SKKN Toán THPT

Lý do chọn đề tài Trong chơng trình toán học phổ thông, bất đẳng thức là một mảng toỏn khú, nú cú mặttrong tất cả cỏc bộ mụn: Số học, Hỡnh học, Đại số, Lượng giỏc và Giải tớch nhưng phải

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong chơng trình toán học phổ thông, bất đẳng thức là một mảng toỏn khú, nú cú mặttrong tất cả cỏc bộ mụn: Số học, Hỡnh học, Đại số, Lượng giỏc và Giải tớch nhưng phải núirằng bất đẳng thức là một cụng cụ sắc bộn của Toỏn học Đẳng thức và bất đẳng thức luụn làhai phương tiện hỗ trợ lẫn nhau Đẳng thức cho kết quả chớnh xỏc tuyệt đối cũn bất đẳng thứcmềm dẻo hơn, cho phộp cõn nhắc vấn đề, ước lượng kết quả, từ đú nhỡn nhận thực tiễn toỏnhọc dưới gúc độ rộng hơn Vỡ vậy việc vận dụng cỏc bất đẳng thức rất uyển chuyển và linhhoạt Học sinh yờu Toỏn cần học tập cỏch vận dụng cỏc bất đẳng thức dưới nhiều hỡnh thỏi đadạng Trong mỗi đề thi học sinh giỏi Toỏn thường cú những bài toỏn liờn quan đến bất đẳngthức Trong đề thi Đại học của cỏc năm gần đõy, Bộ giỏo dục thường ra đề thi với cõu cuốicựng là bất đẳng thức với mục đớch cú thể phõn loại học sinh trong cỏc kỳ thi đú Nhưng thụngthường học sinh khụng nắm được phương phỏp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức bởilẽ: Cỏc bài toỏn bất đẳng thức khú định hướng cỏch giải, nhiều bài toỏn phải sử dụng cỏc bấtđẳng thức phụ rất khú nhớ, thậm chớ phải sử dụng một khối lượng lớn kiến thức về hệ thứclượng trong tam giỏc nờn phần lớn học sinh gặp rất nhiều khú khăn khi giải quyết cỏc bàitoỏn bất đẳng thức

Ngoài cỏc bất đẳng thức cơ bản được hỡnh thành từ phộp biến đổi tương đương, bấtđẳng thức Cụ-si là một bất đẳng thức rất quan trọng, cú nhiều ưu thế trong giải bài toỏn bấtđẳng thức.Trong những bài toỏn đơn giản, việc ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si đối với diện họcsinh đại trà là đơn giản, dễ tiếp cận Song đối với những bài toỏn phức tạp để cú thể ỏp dụngbất đẳng thức Cụ-si vào giải cỏc bài toỏn này, thỡ vấn đề khụng đơn giản chỳt nào Vấn đề đặt

ra đú là người giải toỏn phải chọn được cặp số thoả món cỏc điều kiện của bất đẳng thức

Cụ-si Cỏc điều kiện được thoả món của bất đẳng thức Cụ-si khụng chỉ là điều kiện khụng õm củacặp số mà cũn phải thoả món điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra Giải quyết được điều đú, bàitoỏn ỏp dụng trở nờn đơn giản hơn

Như vậy để cú thể ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si đối với những bài toỏn phức tạp, ngườigiải toỏn cần cú một phương phỏp, một kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức này

Với một vài năm kinh nghiệm, với mong muốn tạo hứng thỳ cho học sinh khi học nộidung bất đẳng thức đồng thời giỳp học sinh dễ hiểu hơn với bất đẳng thức, cựng với mongmuốn nõng cao kiến thức của bản thõn cũng như nõng cao chất lượng dạy và học Toỏn trong

nhà trường phổ thụng, tụi xin trõn trọng giới thiệu : “Phương phỏp và kỹ thuật sử dụng bất

đẳng thức Cụ-si trong giải toỏn”

Phần I : Các kiến thức cơ bản

1- Bất đẳng thức Cô-si

1.1 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

Với hai số không âm a1,a2 ta có ( )1

( )

a a a

a

2 0

2 1

2 2 1

2 1 2

⇔

Do ( )2 đúng nên ( )1 luôn luôn đúng

Dấu đẳng thức của( )1 xảy ra ⇔a1 =a2

1.2 Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm

Với ba số không âm a1,a2, a3 ta có 3

3 2 1 3 2 1

a a

a + + ≥Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:

( ) ( )

