Tích phân và ứng dụng

Nếu hàm số fx liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân b a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số fx, trục Ox và hai đường thẳng III.. Giải:

BÀI 1: TÍCH PHÂN

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Khái niệm tích phân

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a;b] Hình phẳng giới hạn bởi

dồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Nhận xét:

a, Tích phân của hàm số f không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm f và

các cận a, b Ta có thể kí hiệu tích phân của hàm số f là ( )

b a

f x dx

∫ hay ( )

b a

f t dt

∫

b, Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân ( )

b a

f x dx

∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng

III Phương pháp tính tích phân.

1 Công thức đổi biến số

BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Tính diện tích hình phẳng.

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

( )

b a

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) , trục hoành và các đườn thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

b a

S =∫ f x −g x dx

Chú ý:

Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Muốn vậy ta giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a;b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c<d) Khi đó: f(x) – g(x) không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d], [d;b] Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn đoạn [a;c], ta có:

Cắt một vật thể (S) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =

a, x =b (a<b) Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (S) khi cắt bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x (a≤ ≤x b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]

6

Thể tích V của phận vật thể (S) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo

công thức: ( )

b a

V =∫S x dx

Ví dụ 1

Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h

Giải:

Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ,

còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với

Ox tại x = 0 và x = h

Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox Cắt lăng trụ

theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B(S(x) = B

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I Sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ OIuur

h

B x h

Q

P

Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :

Nên:

III Thể tích của khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay do đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox được tính theo công thức:

2 ( )

b a

V = π∫ f x dx

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường

thẳng x = 0, x = π Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox.

12

Dạng 2: Sử dụng công thức đổi biến số:

Bài tập 1:Tính các tích phân sau:

5 ( ) ( ) )

0 6 5

42

1 0

1 t 0

1 6

t dt t dt

0

2

3 ) t 3 t dt ( 3 t 3 t ) dt t

1 (

=

7

468 2

0 7

3 2

0 4

3 3

3

7 4

0 2 6 0

dt t dt

t

c I = ∫− + +

+ 1

1 2 dx

1 x x

1 x 2

d I = ∫1 + +

x

dx xe

1

) x 1

2 dt t 3

I = 1 sin cos t dt 2 cos cos t dt

π 0

2 2

π

=

4

π 0 2

π t 2 sin 4

1 2

π 2

1 dt 2

1 t 2 cos

π 0

2 2 2

2 4 sin 32

1 2

8

1 ) 4 cos 1 ( 8

1 4

18

dv = x dx => v = 2

3 x 3 2

I = 2

3 x

3

x

1 x 3

2 1

e e 1 2

2 3

2 3

2 3

1

e x e

e dx x e

4 e 9

4 e e 3

20

2 1 )(

3 1

0

6 3

3

=∫ +

I x x dx 6)

2 2 3

1 0

x

; 2 I = ∫12 + +−

10 2 dx

2 x x

1 x 2

; 3 I = ∫−1 +

1

4 dx ) 2 x

4 I = ∫2 +

1

2 3 dx x

0 2

3 dx 1 x

x

; 6 I = ∫1 +

0 3

2 (

− 4 2

2 dx 3 x

2

x (t = x + 3) 9 I = dx

x

x 4 5 2

x

4

t = + )

10 I = dx

3 1 x

2 1 x 3 0

x cos 2 π 0

π 0 3

Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3.

Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex + 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 1.

Giải

Diện tích hình phẳng cần tính :

1

1 0 0

Bài 7 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =

1- x2 , y = 0 khi quay quanh trục hoành

Giải :

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm :

Bài 8 :Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

y = cosx, y = 0, x = 0, x = π khi quanh trục Ox.

1 os2 os

Giải :

Thể tích khối tròn xoay cần tìm :

2 2

c a

• Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi với a,b∈R được biểu diễn bởi điểm M ;( )a b

hay bởi vectơ u→=( )a;b trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức).

• Cộng, trừ số phức: Với mọi a,b,c,d∈R, ta có

(a+bi) (+ c+di) (= a+c) (+ b+d)i;

(a+bi) (− c+di) (= a−c) (+ b−d)i

Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi

• Môđun của số phức z = a + bi với a,b∈R là độ dài của vectơ OM→ , tức là:

Bài 1 :Tìm phần thực ,phần ảo của các số phức sau :

a z=1+2i b z=2-3i c z=5i d z=9

= +

−

+

−

= + +

11 4 11 9 3

3 5

1 5

3 4

2

2 2 3 1 3 2

y

x y

x

y x

y x y x

y x y

Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi

=



⇔  = ⇔ =

Nếu z biểu diễn bởi u→′ thì kz biểu diễn bởi k→u với k là số thực.

Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1.

