2 = 3(x + y) ⇒x = y- 2 và -2 = 3(x + y )
⇒-2 = 3(y - 2+ y ) ⇒ 6y - 6 = -2 ⇒ y = 2
3 ⇒ x =
4 3
−
Vậy y =
3
2
và x =
3
4
−
1đ
1đ
Vì x+z y−z = y+x z−x = z+x y− y
⇒
y
y x z x
x z y z
z y
+ +
+ +
= +
+
− + +
− + +
− +
y x z
y x z y
x z
y x z x z y z y x
⇒x + y = 2z ; y+z = 2x ; x + z =2y
.
2 2 2
1
1
+
+
+
z y x
y x z x
z x z
z y y
x y x
z z
y y
x
1.5đ
1.5đ
5 a Xét ∆ABH và VBCK có: ∠H = ∠K = 90 0, BA = BC (gt), 1đ
Trang 3-2đ ∠BAH = ∠CBK ( cùng phụ với ∠ABH )
⇒ ∆ABH = ∆BCK ( cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ BH = CK (2 cạnh tơng ứng)
1đ
b-2đ
Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC của tam giác vuông
ABC nên BM = 1
2 AC ⇒ BM = MC (1)
Do ∆ABC cân tại B ⇒ Trung tuyến BM đồng thời là đờng cao⇒
0
90
=
+gọi D là giao điểm của BK và AC ⇒ ∠D1 = ∠D2( Hai góc đối đỉnh) ⇒
MCK MBH
D
D + = ∠ + ⇒ ∠ = ∠
2
0
+ Theo câu a/ thì BH = CK (3)
+ Từ (1),(2),(3) suy ra ∆BMH = ∆CMK
1đ
1đ
c-2đ
Từ ∆BMH = ∆CMK ⇒MH = MK và ∠BMH = ∠CMK ⇒ ∆MHK cân (*)
Và ∠BMH + ∠HMC = ∠CMK+ ∠HMC = 90 0
⇒ ∆HMK vuông tại M (**)
Từ (*) và (**) suy ra ∆HMK vuông cân tại M (đpcm)
1đ
1đ
A
K
H
M
D
1
2