Toán tăng trưởng phần trăm với sự trợ giúp của MTBT Casiô

Để làm rõ liên hệ toán học, thực tế và tính toán trên máy cần qua nhiều ví dụ và nhiều dạng toán nhưng trước hết có lẽ là Toán tăng trưởng và phần trăm, bởi lẽ nó là vấn đề dễ thấy, dễ g

Mục lục

Trang

phần 1: Phần mở đầu 2

1 Lý do chọn đề tài 2

a) Cơ sở lý luận 2

b) Cơ sở thực tiễn 2

2 Phạm vi, đối tợng, mục đích của đề tài 3

Phần 2: nội dung của đề tài 4

A Nội dung của đề tài 4

I Cơ sở lí luận khoa học của đề tài 4

II Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài 4

III Nội dung phơng pháp nghiên cứu 4

* Phơng pháp nghiên cứu 4

* Nội dung nghiên cứu 5

IV Kết quả của quá trình nghiên cứu 11

V Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài 11

B ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy 11

phần 3: Kết luận 15

Những tài liệu tham khảo 17

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

a) Cơ sở lý luận:

Toỏn học là mụn khoa học xuất phỏt từ thực tế và trở về phục vụ thực

tế đời sống khoa học – kĩ thuật, đời sống xó hội

Liờn hệ giữa Toỏn học với thực tế vừa là một yờu cầu vừa là một hoạt động cần thiết trong trường THCS

Rốn luyện ý thức và khả năng vận dụng kiến thức tớnh toỏn trờn mỏy tớnh CASIO vào thực tế đời sống và lao động là điều người giỏo viờn Toỏn

nào cũng đã biết Vì vậy, cần tận dụng cơ hội, điều kiện để nêu rõ sự liên hệ chặt chẽ giữa toán học với các khoa học khác, với thực tế đời sống và lao động sản suất Góp phần tạo cho học sinh năng lực tổng hợp để có thể vận dụng được kiến thức vào thực tiễn với trợ giúp tính toán trên máy CASIO Đây cũng là vấn đề chất lượng, hiệu quả giáo dục, có đảm bảo xây dựng được năng lực và bản lĩnh người lao động mới, có đáp ứng được yêu cầu mà cuộc sống và lao động sản xuất thường đề ra

Để làm rõ liên hệ toán học, thực tế và tính toán trên máy cần qua nhiều ví dụ và nhiều dạng toán nhưng trước hết có lẽ là Toán tăng trưởng và phần trăm, bởi lẽ nó là vấn đề dễ thấy, dễ gặp trong đời sống xung quanh

b) Cơ sở thực tiễn:

Toán tăng trưởng phần trăm có tính thực tiễn rất lớn trong đời sống kinh tế

Toán tăng trưởng phần trăm rất gần gũi với học sinh khi ở nhà, ở trường và ở ngoài xã hội

Nội dung của các bài Toán tăng trưởng phần trăm gắn liền với thực tiễn hàng ngày của gia đình học sinh và cả học sinh

Tiết học có sự trợ giúp của máy tính CASIO giúp tiếi kiệm thời gian, giờ học trở nên sống động, hấp dẫn đối với học sinh, kích thích tính tích cực

và chủ động của học sinh trong học tập

Toán tăng trưởng phần trăm với sự trợ giúp của máy tính bỏ túi ở trường THCS nhằm tăng cường thực hành ứng dụng, gắn toán học với thực tiễn, với đời sống, đồng thời hình thành, rèn luyện và phát triển tư duy thực

tế cho học sinh

Tuy vậy, dạng toán này còn ít xuất hiện ở các bài tập trong SGK, ít thời gian học trong chính khoá

Chính vì những cơ sở trên đây nên tôi xin được đề cập đến:

“MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN

TRĂM VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO”.