( )5 4

4 2

4 2

3 2

3

3 2 1 3

3 2 1 3 2 1 3

2 1 3 2

1

3

3 2 1 3 3

3 2 1

3

2 1 2

1

a a a a

a a a a a a

a a a a

a

a a a a a

a a

a

a a a

≥

+

Cộng từng vế của ( )3 ,( )4 ( )5 ⇔ 3

3 2 1 3 2 1

a a a

≥ + +

(đpcm)Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ( )3 ,( )4 ( )5 , đồng thời xảy ra đẳng thức ⇔a1 =a2 =a3

1.3 Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm

Với bốn số không âm a1,a2, a3, a4 ta có 4

4 3 2 1 4 3 2 1

a a a a

≥ + + +

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có

( ) ( )

2

6 5

4

4 3 2 1 4

3 2

1

4 3 4 3

2 1 2

1

a a a a a

a a

a

a a a

a

a a a

a

≥ +

≥ +

≥ +

Cộng từng vế của ( )5 ,( )6 ,( )7

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ( )5 ,( )6 ( )7 đồng thời xảy ra đẳng thức ⇔a1 =a2 =a3 =a4

Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, , an có

n

n

n a a a a

a a

3

2 1 2

1+ + ≥ ( )*Dấu đẳng thức của ( )* xảy ra ⇔a1 =a2 =a n

2 Bất đẳng thức đường gấp khúc

V ới mọi a i ta có:

Dấu đẳng thức xẩy ra ⇔ a→1 ↑↑a→2 ↑↑ ↑↑a→n

3 Các bất đẳng thức phụ thường dùng

1 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a,b,c

2 (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) với mọi a,b,c

1 1 1

≥ 9 với mọi a,b,c > 0

4 a2 + b2 + c2 ≥ ( )2

3

1

c b

a+ + với mọi a,b,c

Phần II Một số ví dụ minh hoạ

≥ + +

a1 2 1 2

→

na

→

1

a

→ 2

a

na a

a1+ 2+ +

Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số αa và

a

1, vấn đề đặt ra là chọn α = ? thì đủ, vìtheo dự đoán ở trên đầu thì dấu = xẩy ra khi a = 3 nên ta có

9

1 3

1

1 = + + theo bất đẳng thức Cô-si

3

2 1 9 2

1

a

a a

a

Cho a ≥ 3 →

3

8 9

8a ≥ Vậy

3

10 3

8 3

2

1 ≥ + = +

a

Dấu = xảy ra khi a = 3

Qua ví dụ 1 có thể thấy kỹ thuật “bằng đều” nêu trên cho ta cách chọn cặp số thoả mãn điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra trong áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Như vậy có thể thực hiện chứng minh bất đẳng thức theo các bước sau:

toán với các hạng tử mới thích hợp

 + + + + ≥ 

 + + + + ≥ 

 + + + + ≥ 

5 5 5 5 4 4 4 4

4(a b c d ) 4 5(a b c d )

 + + + ≥ 

 + + + ≥ 

 + + + ≥ 

3

a b a

4

2

1 16

) 3

(

b c b

4

2

1 16

) 3

(

c a c

16

a c c b b a c

b

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

3 3 3 2 2 2 2

3

3

3

2 3

3

3

2 3

3

3

3 3

3

c b a a c c b b a a c a

c

c

c b c

b

b

b a b

a

a

+ +

≤ + +

3

3 3 3 4

4 4

c b a a c

c c b

b b

a

+

+ +

+

+

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 5:

3 số: ( )

3

2

a

3b+c ; 3b+c ; 3b+c ( Do dấu đẳng không xảy ra )

Theo kỹ thuật cân bằng đều ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số:

Bài giải:

Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Tương tự kỹ thuật cân bằng đều, ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si

+

>

3

0 ,

,

c b

6 5

6

≥ + +

a

c c

b b a

Bài giải

Do tính đối xứng nên dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =c =1

Khi đó : 5 1

6 5

6 5

b b

a a b b b b b

b b c c c c c

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

c b a a

c c

b b

a56 + 56 + 65 ≥ + +

≥ + +

≥ + +

cmt c

b a a

c c

b b a

gt c

b a

5

6 5

6 5 6

3

3

5

6 5

6 5

6

≥ + +

⇒

a

c c

b b

Ví dụ 9 :

Chứng minh T =

64 )

( ) ( ) (

2 2 2 2

2 2

2 2

a b

c c a

b c

b

+ +

+ +

Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si

+ +

+ + +

≥

+ +

+ +

+ + +

≥

+ +

+ +

+ + +

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

) ( 2

) ( 2

) ( ) (

2 2

) ( 2

) ( 2

) ( )

(

2 2

) ( 2

) ( 2

) ( )

