Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ ceừ ủoà thũ C cuỷa haứm soỏ 1 b.. Tỡm treõn ủoà thũ C ủieồm maứ taùi ủoự tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ C vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng : y= − x+ 2.. Goùi E
Trang 1Trờng THPT Nguyễn Huệ đề thi thử TỐT NGHIỆP lần 1 năm 2010
Môn: TOáN ; Khối: A,B (Thời gian làm bài: 180 phút)
Caõu I:
1 Cho haứm soỏ : 1 3 2
y= x − +x (1)
a Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ ceừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ (1)
b Tỡm treõn ủoà thũ (C) ủieồm maứ taùi ủoự tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ (C) vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng :
y= − x+
2 Tớnh tớch phaõn :
1
2 2
0 (1− −x x ) dx
∫
Caõu II:
1 Giaỷi phửụng trỡnh : x+ +1 4− +x (x+1)(4−x) 5=
2 Giaỷi heọ phửụng trỡnh:
1 1
x y
x y
Caõu III:
cos3 cos sin 3 sin cos 4
4
x x− x x= x+
2 Cho tam giaực ABC Chửựng minh raống :
cos cos cos 1
8
A B C≤
Caõu IV:
Trong khoõng gian Oxyz, cho boỏn ủieồm A(2a,0,0) ,B(2a,2a,0) , C(0,2a,0) ,D(0,0,2a)
(a>0)
1 Goùi E laứ trung ủieồm cuỷa ủoaùn thaỳng BD Haừy tỡm toaù ủoọ giao ủieồm F cuỷa ủửụứng thaỳng OE (trong ủoự
O laứ goỏc toaù ủoọ ) vụựi maởt phaỳng (ACD)
2 Tớnh theồ tớch hỡnh choựp D.OABC
3.Tỡm toaù ủoọ ủieồm O ủoỏi xửựng vụựi ủieồm O qua ủửụứng thaỳng BD.1
DAP AN
Caõu I:
1) a Khaỷo saựt vaứ veừ ủoà thũ haứm soỏ: = 1 3 − +2
• TXẹ: D = R
= −
= ⇔ =
=
2
1 ' 0
1
" 2
y x
x y
x
" 0 0
3
2 0, 3
Trang 2• Đồ thị:
Cho x= −2,y=0
=2, = 4
3
x y
b Tìm điểm trên (C) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
= −1 +2
Gọi M x y0( , ) ( )0 0 ∈ C ⇒ hệ số góc tiếp tuyến tại M là:0 = 2 −
f x x
Tiếp tuyến tạiM vuông góc (d) 0 ⇔ '( )0 = − 1
d
f x k
4 2
3
Vậy có 2 điểm M: M0( 2,0)− và 1(2, )4
3
M
2) = ∫1 − − 2 2
0
Trang 3
= + − − + =
∫
∫
1
0 1
0
1
0
1 1 1 1 1 11
1
x x x x x dx
Câu II:
1) Giải x+ +1 4− +x (x+1)(x−4) 5= đặt t = x+ +1 4−x ⇒ ( +1)( −4) = 2 −5
2
t
Khi đó phương trình trở thành: + 2 − =
5 5 2
t t
⇔ + −2 = ⇔ = = −5( )
2 15 0
3
t loại
t t
t
Vậy: Phương trình ⇔ x+ +1 4− =x 3
− ≤ ≤
⇔
− ≤ ≤
− ≤ ≤
− ≤ ≤
⇔ = ∨ =
5 2 ( 1)( 4) 9
( 1)( 4) 2
( 1)( 4) 4
x
x
x
x
2) Giải :
1 1
x y
x y
đặt S = x+ y, P = xy Khi đó hệ trở thành:
2 2
S - 2P =1 (1) S( S - 3P ) =1 (2)
−
(1)
2
S
P thế vào (2) ta được:
= ⇒ =
⇔
= − ⇒ =
3 2
2
Trang 4Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
⇔ − + =
⇔ = ∨ =
2 2 2
0 0 3
2 0 (vô nghiệm ) 2
X SX P
X X
Vậy hệ có 2 nghiệm (0, 1) hay (1, 0)
Câu III:
1) Giải phương trình:
cos3 cos sin3 sin cos 4
4
• Phương trình ⇔ cos3 cos (1 sin ) sin3 sin (1 cos ) cos 4− 2 − − 2 = 3 +1
4
3 3
(cos3 cos sin3 sin ) sin cos (sin3 cos cos3 sin )
1 cos 4
4
cos4 sin2 sin2 cos 4
1 1 cos4 cos4
2
−
x
x
cos12 0 12
1 cos 4
3 cos4 cos 4 4cos 4 3cos4 0 4
k
x
Đáp số: = π + π ∈
k
2) Cho∆ABC, Chứng minh cosAcosBcosC (1)1
8
≤
Ta có: (1) ⇔8cosAcosBcosC - 1 0≤
2 2
4 cos(A+B) + cos(A-B) cos 1 0
4 -cosC + cos(A-B) cosC -1 0 4cos 4cos( )cos 1 0 4cos 4cos( )cos 1 0 2cos cos( ) 1 cos ( ) 0
C
⇔ 2cosC−cos(A B− )2 +sin (2 A B− ) 0≥ Luôn đúng
Vậy (1) đã được chứng minh
Câu IV:
A (2a, 0, 0), C (0, 2a, 0), D (0, 0, 2a), B (2a, 2a, 0) ( với a > 0)
E là trung điểm BD
1) Tìm giao điểm F của OE với (ACD)
Trang 5Cách 1:
E là trung điểm BD
⇒E (a, a, a)
⇒Phương trình đường thẳng OE:
∈
x = t
y = t (t R)
z = t
Ta lại có phương trình mặt phẳng (ACD) :
=
=
=
=
2 3 2 :
3 2
2 0
3
x y z x y z a
a a a
a x
x t
z t
a
x y z a z
⇒ 2 2 2, ,
3 3 3
a a a F
Cách 2:
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo hình vuông OABC
Trong mặt phẳng (OBD) ta có OE cắt DI tại F
Lại có DI ⊂(ACD) nên F chính là giao điểm của OE với mặt phẳng (ACD).
Trong tam giác OBD ta có DI và OE là 2 đường trung tuyến nên F là trọng tâm tam giác OBD Suy ra
2 2 2, ,
3 3 3a a a
F
2) Tính V D OABC.
0
V S OD a a đvtt
3) Tìm O’ đối xứng O qua BD
Ta có: uuuurBD =(2 ,2 , 2 )a a − a cùng phương ura=(1,1, 1)−
Trang 6Suy ra phương trình BD:
=
( ) 2
x t
y t t R
z a t
Gọi( )α là mặt phẳng qua O và vuông góc BD.
⇒ Phương trình ( ) :α x y z+ − =0
Gọi H là hình chiếu vuông góc O xuống BD
⇒H BD= ∩( )α
=
=
=
2 3
2 0
3
a x
x t
a
x y z z
Ta cóù H là trung điểm OO’:
⇒
' ' '
4 2
3 4 2
3 8 2
3
4 4 8 ' , ,
3 3 3
O
O
O
a
x x x
a
y y y
a
z z z
a a a O