II Phạm vi, đối tượng, mục đích của đề tài

a) Phạm vi của đề tài:

Là phương pháp suy luận suy diễn và suy luận quy nạp từ những vấn

đề hay bài toán cụ thể thành những công thức để lưu sổ tay toán học Từ đó nhờ máy tính CASIO trợ giúp trong tính toán Tuy nhiên cũng phải nói rằng tính thực tế và thời sự của nó khá rộng rãi trong đời sống con người

b) Đối tượng của đề tài:

Là học sinh lớp 8, 9 khối THCS, Giỏo viờn Toỏn - Toỏn tin ở bậc THCS

c) Mục đớch của đề tài:

Giỳp giỏo viờn khỏi quỏt hoỏ một số bài toỏn từ thực tế để đưa ra những cụng thức cần thiết Cung cấp cho học sinh một hệ thống cụng thức

cú cơ sở Qua đú nhờ sự trợ gỳp của mỏy tớnh CASIO cho ra kết quả của cỏc bài toỏn cú nội dung thực tế Hỡnh thành và rốn kỹ năng suy luận tớnh toỏn cho học sinh, nhất là đối với những học sinh dự cỏc kỳ thi “Giải Toỏn trờn mỏy tớnh CASIO” được tổ chức hàng năm

* *

Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có những hạn chế nhất

định về khả năng t duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng góp ý kiến xây dựng

Xin chân thành cảm ơn !

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

A NỘI DUNG:

I CƠ SỞ Lí LUẬN KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận khoa học sau:

1 Về phương phỏp ta sử dụng phương phỏp suy luận suy diễn và suy luận quy nạp, tổng quỏt hoỏ

2 Cỏc phương phỏp biến đổi đại số, biến đổi đồng nhất

3 Cỏc bài toỏn cơ bản cú tớnh thực tế như dõn số, tăng trưởng kinh tế, lói suất ngõn hàng, toỏn phần trăm vv

4 Cỏc dạng toỏn cơ bản của giải toỏn trờn mỏy tớnh CASIO

II ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ CHO QUÁ TRèNH NGHIấN CỨU, XÂY DỰNG ĐỀ TÀI NÀY LÀ:

1 Về con người:

- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu

- Giỏo viờn dạy bồi dưỡng học sinh giải toỏn trờn mỏy tớnh CASIO để

đề suất vấn đề

- Là học hinh lớp 8, 9 THCS yờu mụn toỏn và yờu mỏy tớnh CASIO

2 Về kiến thức:

Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là một số bài toán có nội dung thực tế về tăng trởng phần trăm cùng với máy tính CASIO để trợ giúp Nghiên cứu chủ yếu cách tìm các công thức tính toán cho một số dạng bài toán điển hình có tính thời sự trên thực tế đời sống

III NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU

* Về phương phỏp nghiờn cứu.

- Bằng quan sỏt việc học sinh giải cỏc bài toỏn liờn quan đến nội dung tăng trưởng phần trăm trong cỏc giờ Toỏn chớnh khoỏ

- Bằng kinh nghiệm đứng lớp bồi dưỡng học sinh giải toỏn trờn mỏy tớnh CASIO Phải núi ớt em đưa ra cụng thức tổng quỏt sau khi làm một bài toỏn cụ thể về tăng trưởng phần trăm

- Bằng đọc tài liệu để nắm cỏc cơ sở lý luận khoa học về phương phỏp và kiến thức của cỏc dạng bài toỏn về tẳng trưởng phần trăm

- Bằng việc tham khảo và học hỏi đồng nghiệp

Từ cỏc phương phỏp trờn đõy đối chiếu với lý luận và thực tế tụi đưa ra một số bài toỏn cú tớnh thực tế để khỏi quỏt hoỏ thành những cụng thức cụ thể như sau:

* Nội dung nghiờn cứu:

Bài toỏn 1:

Hiện nay dõn số nước ta là a người; tỉ lệ tăng dõn số mỗi năm là m%

1) Hãy xây dựng công thức tính số dân của nước ta đến năm thứ n.