(

c a b a

b a

b a

b

c

b c a c

a c

a c

a

b

a c b c

b c

b c

+

≤ +

+

≤ +

) (

2 ) (

) (

2 ) (

) (

2 ) (

2 2

2 2 2

2 2 2

c a c

a

c b c

b

a b a

c b a c b

1

0 , ,

z y x

z y x

chứng minh : 2008 1

2009 2008

2009 2008

2009

≥ +

+

=

x

z z

y y

3

1

2008

2009 2008

2009 2008

y y

x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :

x y

y y

x

2009

2008

2009

≥ + + +

y z

z z

y

2009

2008

2009

≥ + + +

z x

x x

z

2009

2008

2009

≥ + + +

2008 Số

2008 Số

2008 Số

Cộng các vế của bất đẳng thức ta được :

T + 2008(x+y+z) ≥ 2009(x+y+z) →T ≥ (x+y+z) ≥1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x =y=z =

3 1

Như vậy trên cơ sở đẳng thức xảy ra khi các số tham gia bất đẳng thức Cô-si bằng nhau, ta có thể đưa ra nhiều cách chọn bộ số khác nhau Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b =c

Cách 2: Cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si như sau:

8

2 4 6 2

c

a c 2a

7 3

7

ca bc ab b

a b

b b

a

+ +

≥ + +

Bài giải:

Dự đoán do tính chất đối xứng của bất đẳng thức, nên dấu đẳng thức xẩy ra ↔ a = b = c

Khi đó :

4 4 4 3 3 3 3

3 7 3

b

Tương tự :

4 3

3 7 3

c

b

=

≥ +

4 3

3 7 3

a

c

=

≥ +

Cộng các vế của bất đẳng thức trên

S + (ab3+bc3+ca3) ≥ 2 (a4 + b4 + c4) (1)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si :

≥ + + +

≥ + + +

b c b c c c

a b a b b b

c a c a a a

3 4 4 4 4

3 4 4 4 4

3 4 4 4 4

4 4

4 → a4 + b4 + c4 ≥ a3c + c3b + b3a (2)

3

a b a b

a

a + + ≥

+

3 2

4

2

1 16

) 3 (

b c b c

b

b + + ≥

+

3 2

4

2

1 16

) 3 (

c a c a

c

c

≥

+ + +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có

16

3 ) (

16

a c c b b a c

b

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có

3 3 3 2 2 2 2

3 3 3

2 3 3 3

2 3 3 3

3 3

3

c b a a c c b b a a c a c

c

c b c b

b

b a b a

a

+ +

≤ + +

≥ + +

≥ + +

3

3 3 3 4

4 4

c b a a c

c c b

b b a

+

+ +

+ +Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b= c

Cách 2: Ta có thể chọn các hạng tử và áp dụng bất đẳng thức Cô-si theo cách sau:

Vì thế không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 8 số trên vì đẳng thức không xảy ra

Để ý thấy đẳng thức xảy ra khi a 1 a 4

4

a+b+c+d 1 a+b+c+d 4 abcd abcd

Đặt a b c d t 0 t 1 S t 16

t + + + = → < ≤ → = +Bài toán trở về chứng minh S 17 ≥ với 0 t 1 < ≤

Áp dụng kĩ thuật cân bằng đều:

+

≥ 1

0 , ,

,

d c b

a

d c b

2 2

2 2 2 2

≥ +

+ +

+ +

+ + + + + +

b a

d a d

c d c

b c b

a abc

d dab

c cda

b bcd a

= +

= +

= +

) ( 4

2 2

2 2

2 2 2 2

II b

a

d a d

c d c

b c

b

a

I abc

d dab

c cda

b bcd

d a d

c d c

b c b

a abc

d abc

d dab

c dab

c cda

b cda

b bcd

a bcd

a

+

+ +

+ +

+ + + +

+ +

+ + +

+ + +

32 32

32 32

32

1

132

a d d c c b b a abcd

abcd

+ +

+ +

4 2

1

4

1

32

1 132

d c b a d

c b a

2

33 2 4 32

Dấu đẳng thức xảy ra ↔ a = b = c = d =

4 1

Cách 2:

Theo bất đẳng thức Cô-si:

16 4

1 4

1

2 2 2

+

d c b a abcd

abc

d dab

c cda

b c b

a

= +

+

≥

+ +

2 2

Tương tự :

b d

c

d c b d

2 2

c a d

a d c a

2 2

d b

a

b a d b

2 2

Cộng lại ta có :

2

1 2

2 2

2 2

= + + +

≥ +

+ +

+ +

+ +

d c b a b a

d a d

c d c

b c b

Từ (1),(2) → S ≥ 16 +

2

33 2

1

= (ĐPCM)