Bài 2 : Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

5 ( 2 i)

5 4 4 5 3

2 3 5 2 3 2 5 4 1 5 5 0

5 2 C 2 i C 2 i C 2 i C 2i C i C

= + +

− +

− +

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3

Bài 9: Hãy thực hiện các phép tính:

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho c + di = (a + bi)z

Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là

bi a

di c z

z z

z =

32

CHÚ Ý

Trong thực hành, để tính thương

bi a

di c

Giải :

i

i i

i i

i i

i

i i

4

3 9 11 4

3 7 17

4

) 2 ( 4 ) 3 9 7 ( ) 3 7 9 (

) 2 ( 4

) 3 1 )(

7 9 ( ) 2 ( 3 1

) 3 1 )(

2 3 (

−

−

=

− +

−

−

=

− + +

− +

Bài 3 : Hãy thực hiện các phép tính:

2 15

3 2

i i

− +

23

) 5 )(

5 (

) 5 )(

2 3 ( 5

2 3

i i

i i i

i

+

−

+ +

=

− +

1 25

2 10 3

+

+ + +

1 26

13

13+ = +

=

3 2

2 36 +

2 36

−

= +

+ + +

=

3 2 1

Ta có

i

i i z

+ + +

=

3 2 1

) 3 )(

3 (

) 3 ( 2

1

i i

i i i

− +

− +

5 + +

=Vậy

2 2

4

3 2 5

BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VỚI HỆ SỐ THỰC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Căn bậc hai của số phức

z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi

w 0 ≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i.

2 Phương trình bậc hai

( )

Az +Bz C+ = (A, B, C là các số phức cho trước, A≠ 0)

Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực

Nếu z0 ∈C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là nghiệm của (*)

Phương trình có hai nghiệm là: z= − 1 2i và z= 3 i

Bài 2 : Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i) b) (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i)

Giải :

a) 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i)

36

i x

i ix

i ix

i i ix

i i ix

5 2

5

5 10 2

) 5 15 ( 5

2

) 12 4 9 3 ( 5

2

) 3 1 )(

4 3 ( 5

i

x

i x

i

i i x

i

25

19 25

42 4

3

9

2

9 2 )

4

3

(

) 2 8 4 ( )

1 2

27 1

; 2

3 3 2

1 2

27 1

ptr ⇔ (2 - 3i).z = (3-4i) - (-4+5i) = 7 -9i

⇔ z = 7 9

2 3

i i

i− + +

a) đối xứng với nhau qua trục Ox;

b) đối xứng với nhau qua trục Oy;

c) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

4 Hãy biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ, biết z ≤ 2và

a) Phần ảo của z lớn hơn 1 b) Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của

z lớn hơn 1

5 Tìm số phức z biết :

a) z = 2và z là số thuần ảo b) z = 5và phần thực của z bằng 2 lần phần

ảo của nó

6 Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các

số 1- i, 2 + 3i, 3 + i và 3i, 3 - 2i, 3 + 2i Chứng minh rằng hai tam giác ABC

và A’B’C’ có cùng trọng tâm

7 Các điểm A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 + 2i, 1 + 3 +i, 1 + 3 −i, 1 - 2i Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?

8 Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i); b)

i

i i

i

2 3

) 3 4 )(

1 ( ) 2 (

+

− + + +

; c)

i i

i i

3 4 2

1

) 2 1 )(

1 ( − + i ; e) 3

5 ) 1 (

) 1 (

i

i

− +10.Chứng minh rằng:

a)

'

z z

z z

z = ; c) zz' = z z'; d) z − z' ≤ z+z' ≤ z + z'11.Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a) i; b) 2 i− 3; c)

i

i

2 3

5 1

− +

42

BÀI 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ

;2

B A B A B

x

II Tọa độ của véctơ :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

a r,b r, c r đồng phẳng ⇔   a b c r r r ,  =  0

 Diện tích tam giác : 1

[ , ] 2

2 Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2-D>0

là phương trình mặt cầu tâm I(- A;- B;- C) , bán kính r = A2 +B2 +C2 −D

B BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Trong không gian cho bốn điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1) và C(4; 2; 2).

a) Tính tích vô hướng AB AC

44

1(45.)2(51

27

|

|

|

|

.cos

2 2

2 2 2

−++

−++

=

=

AC AB

AC AB BAC

Bài 2: Cho A(0; 1; 3), B(2: 0; -1) và C(1; 1; 0) và D(1; 1; 1).

a) Chứng minh rằng A, B, C và D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD

Thể tích khối tứ diện ABCD là :

b) Diện tích tam giác ABC là S =

2

1

|[ AB , AC ]| =

2 14

=

S V

Bài 3: Cho A(0; 1; 3), B(2: 0; -1) và C(1; 1; 0).

a) Gọi M(x; y; z) Chứng minh rằng M, A, B, và C đồng phẳng khi và chỉ khi

3x + 2y + z - 5 = 0

b) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

c) Tìm toạ độ tâm và tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

23

53

4)

(

0

0

z y x z

y x

z x

z y x ABC

+

−+

−

=

−+

−+

++++

=

−+

−+

3

)1()1()3()1(

)1()

