Đề thi HSG Toán 9 - 3

Trắc nghiệm: Cõu 1: Một hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy là 7 cm, gúc tại đỉnh tạo bởi đường cao và đường sinh của hỡnh nún là 30O.. Diện tớch xung quanh của hỡnh nún là: A.. Đống cát đó che ph

TRƯờNG THCS GIA KHáNH

ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2009 – 2010 MễN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

………

I Trắc nghiệm:

Cõu 1: Một hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy là 7 cm, gúc tại đỉnh tạo bởi đường cao và đường

sinh của hỡnh nún là 30O Diện tớch xung quanh của hỡnh nún là:

A 22 147 cm2 B 308 cm2 C 426 cm2 D Tất cả đều sai

Cõu 2: Diện tớch toàn phần của một hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy 7 cm đường sinh dài 10

cm và là:

A 220 cm2 B 264 cm2 C 308 cm2 D 374 cm2

( Chọn 22

7

π = , làm trũn đến hàng đơn vị )

Câu 3: Chân một đống cát là một hình tròn có có chu vi 12m

Đống cát đó che phủ một diện tích là:

A ( 2)

6 m

π

B 12(m2)

2 24 (m )

2 36 (m ) π

Câu 4: Độ dài một cung tròn 600 là 2

3π cm Bán kính của cung tròn đó là :

Câu 5: Một hình quạt có diện tích là 3

2 π cm

2 , độ dài cung của hình quạt là π cm Bán kính của hình quạt là :

Câu 6: Hệ phơng trình 2(2 ) 3(1 ) 2

3(2 ) 2(1 ) 3

− − + =



Câu 7: Hệ phơng trình

2

1







có nghiệm là :

A 6; 2

 − 

;

− − 

6 2

;

7 3

− 

6 2

;

7 3

 

 

Câu 8: Hệ phơng trình 1 2 6

 − + + =





− = −

A.(3; 2) , (1; 2) B (3; -2), (-1; 2) C.(3; 2), (-1; 2) D.(-3; 2), (-1; 2)

Câu 9: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x2 và đờng thẳng y = x + m Đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt khi m nhận giá trị thoả mãn :

4

4

m> − C 1

4

4

m< −

Câu 10: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol y = x2 và đờng thẳng y = - x + 2 Toạ độ giao điểm của hai đồ thị là :

A (1; 1) và ( - 2; 4) B (1; - 1) và (2; 4)

C (-1; 1) và (2; - 4) D ( -1; -1) và ( - 2; - 4)

II Tự luận:

Câu 1: Cho sô’ tự nhiên N=20092008 Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1 n2 n3 n

… k ; S=n13 +n23 +n33+ +n k3 Tìm số d của S cho 6

Câu 2: Cho x, y thỏa mãn

2009 )

2009 )(

2009 (x+ +x2 y+ +y2 = Tính: T=x2009+y2009

Câu 3: Giải phơng trình:

0 3 2

2 + + − − =

Câu 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên đờng tròn lấy điểm D khác A và B

Trên đờng kính AB lấy điểm C và kẻ CH⊥AD tại H Phân giác trong của góc DAB cắt đ-ờng tròn tại E và cắt CH tại F Đđ-ờng thẳng DF cắt đđ-ờng tròn ở N

CMR:

a 3 điểm N,C,E thảng hàng

b Nếu AD=BC thì DN đi qua trung điểm của AC

Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c CMR:

ab c ba b ac a a

c c

b b

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2009- 2010

1

(2 điểm)

Ta thấy: a3-a=a(a-1)(a+1)6 (a∈N*)

3

3 2

3

1 n n n k

n + + + + )-(n1+n2+ +nk)

2

3 2 1

3

1 n n n n k n k

2009 chia 6 d 5

⇒20092 chia 6 d 1⇒(20092)1004 chia 6 d 1

⇒20092008 chia 6 d 1

Vì S-N 6 và N chia 6 d 1 ⇒S chia 6 d 1

0.5 0.5 0.25 0.25 0.5

2

(2 điểm)

Nhận xét ( 2009+x2 +x)( 2009+x2 −x)=2009

( 2009+y2 +y)( 2009+ y2 −y)=2009

mà ( 2009+x2 +x)( 2009+ y+ y)=2009









− +

= + +

− +

= + +

⇒

y y x

x

x x y

y

2 2

2 2

2009 2009

2009 2009

Cộng theo vế Ta có:

x+y=-(x+y) ⇒ x+y=0 ⇒y=-x

⇒T=x2009+y2009=x2009+(-x)2009=0

Vậy T=0

0.5

0.5

0.5 0.5

3

(2 điểm)

Có nhiều cách làm Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

4 2 4

− + + − − =

áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có:

4

x

=  − +  ≥ =

Phơng trình thỏa mãn khi và chỉ khi x=1

0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 4

(3 điểm) a Ta có: ãDNE EAD=ã (góc nội tiếp chắn ằED )

mà ãEAB EAD= ã vì AE là phân giác của ãDAB

DNE EAB

⇒ = (1)

mặt khác ãADB=90o

nên BD⊥AD

mà CH⊥AD (giả

thiết)

⇒CHPBD

DBA HCA

(đồng vị)

nhng ãABD AND= ã

DNA HCA

Tứ giác AFCN nội

tiếp đờng tròn nên

hay ãEAB DNC= ã

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ãDNE DNC=ã

b Từ C kẻ tia song song với DA cắt đờng thẳng DN ở M

Ta có: ãMCA CAD=ã

mặt khác ⇒DAB DNBã =ã nên ⇒MNBã =ãACM

mà ãACM MCB+ã =1800

suy ra: ãMCB MNB+ã =1800

Tứ giác MNBC nội tiếp đờng tròn

CMB CNB

⇒ = (góc nội tiếp cùng chắn ằBC )

mặt khác ãCNB CNM=ã

suy ra ãCMB CBM=ã ⇒ ∆CBM cân tại C ⇒ CB=CM

Ta lại có CB=AD

Do đó AD=CM ⇒ Tứ giác ADCM là hình bình hành

⇒ DN đi qua trung điểm AC

5

(1 điểm)

áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dơng Ta có:

bc c ab a

c ab b ca c

b ac a bc b

a

c ac a

c b bc c

b a ab b

a

2

; 2

; 2

2

; 2

; 2

3 3

3

2

3 2

3 2 3

≥ +

≥ +

≥ +

≥ +

≥ +

≥ +

Cộng theo vế 6 bất đẳng thức trên Ta có:

ab c ba b ac a c b a ac bc ab a

c c

b b

a3 + 3 + 3 + + + ≥ 2 + 2 + 2 + + + (1)

Lại có: a2+ + ≥b2 c2 ab bc ac+ + (học sinh phải chứng minh) (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta đợc:

ab c ba b ac a a

c c

b b

a

+ +

≥ + + 3 3 3

(Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

0.25

0.25 0.5 0.25

O

D

C

H

E

F

N

M