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b = c = d =

4 1

Ví dụ 16:

2 2

2 2

2



c b a ca

bc ab a

a c c

c b b

c a

+ +

≥ + +

Bài giải: Do tính chất đối xứng của đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

Mà theo yêu cầu của đầu bài, ta nghĩ đến bất đẳng thức:

+

c b a c b

a ) (a,b,c> 0)

Vậy

ca bc ab c b

a c c

c b b

c

2

2 2

2 2

2

+ +

≥ + +

Đây là dạng bài toán thông thường dễ chứng minh được theo bất đẳng thức Cô-si

+

≥ + +

+

≥ + +

≥ +

+

ca bc ab c b

c b a ca

bc ab K

a bc ac

a

b

c

c bc ab

c

a

b

b ab ac

b

c

a

1 1 1 1 1

1 1 1 3 1 1 1 2

3 1 1

3 1 1

3 1 1

2 2

2 2 2

2 5

2

2 5

2

2 5

2

2

a

1 Mà

( )I ca bc ab

bc ab ca bc

1

1

Từ (I)(II)

ca bc ab

K

+ +

14

8 4

4 8

8

8 4

4 8

8

8

≥ +

+ +

+

+ +

c a

c a c

b c

b c

b

a

Bài giải: Do 14b 4 c 4 = 8b 4 c 4 + 6 b 4 c 4 ≤ 8 b 4 c 4 + 3 ( b 8 + c 8 )

4 4

4 4

4 8

8 8

4 4

4 4

4 8

8

8

4 4

4 4

4 8

8

8

2 4

4 8

8 4

4 8

8

2

1 14

2

1 14

2

1 14

) (

4 ) ( 8 ) (

4 14

b a

c b

a b

a

c

c b

a a

c a c

b

a c

b c

b c

b

a

c b c

b c

b c b

+

≥ +

+

→

+

≥ +

+

→

+

≥ +

+

→

+

= +

+

≤ +

+

Đặt S = 8 8 8 4 4 8 8 8 4 4 8 8 8 4 4

14 14

c a

c a c

b c

b c b

a

+ + +

+

+ +

+

3 2

3 2

1 2

1

4 4

4 4

4

4 4

+ +

+ +

≥

b a

c a

c

b c

b

a S

; 1 (

) 1

; 3 (

= +

b

x a

b a

0 , ,

c b a

c b a

Chứng minh T = a2 +ab+c2 + b2 +bc+c2 + c2 +ac+a2 ≥ 9 3

Bài giải: Ta có T =

4

3 2 4

3 2 4

3 2

2 2 2

2 2

2

a a

c c

c b b

2

) (

3 2

) (

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ số a3

b c + ; (b c)+ α ; βDấu đẳng thức xảy ra khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si a b c 1

2 2Hoặc đưa a

2b về dạng a

b

Theo bất đẳng thức Cô-si a 1 1 a 3 a 3

1 2b 2 2 2b 2 b + = + + ≥Tương tự:

+, các biểu thức còn lại cũng tách như vậy

0 , , ,

cd b a

d c b a

Tính min B =

c b a

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

2 2

2 2

Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si :

≥ + + + + +

≥ + + + + +

≥ + + + + +

d c b a c b a d

c d b a d b a c

b d c a d c a b

a d c b d c b a

3

2 9

3

2 9

3

2 9

3

2 9

2 2 2 2

3

4 3

4 3

3

2 3

≥ + + +

≥

↔ + + +

≥ + +

+

+

→B a b c d a b c d B a b c d abcd (do abcd ≥ 1)Dấu đẳng thức xảy ra ↔a=b=c=d = 1

1

0 , ,

c b a

c b a

T×m min S = 12 12 12

c

ab b

ca a

+ +

c b a ca

bc ab

80 1

1 1

c b a ca

+ +Theo bất đẳng thức Cô-si

3 1 1 1

≥ + +

c b a ca bc ab abc

c b a

abc ca

bc ab

Và ab+ bc + ca≤a+b+c≤ 1 (theo Cô-si), nên:

