a Có bao nhiêu tập hợp con của A b Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?. PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặc Vb CÂU Va 2 điểm Trong mặt
Trang 1ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2010
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 2 2 1
1
y
x
+ +
=
+
2) Gọi M ∈( )C có hoành độx M =m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm
cận của( )C không phụ thuộc vào m
CÂU II (2 điểm)
1) Giải phương trình 4(sin4x+cos4 x)+ 3 sin 4x=2
2) Cho phương trình (sinm x+cosx+ = +1) 1 2sin cosx x (1)
Xác định giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 0;
2 π
CÂU III (2 điểm) Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ phương trình khi m=0
2) Xác định m để hệ có nghiệm
CÂU IV (2 điểm)
1) Tính tích phân :
4
2
0 (sin 2cos )
dx
∏
+
∫ 2) Cho A là một tập hợp gồm 20 phần tử
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
PHẦN TỰ CHỌN
Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặc Vb
CÂU Va (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ De-cac vuông góc Oxy cho họ đường tròn:
(C m) :x +y −2mx+4my+5m − =1 0
1) Chứng minh rằng họ ( )C luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định m
2) Tìm m để ( )C cắt đường tròn m ( ) :C x2 +y2 =1 tại hai điểm phân biệt A và B
Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB có phương không đổi
CÂU Vb (2 điểm)
Cho tam diện ba góc vuông là Oxyz.Trên ba cạnh Ox, Oy, Oz ta lần lượt lấy các điểm
A, B, C sao cho OA=a ,OB=b, OC=c, trong đó a,b,c là ba số dương
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.Tính OH theo a, b, c
2) Chứng tỏ rằng (S ABC)2 =(S OAB)2 +(S OBC)2 +(S OCA)2 với S ABC,S OAB,S OBC,S OCA
lần lượt là diện tích của các tam giác ABC , OAB , OBC , OCA
Trang 2DAP AN
CÂU I:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
1
y
x
+ +
= +
• TXĐ: D = R\{-1}
2
'
2 ( 1)
y x
+
= +
0 ' 0
2
x y
x
=
= ⇔ = −
• Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim
1
y x
= ∞
→ −
Ta có: 2 1 2
1
x
= − +
+
Ψ Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì lim 2 0
1
x
+
→ ∞
• BBT
• Đồ thị:
Cho x = 1 suy ra y = 2
Trang 32) Gọi M 0 (C) có XM = m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m
Ta có: XM = m 2 1 2
1
+
Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d1(M, D1) 1 1
1
m
m
+
Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2)
d2(M,D2) =
2
2 1
m
m
+
Suy ra d1.d2 = m+1 5 m2 +1 = 25 (không phụ thuộc m)
CÂU II:
1) Giải phương trình: 4(sin4 x+cos4 x)+ 3 sin 4x=2
Ta có:
sin x+cos x=(sin x+cos x) −2sin cos x
= 1 1sin 22
−
=1 1 1 cos 4
x
−
−
=3 1cos 4
4 4+ x
Do đó: Phương trình
3 1
4 4 cos 4 3 sin 4 1
cos 4 sin 4
2
) ( 2 12
2
k x
k x
∈
+
−
=
+
=
π π
π π
