Tìm điều kiện để P xác định và rút gọn P.. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Tính độ
Trang 1TRƯỜNG THCS ĐỒNG LẠC
Giỏo viờn: Đào Cụng Cường
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
Mụn: Toỏn 8 Thời gian:
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: A= (n2 + n -1)2 - 1 chia hết cho 24 vơi mọi số nguyờn n
b) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh sau: xy-2x-3y+1=0
Bài 2: ( 4 điểm) Cho biểu thức:
P
a Tìm điều kiện để P xác định và rút gọn P
b Tính giá trị của P biết a4-3a3 +2a2 + 2a-4 = 0
Bài 3: ( 2 điểm): Tìm các số x,y, z thoả mãn:
x y z xy xz yz (1) v à 2010x y2010z201032011 (2)
Bài 4: (8 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo
m AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC AH HC
Bài 5: (2 điểm)
Cho a, b là hai số dơng, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( a + b) 1 1+
a b
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm)
Cõu a) (2 điểm)
Phân tích đợc:A=(n-1).n.(n+1)(n+2) (0,5 điểm)
Chỉ ra đợc A chia hết cho 8 (0,5 điểm)
Mà (3;8)=1 nên A chia hết cho 3.8=24 (0,5 điểm)
Cõu b) (2 điểm)
Thờm bớt 5 và phõn tớch xy-2x-3y+1=0 thành (x-3)(y-2)=5 (0,5 điểm)
Chỉ ra: x-3 = 5 => x = 8
y-2 = 1 => y = 3 Chỉ ra: x-3 = 1 => x = 4
y-2 = 5 => y = 7 Chỉ ra: x-3 = - 5 => x = -2
y-2 = -1 => y = 1 Chỉ ra: x-3 = - 1 => x = 2
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 2y-2 = - 5 => y = -3
Bài 2 ( 4 điểm)
Cõu a)
Quy đồng mẫu đúng: (1 điểm)
+ Tìm mẫu chung: a.(a - 1).(a - 2).(a - 3).(a - 4).(a - 5) (0,25 điểm)
Phá ngoặc rồi thu gọn: (1 điểm)
+ Thu gọn đúng: 5
( 5)
P
a a
b) Giải phơng trình:
a4-3a3 +2a2 + 2a - 4 = 0 (a-2)(a+1)(a2-2a+2)=0 (0,75 điểm)
a = 2 hoặc a = -1 (do a2-2a+2 > 0)
Vậy a = -1 thoả mãn, từ đó tính đợc P=5/6 (0,5 điểm)
Bài 3 ( 2 điểm)
Ta cú: x2 + y2 2xy
x2 + z2
y2 + z2 2yz Cộng vế với vế ta cú: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz
Do đú từ (1) suy ra 2x y2z2xy xz yz x = y = z
Thay x = y = z vào (2) ta cú: 2010x x2010x2010 3.32010 (0,5đ)
2010 32010
3
3
x
x
x
x
=> x=y=z=3 (0,5đ)
x=y=z= - 3
Bài 4: (8 điểm)
a) + Vẽ hình đúng tới câu a)
(0,25 đ) + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BEAB 2 m 2 (1 đ)
(0,5đ)
Trang 3b) Ta có: 1 1
BC BC AC (do BECADC) ( 1 đ)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC AC AC AB BE (do ABH CBA) ( 1 đ)
Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 0 AHM 45 0 ( 1 đ) c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC AC , mà AB ED ABC DEC AH ED AH// HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC ( 1 đ)
Bài 5: (2 điểm)
+ Nhân đa thức với đa thức có: A = 2+ a b+
b a
( 0,5 đ) + Xét biểu thức
a b+ 2 a b
a b+ 2
b a
A 4
Dấu “ =” xảy ra khi a = b = 1
+ Vậy Min A = 4 khi a = b = 1 ( 0,5 đ)
( 0,5 đ)
( 0,5 đ)