82 80 9

18

80 1

1 1

2 2

=

−

≥

+ +

+ +

c b a ca

bc ab S

>

5 3

0 , ,

c b a

c b a

2

2 2

a

c c

b b

b

a

X

Do tính chất dối xứng nên ta có X min khi a = b = c =

5 1

2 2

624 1

1 1

c b a c b a

9 624 450 624

450 0

1 1

>

2 3

0 , ,

ca bc ab

c b a

Tìm min L =

ab

ca ca

bc bc

+

ca bc

ab ca

bc ab

15 1 1 1

ca bc

ab ca

+

ca bc

ab ca

9 15 72 15

+ bc ca

2

1 17

3 1 1

1

0 ,

,

,

c b

1 6

1 1

1

c b a c

bc b b ab

+ +

+ + +

Bài giải: Do x2 + y2 ≥ 2xy

≤ + +

≤ + +

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 2

1 1 1 1 3 1

3

1 1

3

1 1

3

1 1

c b a ca bc ab

ca a

ca

z

bc c

bc

b

ab b

1 1 1 1 6

2

1 ⇔a=b=c=

Phần II: Bài tập tự giải

>

2 3

0 , ,

c b a

c b a

Chứng minh

2

15

≥ + + + + +

=

c b a

>

2 3

0 , ,

c b a

c b a

Chứng minh

4

27

≥ + + + + +

=

c b a

S a 2 b 2 c 2 1 1 1

Bài 3: Cho a,b,c> 0 Chứng minh 2 2 2

2

5 2

5 2

5

c b a a

c c

b b

Bài 4: Cho a,b,c> 0 Chứng minh 5 5 5 a 3 b 3 c 3

ab

c ca

b bc

a

+ +

≥ + +

Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh

a

c c

b b

a a

c c

b b

3

5 3

5 3

5

+ +

≥ + +

Bài 6: Cho a,b,c> 0 Chứng minh 3 3 3 (a 2 b 2 c 2)

3

1 2a c

c 2c b

b 2b a

+

+ +

+ +

Bài 7: Cho a,b,c> 0 Chứng minh ( ) ( ) ( ) 4(a b c)

1 c

b

+ +

≥ +

+ +

+

b a a c c b

Bài 8: Cho a,b,c> 0 Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2(a b c)

1 c

b

+ +

≥ +

+ +

+ +a c a b a b c c

b

Bài 9: Cho a,b,c> 0 Chứng minh a b c a b c

4 4 4

+ +

≥ +

2 ca ab bc

Bài 10: Cho a,b,c> 0 Chứng minh a52 +b52 + c52 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2

a c b

Bài 23(CĐSPHN2005): Cho x, y, z 0 > CM: x33 y33 z33 x22 y22 z22

y + z + x ≥ y + z + x

Bài 24(ĐHAN1997): Chứng minh rằng:∀x, thì x2 −x+1+ x2 +x+1≥2

Bài 25: Chứng minh rằng :∀x,a thì x2 +2xsina+1+ x2 −2xsina+1≥2

c a b

1 :

2 3

0 , ,

2

2 2

2 2

>

a

c c

b b a CM

c b a

c b a

Bài 31: Cho a, b, c > 0

Bài 32(Dự bị 2005): Cho x, y, z > 0 và xyz = 1.

2

3 1

1

1

:

2 2

2

≥ +

+ +

+

z z

y y

a

S = + Min

>

20 3 2

0 , , ,

c b a

d c b a

2

9

3 + + ≥ +

+ +

=

c b a c b a S

Bài 35: Cho a, b, c > 0 và

b c a

2 1

−

+

b c

b c b a

b a

ab b

a b

bc c

a b a

bc

+

+ +

+ +

Bài 41: Cho a≥ 3 Tìm â

a

S a 1Min = +

>

1

0 ,

b a

b a

Tìm

ab

S ab 1Min = +

>

1

0 , ,

c b a

c b a

Tìm

abc

S abc 1Min = +

Bài 45: Cho a, b,c 0 > Tìm MinS 1 a 1 b 1 c

1 1

2

+

= MinP

Bài 48: Cho x, y, z 0 > và x y z 1 + + = Tìm MaxP= x y z

Những ví dụ trên đây phần nào chỉ ra ưu thế của bất đẳng thức Cô-si Đặc biệt với kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức giúp cho người giải toán có thể thấy được cái hay, cái mạnh của bất đẳng thức này Như vậy, với phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể xem như

đã cho ta một cách nhìn sáng sủa, lôgic và chặt chẽ Mặc dù rằng, đối với nhiều bài toán áp dụng kỹ thuật này chưa hẳn là tối ưu, có thể dài một chút trong phần trình bày lời giải.Tôi thiết nghĩ những bài toán khó về bất đẳng thức đã phần nào có hướng giải quyết, cánh cửa kiến thức về bất đẳng thức đã bắt đầu hé mở, ngay bản thân tôi khi tiếp cận kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si này, tôi thấy như có một vầng hào quang trước mắt, hy vọng các em học sinh cũng như tôi, sẽ hứng thú khi gặp các bài toán loại này, không còn ngại khi giải toán về bất đẳng thức