2) Tìm m để (sinm x+cosx+ = +1) 1 2sin cosx x có nghiệm thuộc 0;
2
∏
Đặt sin cos 2 sin
4
Trang 4Ta có: 0 3
≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
2
x t
π
⇒ ≤ ≤
Khi đó phương trình trở thành m t( + = +1) 1 (t2−1)
2 1
t m t
⇔ =
+
Xem hàm số:
f(t) = 2
1
t
t+ trên 1, 2 ( )
2 2
2 1
t
Suy ra y = f(t) là hàm tăng trên 1, 2
Do đo:ù phương trình có nghiệm ⇔ f(1)≤ ≤m f( 2)
1
2 2 1
CÂU III:
Giải hệ khi m = 9
Điều kiện: 2
2
x y
≥
≥
Khi đó:
Hệ phương trình 1 2 ( 1)( 2) (1)
1 2 ( 2)( 1) (2)
⇔
Lấy (1) trừ (2) được:
( 1)( 2) ( 2)( 1)
⇔ =
Do đó: Hệ phương trình
=
Với m = 9, (3) trở thành x+ +1 x− =2 3
3 3
3
5 2
5 ) 2 )(
1 ( 2
=
⇒
=
⇔
=
≤
≤
⇔
−
=
− +
≥
⇔
y x
x x
x x
x x
Trang 5Vậy nghiệm của hệ khi m = 9 là: =x y=33
2) Tìm m để hệ có nghiệm:
Xem hàm số f(x)= x+ +1 x−2 trên [2;+∞)
⇒ y = f(x) là hàm số tăng trên [2;+∞)
Mặt khác lim ( )f x
x
= +∞
→ +∞ nên:
Hệ có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm
(2) 3 3
m m
⇔ ≥
CÂU IV:
1) Tính
4
2
0 (sin 2cos )
dx
∏
+
∫
Ta có : 4
0
dx I
x tgx
π
= ∫
+
Đặt t = tgx 12
cos
x
⇒ =
Đổi cận:
1 4
= ⇒ =
= ⇒ =
Suy ra
( )
1
2 0
t t
−
+ +
2) Cho A là tập hợp có 20 phần tử:
a) Có bao nhiêu tập con của A:
Số tập hợp con của A là:
0 1 2 20 (1 1)20 220
b) Ta có:
0=(1 1)− 20=C200 −C120+C202 −C203 + +C2020(*) Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
2 4 6 20
= 1 3 19 0
C +C + +C −C (Do(*))
Trang 6= 1 20.2 1 219 1
CÂU Va:
(Cm) x2 + y2 -2mx + 4my + 5m2 – 1 = 0
1) (Cm) luôn luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định
Cách 1:
Phương trình (Cm) là (x m− ) (2+ +y 2m)2=1
Ψ Tâm I(m, -2m) và R = 1
Gọi đường thẳng luôn tiếp xúc (Cm) là: Ax + By + C = 0 )(∆
Ta có: d(I, )(∆ ) = R, m∀
= ±
Vậy (Cm) tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định là:
2x y+ ± 5 0=
Cách 2:
Vì họ (Cm) có bán kính R = 1 bằnh nhau và tập hợp tâm I là đường thẳng d:2x + y = 0 nên luôn tồn tại 2 đường thẳng )(∆ cố định tiếp xúc với (Cm) Đường thẳng )(∆ ở trên song song với d và cách d một
đoạn bằng 1
) (∆ // d ⇒ )(∆ : 2x +y + C = 0
1
+
5
C
⇔ = ±
Vậy )(∆ : 2x y+ + ± 5 0=
2) (Cm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
(C) có tâm O và bán kính R’=1
Ta có OI= m2+4m2 = m 5
(Cm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ −R R' <OI< +R R'
⇔ < < ⇔ ≠ và 2
5
m <
Khi đó đường thẳng AB là trục đẳng phương của (Cm) và (C) có phương trình là:
2
2mx 4my 5m 0
2x 4y 5m 0
⇔ − + + = (vì m≠0)
Suy ra:
AB có phương không đổi vì VTCP là ar(2,1)
CÂU Vb:
Trang 70 H
K
A
B
C
1)
BC
BC
⊥
⇒
⊥
⊥
OA có
Ta
OK
Vẽ
BC
AK
⊥
⇒
⊥
⊥
OH có
Ta
OH
Vẽ
OH
OB
⊥
⇒
⊥
⊥
AC
AC có
Ta
BC và
AC
∆
⇒
⊥
⊥
OH
HB
(*)Tính OH:
BOC∆ Có 12 12 12
AOK
∆ Có 12 12 12
Từ (1) và (2) ta có
abc OH
2) Ta có ( )2 1 2 2
4
2
S ABC
=1( 2 2 2 2 2 2)
4 a b +b c +c a