Tích phân (GV Nguyễn Vũ Minh)

∫

Đt : 0914.449.230 2 Email : ngvuminh249@yahoo.com

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy

thừy, chia đa thức …

Căn thức thành lũy thừa :

2

1 cos2usin u

2 2

1

1 tan ucos u

1

1 cot usin u

43sinu sin3usin u

sin2u 2sinu.cosucos2u cos u sin ucos2u 2cos u 1cos2u 1 2sin u

2x 5x 2f(x)

x x

= − + suy ra:

x 4x 2x 8 7xf(x)

BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……… )

1/f(x) sin x= 2 ; 2 /f(x) sin 7x= 2 ; 3/f(x) cos 4 x= 2 ; 4/f(x) cos x= 4

5/f(x) sin 2 x= 4 ; 6/ f(x) 7 sin x cos x= 2 2 ; 7 / f(x) sin 2 x cos x=

8/f(x) sin 4 x sin 6x= ; 9 /f(x) cos 6 x cos 2 x= ; 10 /f(x) cosx 3 cosx= ( + )

11 /f(x) cosx sin 3x sinx= ( + ) ; 12 /

x 3x 6xf(x)

πcos 2x

17/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)

4 2

2

x xf(x)

x x 1

1+ +

=

+ + 18/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)

2

x 2x 2 xf(x)

x x 1

+ + +

=

+ + 19/(ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) f(x) = sinxcos2xcosx

+

20/ f(x) = cos x sin x4 − 4 ; 21/

2

x 1f(x)

−

= ⎜⎝ + ⎟⎠ 22/ f(x) cos 5 x cos 2 x sinx=

+ Nếu bậc tử bậc mẫu ta chia đa thức ≥

+ Nếu bậc tử < bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm

của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng khác sẽ trình bày ở phần khác

n dx

dx f(lnx).

cos x

∫

2

dxf(cotx)

Ax B

dx a(x x )(x x )

+

∫

Sau đó dùng pp hệ số bất định + Nếu mẫu có nghiệm kép x0,

ta đưa về 2

0

Ax B

dx a(x x )

+

−

∫

+ Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về

∫ và đặt X = D.tant t∈ −⎛ π π2 2; ⎞

1/ R(x, a−x )2 thì đặt x = sint 2/ R(x, a+ x )2 thì đặt x = atant

C = ∫6 sin 2x.cos xdx (ĐH Thủy Lợi– 2001)

VD5 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = tan x2 , biết F( ) 0π

4 =

1f(x)dx tan xdx 1 dx tan x x C F(x)

2

1 2xf(x)

Chủ đề 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

b

b a a

π 4

−

= ∫

π 4 2

0

2 0

xK

π 4

π

3

2 0

π 4

0

π

3 2

3

16

BT10: Tính các tích phân sau đây :

0

I = ∫ 3x +5x 1 x+ − )dx 3 2

4 4

2 0

tanxdxK

cos x

= ∫

π 2 0

cosx.dxL

1 sin x

=+

∫

Giải : ☺ a/ Viết lại I dưới dạng:

1

3 3 6 2 0

I = ∫x (1 x ) x d− x

1 − x3 dt = −3x dx2

suy ra: u2 = x2 + ⇒1 2udu 2xdx= ⇔ udu xdx=

Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 1 + Với x= 3 thì u = 2

2 0

tanxdxK

cos x

= ∫ Đặt u = tanx suy ra 2

dxdu

4

2 2

cosx.dxL

1 sin x

=+

∫ Đặt u = sinx, suy ra du = cosx.dx Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 0 + Với x π2

= thì u = 1

Từ đó:

π

1 2

1 0

0

−

= ∫ dx

2 3

1

dxI

=

−

∫π 3

π 6

cosxdxI

=

+

∫1

dxI

sinx

= ∫      

π 2

2 3 24

e B

1076

15

= ∫ + = (Dự Bị D – 2004)

Đt : 0914.449.230 16 Email : ngvuminh249@yahoo.com

3

2 x

BT13: Tính các tích phân sau đây :

cos x 0.cos 0 sin x 0 0 sin sin 0 1

x 0

2 x 0

2 0

ail : ngvuminh249@yahoo.com

BT15: Tính các tích phân sau đây ( ……… ):

ng pháp : ………

………

Phươ ………

………

………

………

Đt : 0914.449.230 22 Em 1/

1 dx π 2 3 dx π 2 I = ∫ = 2/ I 2 0 1 x+ 4 = ∫0 4 x+ = 6

1 6 2 1 dx 6 I π 7 4 x 2x + = = − + ∫ 3/

0 2 1 dx π I x 2x 2 − = = + + ∫ 4/ 4

5/

1 2 0 dx π 3 I x x 1 9 = = + + ∫

1 3 8 0 x dx π I x 1 16 = = + ∫

soạn)

6/

1 2 0 dx π 3 I x x 7/ ( = ∫ − +1 = 6

2 2 0 dx π I x 2x 2 = = − + ∫ 8/ (soạn) 2

1 4 2 0 I 3 x 4 6 = ∫ dxx 3 = 1 π2 4⎛ − π ⎞

⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 9*/

10*/ 3 ( ) 2 0 2x 3 dx π I 2 x 3 4 + = = + ∫ + 3

11*/ 1 ( ) 2 0 4x 3 dx π I 2 x 2 x 2 − = = − − + ∫ ln 2 4 +

12**/ 3 2 ( ) 3 2 0 2x 8x 10 3 5π I dx 5 l 3 ln 2 x x 3x 3 2 4 3 − + = = − − + + + ∫ n 1+

3 2 0

dx π 3 I

+

∫

14/ (soạn)

BT16: Tính các tích phân sau đây ( ……… ):

………

………

………

Phương pháp : ………

………

………

………

1/ 1 2 π 1 π 3 I = ∫ 1 x dx− = 2/ I = ∫ 4 x dx− 2 = +

0 4 0 3 2

Chủ đề 4 : DI ẲNG – THỂ TÍCH + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : ỆN TÍCH HÌNH PH y f(x) x a ; x b = ⎧ ⎪ y g(x) ⎪ = ⎨ = = ⎩ b hp a S = ∫ f(x) g(x) dx − + Tìm phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) + Sau đó ta vẽ đồ thị hoặc xét dấu để bỏ trị tuyệt đối Chú ý : ………

………

………

………

………

a

y

f(x) g(x)