2()3()1(

)(

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

z y x

z y

x z

y x

z y x

z y

x ABC

5 2

3

8 6

2

5 8 2

4

z y x

z y x

z x

y x

Vậy tâm I(2 ; 3/2 ; 2) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IA =

*Một số dạng thường gặp của mặt cầu: Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và đi qua một

điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng

Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước I(a ; b ; c)

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 1), C(1; 2; 0) và có tâm I thuộc mp(Oxy).c) Đi qua bốn điểm M(0; 1; 2), B(1; 2; 0), P(1; 1; 1) và Q(0; 0; 1)

−

=

−++

−

−++

=

−++

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

)2()1()1()

1(

)1()

1()

1(

b a

b a

b a b

a CI

AI

BI AI

−

= +

−

⇔

2 1 2 1 0

2

4

0 1

2

b

a b

−

=

−+

−

=+

212321

22

2

42

42

42

2

C B A

B A

C B A

C B

Do đó D = 0

Vậy, phương trình mặt cầu là: (S) x2 + y2 + x - 3y - z = 0

48

Dạng 2: Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D =

0

Cách giải:

- Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp (P).

C BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

c) Tính các góc của tam giác ABC.

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1 ; 1 ; 1)

a) Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.

c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 4: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:

a ) x2 + y2 + − + z2 8 x 2 y + = 1 0

b x ) 2 + y2 + + z2 4 x − 8 y − 2 z + = 4 0

c) 4x2 +4y2 +4z2+8x−12y+6z− =2 0

Bài 5 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm I(-1 ; 2 ; 0), đường kính bằng 16.

b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)

c) Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1

d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).

Bài 6 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy) b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.

c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(1 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2), D(1;1; 1)

a) Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD.b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD

c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB vă CD.

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 8: Lập phương trình mặt cầu (S):

a) Qua 4 điểm A(6, -2, 3), B(0, 1, 6), C(2, 0, -1) vă D(4, 1, 0)

b) Đi qua điểm A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; -1 ; 1) vă có tđm thuộc trục Oz

c) Qua 3 điểm A(1, 2, -4), B(1, -3, 1), C(2, 2, 3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)

d) Có tâm I(6, -8, 3) và tiếp xúc với trục Oz

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A CÂC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

1 Phương trình tổng quát mặt phẳng: n

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vectơ n≠0 là vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng (P) nếu n ⊥mp(P)

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0, y0, z0) nhận vectơ n= (A, B, C) làm vectơ pháp

tuyến có phương trình tổng quát dạng:

∗ Chú ý: Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó

Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có vĩctơ phâp tuyến lă n r = ( ; ; ) A B C

c) Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng:

Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc ≠ 0 có phương trình:

50

p

+ + = 1

c

z b

y a

x

(1)Phương trình (1) gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng

d) Các phương trình mặt phẳng đặc biệt: Với A, B, C, D ≠0 ta có:

∗ Mặt phẳng song song mp(xOy) có dạng: Cz + D = 0

∗ Mặt phẳng song song mp(xOz) có dạng: By + D = 0

∗ Mặt phẳng song song mp(yOz) có dạng: Ax + D = 0

Đặc biệt: Khi D = 0 các mặt phẳng trên lần lượt là mặt phẳng (xOy), xOz) và(yOz)

* Mặt phẳng (P) // Ox có dạng: By + Cz + D = 0

* Mặt phẳng (P) // Oy có dạng: Ax + Cz + D = 0

* Mặt phẳng (P) // Ox có dạng: Ax + By + D = 0

Đặc biệt: khi D = 0 câc mặt phẳng trín lần lượt chứa trục Ox, Oy, Oz.

II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0Khi đó:

(P) cắt Q ⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’

(P) // (Q) ⇔

' '

'

D C

C B

B A

'

D C

C B

B A

D Cz By Ax P

M d

++

+++

=

IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng thì ta có:

2 2 2 2

2

2 B C ' ' ' A

| CC' BB'

A'

| cos

C B A

A

+ + +

+

+ +

= ϕ

B BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M(2; -1; 3) và có vectơ pháp tuyến n =(2 ; 3 ; -2).

b) Đi qua điểm N(1; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x - 2y + z - 2011 = 0

Bài 2:Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; - 3) và :

a) song song với mặt phẳng (Q):x – y – 3z = 0

b) vuông góc với đường thẳng AB với A(0; 1; 1), B(- 1 ; 2 ; 0)

Giải:

a) (P) // (Q) nên vectơ pháp tuyến của(Q) : n r = − − ( 1; 1; 3 ) cũng là vecto pháp tuyến của (P)

• Mặt khác (P) đi qua điểm A(1; 2; - 3)

• Vậy phương trình tổng quát của (P): 1(x− − 1) (1 y− − 2) 3(z− −( )3 ) = 0

Hay x y− −3z− =8 0

b) ( )P ⊥ AB nên (P) nhận uuurAB= −( 1;1; 1− ) làm vectơ pháp tuyến

Mặt khác (P) đi qua điểm A(1; 2; - 3)

• Vậy phương trình tổng quát của (P):−1( x− +1) (1 y− −2) 1( z− −( )3 ) =0