Lời giải:

Gọi Ai là dân số sau năm thứ i

Sau 1 năm dân số nước ta là: A1 =a+ma=a(1+m)

Sau 2 năm dân số nước ta là: A2=a(1+m)+m(1+m)a=a( 1 m) 2

Tương tự ,sau n năm, dân số sẽ là:

 n  n  n

2) Giả sử dân số nước ta tính đến năm 2007 là 80,3 triệu người

Hỏi đến năm 2020 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?

Lời giải:

Áp dụng (1) trên máy :

100

12 1 3 , 80

13



















3) Đến năm 2035, dân số nước ta có khoảng 110 triệu người Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?

Lời giải:

a

An

Trên máy ta tính được: 1 0 , 965101275 0 , 97 %

3 , 80

110







Bài toán 2:

1) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng a đồng với lãi xuất m% Hỏi sau

n tháng người đó nhận được bao nhiêu cả gốc lẫn lãi?

Lời gải:

- Sau tháng thứ nhất, người gửi có số tiền là T1=a(1+m)

Vì hàng tháng người ấy tiếp tục gửi a đồng nên số tiền gốc của đầu tháng thứ hai là :

a(1+m)+a=a[(1+m)+1] = 1  1 1  1

1 ) 1 (

2 2













m

a m

m a

Số tiền cuối tháng thứ hai là:

 

1 2 1( 1 )

m

a

Số tiền cả gốc lẫn lãi vào cuối tháng n là

 

1 m 1( 1 m)

m

a

-Áp dụng

với n=24 (tháng), a=1500000 (đồng), m=0,5%

Trên máy, áp dụng (3) ta được:

1 0 , 5 : 100 1( 1 0 , 5 : 100 ) 100

: 5 , 0

38338672,52 đ

2) Một người muốn rằng sau 2 năm phải có 20000 đô la Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền (như nhau) hàng tháng bao nhiêu, biết rằng lãi xuất tiết kiệm là 0,75%/tháng Nếu tính ra tiền Việt thì mỗi tháng người đó phải gửi bao nhiêu tiền, biết 100 đô la bằng 1689500 đồng

Lời giải:

Giả sử người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng a đô la Từ công thức (3) suy ra:

m T









- Áp dụng

với T=20000;

m=0,75%;

n=24

Ta có mỗi tháng người đó phải gửi số tiền là:









































) 100

75 , 0 1 ( 1 100

75

,

0

1

100

75 , 0 20000

24

Bài toán 3:

“Lãi đơn” lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố định trước.

Thí dụ: Khi gửi a đồng vào ngân hàng với lãi xuất r%/năm thì sau n năm

nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?

Lời giải:

Sau n năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:

T n =a + arn = a(1+rn) đồng (5)

-Áp dụng : a=1000000 đồng

r = 5%

n =10 năm

100

5 1 1000000















Bài toán 4:

”Lãi kép” Sau một đơn vị thời gian (tháng, năm), lãi được gộp vào vốn và được tính lãi:

Thí dụ: Khi gửi a đồng vào ngân hàng với lãi xuất r%/năm (lãi xuất kép).

Biết rằng người gửi không rút tiền ra Hỏi sau n năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi

Lời giải:

Sau 1 năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:

a + a.r=a(1+r)

Toàn bộ số tiền này được coi làm gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai là:

a(1+r)+a(1+r).r = a(1+r)2

Sau n năm nhận được tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là:

- Áp dụng:

a) Với a=75000000 đồng,

r =5%,

n=15













100

5 1

15 15

b) Muốn có một trăm triệu đồng (lãi xuất 5%/năm) thì cần số năm là bao nhiêu nếu số tiền gửi ban đầu là 10000000 đồng

Lời giải:

Thử trên máy: 30 , 4

100

5 1

70

















5 , 131 100

5 1

100

















0 , 103 100

5 1

95

















1 , 98 100

5













Từ đó có kết luận: Để có số tiền 100000000 đồng thì cần phải có 95 năm

Bài toán 5:

(Tăng trưởng đột biến): Gửi vào và rút ra một lượng tiền nào đó.

