Câu IV: 1 điểm Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.. Tìm bán kính đường
Trang 1Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm sốy x 3 2mx2 (m 3)x 4 có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2
Câu II: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 15.2 1 1 2 1 2 1
2) Tìm m để phương trình: 2
4(log x) log x m 0 có nghiệm thuộc (0, 1)
Câu III: (2 điểm) Tính tích phân: I = 3 6 2
1 (1 )
x dx x
Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α
Câu V: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2
cos sin (2cos sin )
x
x x x với 0 < x
3
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ABC có diện tích
bằng 23; trọng tâm G của ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ABC
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x 1 y 2 z 3
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình 4 3 2 1 0
2
z z z trên tập số phức
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
(d1) : 4
6 2
x t
; và (d2) :
'
3 ' 6 ' 1
x t
z t
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)
2009 2 2009 3 2009 2010 2009
Trang 2Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x3 2mx2 (m 3)x 4 x 4 (1)
2
2
0
x
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( ) 2
m
Mặt khác: ( , ) 1 3 4 2
2
2
x B x C y B y C với x x B, C là hai nghiệm của phương trình (2)
x B x C x B x C x B x C x Bx C x x B C
2
m m m m m (thỏa (a)) Vậy 1 137
2
Câu II: 1) * Đặt: t 2 ;x điều kiện: t > 0 Khi đó BPT 30t 1 t 1 2 t (2)
t 1: (2) 30t 1 3 1t 30t 1 9t2 6t 1 1 t 4 ( )a
0 t 1: (2) 30t 1 t 1 30t 1 t2 2t 1 0 t 1 ( )b
0 t 4 0 2 x 4 x 2. Vậy, bất phương trình có nghiệm: x 2.
2) PT 2
Đặt: t log 2x Vì: limlog0 2
x x , nên: với x (0;1) t ( ; 0)
Ta có: (1) t2 t m 0,t 0 (2) mt2 t t, 0
Đặt: 2 , 0 : ( )
: ( )
Xét hàm số: yf t( ) t2 t, với t < 0 f t ( )2t1 ( ) 0 1 1
Từ BBT ta suy ra: (1) có nghiệm x (0; 1) (2) có nghiệm t < 0
(d) và (P) có điểm chung, với hoành độ t < 0 1
4
m Vậy, giá trị m cần tìm: 1.
4
m
Câu III: Đặt : x1
3
1 6
3
4 2
3
1 1
Câu IV: Dựng SH AB SH (ABC) và SH là đường cao của hình chóp
Dựng HNBC HP, AC SN BC SP, AC SPH SNH
SHN = SHP HN = HP
AHP vuông có: .sin 60 3
4
4
Thể tích hình chóp : 1 . 1. 3.tan 2 3 3tan
Câu V: Với 0
3
x thì 0 tan x 3 và sinx 0,cosx 0, 2cosx sinx 0
Trang 3 2 3 2 2 2 2 3
2
cos
.
x y
Đặt: t tan ; 0x t 3 ( ) 12 23; 0 3
2
t
Từ BBT ta có: min ( ) 2 1
4
0;
3
2
4
Câu VI.a: 1) Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = 5 2
2
AB
a b
a b
(d) 3a –b =4 (3)
Từ (1), (3) C(–2; 10) r = 2 653 89
S p
Từ (2), (3) C(1; –1) 2 2 53
S r
2) d(A, (d)) = , 4 196 100 5 2
4 1 1
BA a a
Phương trình mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 :
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (2 – 3)2 = 50
Câu VII.a: PT
2
0 2
2
Đặt ẩn số phụ: t = z 1
0
Đáp số có 4 nghiệm z : 1+i; 1- i ; 1 ; 1
i i
Câu VI.b: 1) (C1): (x 1) 2 (y 1) 2 4 có tâm I1 (1; 1), bán kính R1 = 2
(C2): (x 4) 2 (y 1) 2 1 có tâm I2 (4; 1), bán kính R2 = 1
Ta có: I I1 2 3 R1 R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) : ax y b 0 ta có:
2 2
2 2
2
1
a b
hay
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: ( ) :1 3, ( ) :2 2 4 7 2, ( )3 2 4 7 2
x y x y x
2) (d1) có vectơ chỉ phương u 1 (1; 1; 2); (d2) có vectơ chỉ phương u 2 (1; 3; 1)
2
( ) ( ; 3 6; 1) ( 1; 3 5; 2)
2
Trang 4Giả sử (d ) cắt (d1) tại H t( ; 4 t; 6 2 ), ( t H ( ))d1 ; ; 2
11
HK
Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (d ):
18 44 11 12 30 11 7 7 11
x y z
2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009
Mặt khác: f x ( ) (1 x) 20092009(1x) 2008x (1 x) 2008 (2010x)
f/ (1) 2011.2 2008 ( )b
Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2 2008