Thí dụ: Giả sử vào ngày 1 tháng riêng ta gửi 100 đô la với lã xuất

0,5%/tháng Khi ấy sang ngày 1 tháng 2 ta có :

1000 + 1000 x 0,5% = 1005 đô la Sang ngày 1/3 ta có số tiền là:

1005 + 1005 x 0,5% = 1010,025 đô la Giả sử đầu tháng 3 ta rút ra 100 đô la như vậy số tiền mà ta còn lại là:

1010,025 - 100=910,025đô la Nói chung, nếu T n là số tiền ta có vào đầu tháng thứ n thì số tiền ta

có do gửi tiết kiệm (lãi xuất r %) vào đầu tháng thứ n+1 sẽ là:

  n

n n

Nếu ta thêm hay bớt đi 1 lượng tiền dn vào đầu tháng thứ n+1 thì số tiền sẽ là:

T 1  1  %  với n=0, 1, 2, (7)

Thí dụ: Bạn gửi 100đô la được trả lãi xuất kép theo tháng với lãi xuất 0,5%/

tháng Giả sử mỗi tháng ta phải rút 50 đô la để trả tiền điện Hỏi số tiền còn lại sau một năm?

Lời giải:

Với lãi xuất 0,5%/tháng ta có :

2 , 1 , 0 , 50 005

, 1 ,

50 005

,

Thay số ta có số tiền còn lại sau 1 năm là;

444,8996932 đô la 444,90 đô la

Tổng quát: Gọi số tiền gửi ban đầu là x0 đồng với lãi xuất r%/tháng Gọi

số tiền rút ra hàng tháng như nhau là x đồng

Sau tháng thứ nhất có số tiền là:

0 0 0

0 1

100

1

r x

r x

















Vì rút ra x đồng nên số tiền còn lại là:

x kx x x

r x

x

















1

100 1

Sau tháng thứ 2 có:

kx x k x xk k

y

x2  1  0   2 0 

Vì rút x đồng nên trong sổ còn là:

0

2 0

2 2

2 x  xk x  xk xk x  x k

y

Số tiền sau tháng thứ 3 là:

0

2 2

x

Vì rút x đồng nên số tiền còn là:

1

1 1

1

3 0 3 2

0

3 0

3 3

3





























k

k x k k

k x x k x k

xk x k x x y

Tương tự, số tiền sau tháng thứ n là:

1

1 1

0 1

0 1 1







































k

k xk x k k k

k x x k k y x

n n

n n

n n

Vì rút x đồng nên số tiền còn là:

1

1 1

1

0

1 0

























k

k x x k x k

k xk x k x x y

n n

n n

n

Áp dụng :

x0=1000 đô la;

r =0,5;

n=12;

x=50

Ta được y12  444 , 8996932  444 , 90đô la

Bài toán 6:

”Lãi ngân hàng trả góp”

Một người vay T(đồng) theo phương thức trả góp mỗi tháng trả x(đồng) Nếu người vay phải chịu lãi xuất của số tiền chưa trả là r%/tháng

và mỗi tháng bắt đầu thứ tháng 2 người vay vẫn trả x đồng thì sau bao nhiêu lâu người vay trả hết số tiền T(đồng)

Lời giải

+ Sau tháng thứ nhất người vay nợ là:

Tk r

T T r T



















100

1 100

Người vay trả x đồng ,vậy còn nợ lại từ đầu tháng thứ hai là Tk – x + Sau tháng thứ hai người vay còn nợ là

100















y

+ Sau tháng thứ ba người vay còn nợ là

 

1

1 1

2 3

























k

k x Tk k

k x Tk x k k x Tk y

+ Sau tháng thứ n người vay còn nợ là

1 1

1

1 1

1

1

















































k

x k

x T k k

k x Tk x k k

k x Tk

n

r

x r

x T

r y

n n

100 100

100



























+ Sau n tháng người vay trả nợ xong , tức y n  0, Suy ra

Tr x

x r

r

x r

x T





















































100

100 100

1 0 100 100

100 1

































Tr x

x r

n

100

100 ln

100 1 ln

.

































100 1 ln 100

100 ln

r

Tr x

x n

(10)

Cũng có thể thử n=1, 2, 3, theo công thức r n x x Tr



















100

100 100

IV KẾT QUẢ CỦA QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình nghiên cứu, suy diễn quy nạp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu được kết quả khá khả quan

Tự mình có được hệ thống gồm 10 công thức để tính toán nhanh khi gặp các vấn đề, bài toán có tính thực tế về tăng trưởng phần trăm

Cung cấp cho học sinh ghi nhớ lôgíc 10 công thức tiện sử dụng trong khi “Thi giải toán trên máy tính bỏ túi”

Trong bồi dưỡng học sinh giải toán trên máy tính CASIO cùng các đồng chí giáo viên trong nhóm của trường THCS Lý Tự Trọng, dạng toán này cũng đã góp phần cho học sinh có kết quả tương đối khả quan trong các

kí thi “Giải toán trên máy tính CASIO” cấp huyện, cấp tỉnh được tổ chức hàng năm (Có giải nhì cấp Tỉnh năm học 2006-2007)

V GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO:

Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là sự tư duy lôgíc từ thực

tế đến Toán học và ngược lại

Quá trình xây dựng 10 công thức từ các bài toán có nội dung thực tế là chặt chẽ khoa học, tạo điều kiện dễ nhớ, dễ tính

Gắn được toán học với sự trợ giúp đắc lực của máy tình CASIO hiện hành trong học tập cũng như trong đời sống xã hội

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:

1 Quá trình áp dụng:

Khi dạy học sinh các bài toán có liên quan đến nội dung thực tế, nhất

là toán tăng trưởng phần trăm, sau khi giải xong tôi thường yêu cầu học sinh tập suy luận tìm công thức tổng quát Cũng có khi yêu cầu học sinh dự đoán công thức cho dạng toán rồi yêu cầu chứng minh công thức

Thuận lợi hơn cả là được dạy học sinh giải toán trên máy tính CASIO

dự thi huyện tỉnh hàng năm Thường xuyên ra bài tập thực tế có tính thời sự

để từ đó học sinh xây dựng công thức chung cho dạng toán; yêu cầu học sinh

tự thay số hoặc ra đề bài toán có nội dung thực tiễn để cùng bạn và thầy giáo giải quyết và đưa ra công thức tổng quát giúp ghi nhớ về dạng toán

Trên cơ sở nhiều năm liền tiếp cận giải toán với sự trợ gíup của máy tính CASIO, tôi đã tích luỹ 10 công thức có từ các bài toán thực tế để viết tài này và giảng dạy thử nghiệm với học sinh trường THCS Lý Tự Trọng cũng

đã thu được những kết quả khá khả quan

2 Hiệu quả khi áp dụng:

a) Về tâm lý học sinh thoải mái khi gặp những bài toán ở dạng “Toán tăng trưởng phần trăm” này, bởi đã có những suy luận lôgíc và các công thức giải quyết Sự hấp dẫn bởi những bài toán không những nội dung thực

tế mà còn có cả số liệu cụ thể trong cuộc sống

Về kỹ năng tính toán có thể lập các công thức thành hàm trong máy tính để có thể cho ra nhiều kết quả khi thay đổi số liệu

b) Cụ thể nhờ có một số bài toán cơ bản và 10 công thức tổng quát của đề tài và máy tính CASIO trợ giúp, thầy và trò áp dụng đề ra được một

số bài toán sau và tính toán rất nhanh: